Abschätzung von Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Do 10.11.2011 | | Autor: | Gedro |
| Aufgabe | | Sei [mm] c\in\IC, [/mm] |c|>1. Zeige, dass [mm] (n^k)_n_\in_\IN \in o(c^n) [/mm] für alle [mm] k\in\IN. [/mm] |
Hallo,
ich sitze an diesem Beweis schon etwas länger und komme zu keinem ordentlichen Ergebnis.
Mir ist klar, dass ich nun folgendes zeigen soll:
[mm] \forall\varepsilon [/mm] > 0, [mm] \exists N\in\IN [/mm] mit [mm] |n^k|\le\varepsilon*|c^n|, \forall n\ge [/mm] N
Dies ist äquivalent zu:
[mm] (\bruch{n^k}{c^n})_n_\in_\IN [/mm] ist eine Nullfolge.
Also reicht es zu zeigen, dass
[mm] \forall\varepsilon [/mm] > 0, [mm] \exists N\in\IN [/mm] mit [mm] |\bruch{n^k}{c^n}-0|\le \varepsilon, \forall n\ge [/mm] N
Nun habe ich umgeformt und abgeschätzt.
[mm] |\bruch{n^k}{c^n}-0|= \bruch{n^k}{|c|^n} [/mm] < [mm] n^k [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] \Rightarrow N^k [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw [/mm] N < [mm] \wurzel[k]{\varepsilon}
[/mm]
Das ist aber ziemlich unvorteilhaft, da das nicht [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N gilt. :/
Unter anderem habe ich auch versucht, folgendes abzuschätzen:
[mm] |n^k|\le\varepsilon*|c^n| \gdw \bruch{1}{\varepsilon}\le\bruch{|c|^n}{n^k}
[/mm]
Aber ich finde einfach nichts was kleiner ist als [mm] \bruch{|c|^n}{n^k} [/mm] und eindeutig zeigt, dass es für wachsendes n ebenfalls wächst.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=161242&start=0&lps=1187016#v1187016
Gruß,
Gedro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir setzen [mm] a_n:= \bruch{n^k}{c^n}
[/mm]
Wegen |c|>1 ist 1/|c|<1. Wähle q>0 so, dass 1/|c|<q<1 ist
Es gilt: [mm] \wurzel[n]{|a_n|}= \bruch{\wurzel[n]{n}^k}{|c|} \to [/mm] 1/|c|<q.
Damit gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] \wurzel[n]{|a_n|} \le [/mm] q für n >N.
Es folgt:
[mm] |a_n| \le q^n [/mm] für n>N.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Gedro |
Wieso betrachten wir nun die Folge [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] und ist dies überhaupt zulässig, weil es ja um die Folge [mm] |a_n| [/mm] = [mm] \bruch{n^k}{|c|^n} [/mm] geht?
Außerdem ist mir das nicht ganz klar, dass das nun für [mm] \forall\varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in\IN [/mm] gilt. Es gilt ja jetzt nur für ein q das größer als [mm] \bruch{1}{|c|} [/mm] gilt, aber wie sieht es aus mit einem Epsilon, das kleiner ist als [mm] \bruch{1}{|c|}? [/mm] Oder verstehe ich das ganz falsch?
Gruß,
Gedro
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Hallo,
> Wieso betrachten wir nun die Folge [mm]\wurzel[n]{|a_n|}[/mm] und
> ist dies überhaupt zulässig, weil es ja um die Folge
> [mm]|a_n|[/mm] = [mm]\bruch{n^k}{|c|^n}[/mm] geht?
In der Mathematik ist jedes Mittel zulässig, insbesondere auch Hilfsmittel wie dieses, die zum Ziel führen.
>
> Außerdem ist mir das nicht ganz klar, dass das nun für
> [mm]\forall\varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in\IN[/mm] gilt. Es gilt ja
> jetzt nur für ein q das größer als [mm]\bruch{1}{|c|}[/mm] gilt,
> aber wie sieht es aus mit einem Epsilon, das kleiner ist
> als [mm]\bruch{1}{|c|}?[/mm] Oder verstehe ich das ganz falsch?
Schau dir am besten freds Beweis noch einmal an.
Er zeigt, dass [mm] \sqrt[n]{|a_n|}\to1/|c|
Für genügend große n (also für n> N) ist dann [mm] \sqrt[n]{|a_n|} [/mm] in einer "kleinen" Umgebung von 1/|c|, die nur Zahlen kleiner q enthält.
Damit gilt dann auch die Abschätzung
[mm] $|a_n| \le q^n$ [/mm] für n>N.
Warum [mm] q^n [/mm] mit 0<q<1 Nullfolge ist, siehst du zum Beispiel hier.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Gedro |
Ah, jetzt verstehe ich. Wir haben uns die Folge [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] konstruiert, gezeigt, dass sie für große n gegen [mm] \bruch{1}{|c|} [/mm] strebt und wir ein q nehmen können, für das gilt [mm] \bruch{1}{|c|}< [/mm] q < 1. Dadurch gilt dann [mm] |a_n|
[mm] |a_n| [/mm] < [mm] q^n <\varepsilon [/mm] für [mm] \forall n\ge [/mm] N, da [mm] q^n [/mm] für wachsendes n kleiner wird.
Der Trick liegt also in der Abschätzung für q und der gleichzeitigen Konstruktion von [mm] \wurzel[n]{|a_n|}. [/mm]
Vielen Dank für die Hilfe, jetzt ist es mir klar geworden. :)
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