Abschätzung u. voll. Ind. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Di 23.11.2004 | | Autor: | Echnaton |
Hallo...,
Ich brauche dringend Hilfe in diesem konkreten Fall:
Wie soll ich da eine vollständige Induktion durchführen??
p1...pn sind ganze Zahlen
q1..qn sind Natürliche
Weisen Sie durch vollständige Induktion follgende Abschätzung nach:
min(p1/q1,....,pn/qn) [mm] \le [/mm] p1+...+pn/q1+...+qn [mm] \le [/mm] max(p1/q1,...,pn/qn)
Vielen Dank im Vorraus für eure Hilfe!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Di 23.11.2004 | | Autor: | bauta |
hi du scheinst auch aus erlangen zu sein. wir haben diese Induktion heute bereits vollständig bearbeitet, doch leider hab ich den Beweis nicht vollständig im kopf und auch nicht vollständig verstanden, ich kann mal schauen ob ich die lösung noch auftreib, aber du solltest falls wirklich ana I beim knauf in erlangen hörst dich einfach mal umhören!! die lösung hatte nämlich schon ziemlich viele!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Di 23.11.2004 | | Autor: | bauta |
nunja es gibt zwei teile zu beweisen: teil 1 ist das mit dem minimas und dem mittleren Bruch, teil 2 ist das mit dem bruch und den maxima der einzelbrüche,
zu Teil1:
Induktionsanfang für n=1 sollte einfach sei: [mm] min(p_1/q_1) \le p_1/q_1!!
[/mm]
Außerdem ist auch noch der Beweis für n=2 von nöten, denn wir dann später in der induktion benötigen:
dazu setzen wir p1/q1 [mm] \ge [/mm] p2/q2 o.d.b.a.
dann gilt: min(p1/q1,p2,q2) = p2/q2 [mm] \le [/mm] (p1+p2)/(q1+q2) weil:
(Gleichung mit (q1+q2) und q2 mutlltipliziert ergibt (q [mm] \in \IN)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] p2q1+p2q2 [mm] \le [/mm] p1q2 + p2q2
[mm] \gdw [/mm] p2q1 [mm] \le [/mm] p1q2
Gleichung durch q2 und q1 geteilt ergibt:
[mm] \gdw [/mm] p2/q2 [mm] \le [/mm] p1/q1 (was wahr ist sie oben)
Induktionsannahme:
Die Formelfür Minima gilt (Formel Teil 1)
Induktionsschritt: n [mm] \mapsto [/mm] n+1
[mm] min(p1/q1,...pn/qn,p_{n+1}/q_{n+1}) [/mm] = min (min(p1/q1,...,pn/qn) [mm] ,p_{n+1}/q_{n+1}) \le [/mm] (nach IV) min((p1+...+pn)/(q1+...+qn) , [mm] p_{n+1}/q_{n+1} [/mm] ) [mm] \le [/mm] (wegen beweis für n=2) (p1+...+pn, [mm] p_{n+1})/(q1+...+qn+q_{n+1})
[/mm]
Soweit zum Teil 1!!
Hast du das soweit verstanden??
Ich hoff doch mal denn Teil 2 ist komplett analog dazu nur das du die Behauptung ein bisschen umschreibst!
Ich hoffe den Rest kannst du selbst, ansonsten morgen fragen oder gleich nochmal ein nachfrage stellen ich bin um circa halb elf nochmal hier und kann dann weiter antworten geben, vielleicht hast du ja auch schon jemanden gefunden der das auch schon hat.
|
|
|
|
