Abschätzung von Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Di 14.02.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo Forum
Ich habe eine Frage zu einer Abschätzung und einer Schlussfolgerung:
Sei [mm] $L_n [/mm] := [mm] \sum_{k=1}^\infty a_k$. [/mm] Wobei ich aber nicht weiss, ob die [mm] $a_k$ [/mm] negativ oder positiv sind (die [mm] $a_k$ [/mm] sind Zufallsvariablen). Was ich aber weiss ist, dass $ [mm] L_n [/mm] $ fast überall konvergiert, also $ [mm] L_n \to [/mm] L$. Jetzt habe ich folgende Abschätzung:
[mm] \sum_{k=1}^\infty c_k -2^{-k} \le L \le \sum_{k=1}^\infty c_k +2^{-k} [/mm]
Was ich sicher weiss, dass [mm] $\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=1}^\infty -2^{-k}$ [/mm] konvergieren. Kann ich dann daraus schliessen, dass [mm] $\sum_{k=1}^\infty c_k$ [/mm] konvergiert? Ich weiss ebenfalls nicht ob die [mm] $c_k$ [/mm] positiv oder negativ sind. Ich würde sagen ja, weil:
[mm] \sum_{k=1}^\infty c_k -2^{-k} \le L \le \sum_{k=1}^\infty c_k +2^{-k} \gdw -\sum_{k=1}^\infty 2^{-k} \le L-\sum_{k=1}^\infty c_k\le \sum_{k=1}^\infty 2^{-k} [/mm]
Stimmt meine Überlegung?
Gruss
physicus
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Hallo,
> Sei [mm]L_n := \sum_{k=1}^\infty a_k[/mm]. Wobei ich aber nicht
> weiss, ob die [mm]a_k[/mm] negativ oder positiv sind (die [mm]a_k[/mm] sind
> Zufallsvariablen). Was ich aber weiss ist, dass [mm]L_n[/mm] fast
> überall konvergiert, also [mm]L_n \to L[/mm]. Jetzt habe ich
> folgende Abschätzung:
>
> [mm]\sum_{k=1}^\infty c_k -2^{-k} \le L \le \sum_{k=1}^\infty c_k +2^{-k}[/mm]
Wie ist diese Abschätzung zu verstehen, wenn du gar nicht weißt, ob links und rechts die Grenzwerte existieren? Gilt die Abschätzung für [mm] $n\in \IN$ [/mm] ?:
[mm] $\sum_{k=1}^{n}(x_k [/mm] - [mm] 2^{-k}) \le [/mm] L [mm] \le \sum_{k=1}^{n}(c_k [/mm] + [mm] 2^{-k})$
[/mm]
(*)
> Was ich sicher weiss, dass [mm]\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}[/mm] und
> [mm]\sum_{k=1}^\infty -2^{-k}[/mm] konvergieren.
Ja. Mit Grenzwerten [mm] $\pm [/mm] 1.$
> Kann ich dann
> daraus schliessen, dass [mm]\sum_{k=1}^\infty c_k[/mm] konvergiert?
> Ich weiss ebenfalls nicht ob die [mm]c_k[/mm] positiv oder negativ
> sind. Ich würde sagen ja, weil:
>
> [mm]\sum_{k=1}^\infty c_k -2^{-k} \le L \le \sum_{k=1}^\infty c_k +2^{-k} \gdw -\sum_{k=1}^\infty 2^{-k} \le L-\sum_{k=1}^\infty c_k\le \sum_{k=1}^\infty 2^{-k}[/mm]
>
> Stimmt meine Überlegung?
Zunächst nicht, weil (*) nicht klar ist.
Unter der Annahme, dass (*) gilt, ist zumindest für [mm] $n\in\IN$:
[/mm]
[mm] $L_n [/mm] - [mm] \sum_{k=1}^{n}2^{-k} \le \sum_{k=1}^{n}c_k \le L_n [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{n}2^{-k}$.
[/mm]
Für [mm] $n\to\infty$ [/mm] würde das bedeuten:
" $L - 1 [mm] \le \sum_{k=1}^{\infty}c_k \le [/mm] L+1$. "
Das bedeutet, du bekommst höchstens Beschränktheit von [mm] $\sum_{k=1}^{n}c_k$, [/mm] so wie ich das sehe.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Di 14.02.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo Stephan
Ich habe folgende Abschätzung:
[mm] c_k +2^{-k}\le a_k \le c_k+2^{-k} [/mm]
Und ich weiss, dass [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] P-f.s. konvergiert. Ich habe also in der Definition von [mm] $L_n$, [/mm] jeden Summand nach oben und nach unten abgeschätzt. Wie bereits erwähnt, sind [mm] $c_k$ [/mm] und [mm] $a_k$ [/mm] messbare Funktionen. Beschränktheit gibt mir ja dann die Konvergenz. Es nimmt ja dann einen Eindeutigen Wert innerhalb dieses endlichen Intervalls an. Dieser Wert ändert sich natürlich für verschiedene Funktionsargumente der [mm] $a_k$ [/mm] resp. [mm] $c_k$.
[/mm]
Stimmt meine Überlegung nicht?
Gruss
physicus
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Hallo,
> Ich habe folgende Abschätzung:
>
> [mm]c_k +2^{-k}\le a_k \le c_k+2^{-k}[/mm]
dann gilt schonmal das, was ich oben geschrieben habe.
> Und ich weiss, dass [mm]\sum_{k=1}^\infty a_k[/mm] P-f.s.
> konvergiert. Ich habe also in der Definition von [mm]L_n[/mm], jeden
> Summand nach oben und nach unten abgeschätzt. Wie bereits
> erwähnt, sind [mm]c_k[/mm] und [mm]a_k[/mm] messbare Funktionen.
> Beschränktheit gibt mir ja dann die Konvergenz.
Wieso folgt aus Beschränktheit Konvergenz?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Di 14.02.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo Stephan
Danke für deine Geduld. Vielleicht irre ich mich, aber meine Argumentation:
Ich habe ja $ [mm] \sum_{k=1}^\infty c_k(\omega)$.
[/mm]
Ich weiss, dass diese Summe beschränkt ist. Für ein [mm] $\omega$ [/mm] aus dem Definitionsbereich, nim ja jedes [mm] $c_k(\omega) \in \IR$ [/mm] einen reellen Wert an. Also steht ja eigentlich eine relle Summe da, in Abhängigkeit von [mm] $\omega$. [/mm] Also folgt doch dann die Konvergenz aus der Beschränktheit, da die Beschränktheit P-f.s. gilt. Wieso sollte die Reihe denn nicht existieren? Das wäre ja nur der Fall, wenn sie nach [mm] $+\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] konvergieren würde. Bitte entschuldige wenn ich mich irre!
Gruss
phyisucs
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Di 14.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Stephan
>
> Danke für deine Geduld. Vielleicht irre ich mich, aber
> meine Argumentation:
>
> Ich habe ja [mm]\sum_{k=1}^\infty c_k(\omega)[/mm].
>
> Ich weiss, dass diese Summe beschränkt ist. Für ein
> [mm]\omega[/mm] aus dem Definitionsbereich, nim ja jedes [mm]c_k(\omega) \in \IR[/mm]
> einen reellen Wert an. Also steht ja eigentlich eine relle
> Summe da, in Abhängigkeit von [mm]\omega[/mm]. Also folgt doch dann
> die Konvergenz aus der Beschränktheit, da die
> Beschränktheit P-f.s. gilt. Wieso sollte die Reihe denn
> nicht existieren? Das wäre ja nur der Fall, wenn sie nach
> [mm]+\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm] konvergieren würde. Bitte
> entschuldige wenn ich mich irre!
ich kapier' leider Deine Argumentation nicht (vielleicht habe ich zu wenig mitgelesen und Information übersehen/vergessen, aber selbst dann müßtest Du diese ja mitliefern).
Es gibt durchaus divergente Reihen, die nicht gegen [mm] $\pm \infty$ [/mm] streben (es gibt derer sogar verdammt viele!!):
Standardbeispiel:
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\,.$$
[/mm]
Diese Reihe ist wunderschön beschränkt, dennoch divergent! Wie schließt Du solche Fälle aus?
Gruß,
Marcel
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