Abschätzung zeigen < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Voraussetzungen:
1. [mm] F: \IR^N \to \IR^N [/mm] ist eine nichtlineare Funktion,
2. die Gleichung [mm] F(x)=0 [/mm] hat eine Lösung [mm] x^\* [/mm] ,
3. [mm] F':\Omega \to \IR^{N \times N} [/mm] ist Lipschitz-stetig mit der Lipschitz-Konstante [mm] \gamma [/mm] ,
4. [mm] F'(x^\*) [/mm] ist regulär.
Zu zeigen ist folgendes:
Für [mm] 0 < \epsilon < 1 [/mm] und ein [mm] x [/mm] , das hinreichend nah an [mm] x^\* [/mm] ist, gilt:
[mm] || F(x)|| /(1+\epsilon) \le || F'(x^\*)(x-x^\*) || \le (1+\epsilon) || F(x) || [/mm] |
Zur Verfügung stehen noch Aussagen, wie die folgenden:
5. [mm]|| F'(x^\*) ^{-1}||^{-1} || x-x^\* ||/2 \le || F(x) || \le 2 || F'(x^\*) || \;|| x-x^\* || [/mm]
6. [mm] F(x) = \int_{0}^{1} F'(x^\* + t (x-x^\*))\,(x-x^\*)\, dt [/mm]
7. Das Banach Lemma, wenn man [mm] F'(x^\*)^{-1} [/mm] als eine Approximation an die Inverse von [mm] F'(x^\* [/mm] + t [mm] (x-x^\*)) [/mm] ansieht.
8. [mm]|| F'(x) || \le 2 || F'(x^\*)|| [/mm] für [mm]x[/mm] hinreichend nah an [mm]x^\*[/mm]
9. [mm]|| F'(x)^{-1} || \le 2 || F'(x^\*)^{-1}|| [/mm] für [mm]x[/mm] hinreichend nah an [mm]x^\*[/mm]
10. [mm] \kappa (F'(x^\*)) = || F'(x^\*)|| || F'(x^\*)^{-1}|| \geq 1 [/mm]
Nur habe ich leider auch mit all diesen Hinweisen bloß schwächere Abschätzungen als die obige zeigen können. Das Problem ist, wie man hinbekommt, dass in der Mitte [mm] || F'(x^\*)(x-x^\*) || [/mm] steht. Wenn [mm] || F'(x^\*)||\, ||(x-x^\*) || [/mm] in der Mitte stünde, so ließe sich die linke Seite der Ungleichung mit 5. leicht zeigen, das Problem ist aber, dass [mm] || F'(x^\*)||\, ||(x-x^\*) || \ge || F'(x^\*)(x-x^\*) || [/mm].
Der Ansatz für die linke Seite ist bestimmt
[mm] || F(x)|| /(1+\epsilon) = ||\int_{0}^{1} F'(x^\* + t (x-x^\*))\,(x-x^\*)\, dt || \; 1/(1+\epsilon) \le \int_{0}^{1} || F'(x^\* + t (x-x^\*))\,(x-x^\*)|| \, dt \, 1/(1+\epsilon) [/mm],
jetzt müsste man irgendwie hinbekommen, dass man [mm] ||F'(x^\* + t (x-x^\*))\,(x-x^\*)|| [/mm] so abschätzt, dass dies kleiner [mm] K ||F'(x^\*)(x-x^\*)|| [/mm] mit einem [mm] 1 \le K \le 2 [/mm] ist, dann würden wir [mm] \epsilon := K-1[/mm] definieren, sodass gilt
[mm] \int_{0}^{1} || F'(x^\* + t (x-x^\*))\,(x-x^\*)|| \, dt \, 1/(1+\epsilon) \le K/(1+\epsilon) ||F'(x^\*)(x-x^\*)|| \le ||F'(x^\*)(x-x^\*)|| [/mm].
Man kann [mm] || x-x^\*|| \, =: \, ||e||[/mm] ja steuern, wegen der Voraussetzung, dass [mm] x [/mm] hinreichend nah an [mm] x^\* [/mm] sein soll und man kann auch [mm] \epsilon [/mm] steuern.
Ich hoffe, es kann mir jemand dabei weiterhelfen. Ich bin für jeden weiteren Hinweis dankbar!
Viele Grüße
studentin88
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Do 03.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Voraussetzungen:
> 1. [mm]F: \IR^N \to \IR^N[/mm] ist eine nichtlineare Funktion,
> 2. die Gleichung [mm]F(x)=0 [/mm] hat eine Lösung [mm]x^\*[/mm] ,
> 3. [mm]F':\Omega \to \IR^{N \times N} [/mm] ist Lipschitz-stetig
> mit der Lipschitz-Konstante [mm]\gamma[/mm] ,
> 4. [mm]F'(x^\*)[/mm] ist regulär.
>
> Zu zeigen ist folgendes:
> Für [mm]0 < \epsilon < 1 [/mm] und ein [mm]x[/mm] , das hinreichend nah an
> [mm]x^\* [/mm] ist, gilt:
> [mm]|| F(x)|| /(1+\epsilon) \le || F'(x^\*)(x-x^\*) || \le (1+\epsilon) || F(x) ||[/mm]
> Zur Verfügung stehen noch Aussagen, wie die folgenden:
> 5. [mm]|| F'(x^\*) ^{-1}||^{-1} || x-x^\* ||/2 \le || F(x) || \le 2 || F'(x^\*) || \;|| x-x^\* ||[/mm]
> 6. [mm]F(x) = \int_{0}^{1} F'(x^\* + t (x-x^\*))\,(x-x^\*)\, dt[/mm]
> 7. Das Banach Lemma, wenn man [mm]F'(x^\*)^{-1}[/mm] als eine
> Approximation an die Inverse von [mm]F'(x^\*[/mm] + t [mm](x-x^\*))[/mm]
> ansieht.
> 8. [mm]|| F'(x) || \le 2 || F'(x^\*)||[/mm] für [mm]x[/mm] hinreichend
> nah an [mm]x^\*[/mm]
> 9. [mm]|| F'(x)^{-1} || \le 2 || F'(x^\*)^{-1}||[/mm] für [mm]x[/mm]
> hinreichend nah an [mm]x^\*[/mm]
> 10. [mm]\kappa (F'(x^\*)) = || F'(x^\*)|| || F'(x^\*)^{-1}|| \geq 1[/mm]
>
> Nur habe ich leider auch mit all diesen Hinweisen bloß
> schwächere Abschätzungen als die obige zeigen können.
> Das Problem ist, wie man hinbekommt, dass in der Mitte [mm]|| F'(x^\*)(x-x^\*) ||[/mm]
> steht. Wenn [mm]|| F'(x^\*)||\, ||(x-x^\*) ||[/mm] in der Mitte
> stünde, so ließe sich die linke Seite der Ungleichung mit
> 5. leicht zeigen, das Problem ist aber, dass [mm]|| F'(x^\*)||\, ||(x-x^\*) || \ge || F'(x^\*)(x-x^\*) || [/mm].
>
> Der Ansatz für die linke Seite ist bestimmt
> [mm]|| F(x)|| /(1+\epsilon) = ||\int_{0}^{1} F'(x^\* + t (x-x^\*))\,(x-x^\*)\, dt || \; 1/(1+\epsilon) \le \int_{0}^{1} || F'(x^\* + t (x-x^\*))\,(x-x^\*)|| \, dt \, 1/(1+\epsilon) [/mm],
>
> jetzt müsste man irgendwie hinbekommen, dass man [mm]||F'(x^\* + t (x-x^\*))\,(x-x^\*)|| [/mm]
> so abschätzt, dass dies kleiner [mm]K ||F'(x^\*)(x-x^\*)||[/mm]
> mit einem [mm]1 \le K \le 2[/mm] ist, dann würden wir [mm]\epsilon := K-1[/mm]
> definieren, sodass gilt
> [mm]\int_{0}^{1} || F'(x^\* + t (x-x^\*))\,(x-x^\*)|| \, dt \, 1/(1+\epsilon) \le K/(1+\epsilon) ||F'(x^\*)(x-x^\*)|| \le ||F'(x^\*)(x-x^\*)|| [/mm].
>
> Man kann [mm]|| x-x^\*|| \, =: \, ||e||[/mm] ja steuern, wegen der
> Voraussetzung, dass [mm]x[/mm] hinreichend nah an [mm]x^\* [/mm] sein soll
> und man kann auch [mm]\epsilon[/mm] steuern.
>
> Ich hoffe, es kann mir jemand dabei weiterhelfen. Ich bin
> für jeden weiteren Hinweis dankbar!
Mir fällt auf, dass du die Lipschitz-Stetigkeit von $F'$ nicht benutzt hast. Es ist doch
[mm] \|F(y)(x-x^\ast) - F(x^\ast) (x-x^\ast) \| \le \| F(y)-F(x^\ast)\| \|x-x^\ast\| \le \gamma \|x-x^\ast\|^2 [/mm]
und daher
[mm] \|F(y)(x-x^\ast)\| = \|F(y)(x-x^\ast) - F(x^\ast) (x-x^\ast) +F(x^\ast) (x-x^\ast)\| [/mm]
[mm] \le \|F(y)(x-x^\ast) - F(x^\ast) (x-x^\ast) \|+\|F(x^\ast) (x-x^\ast)\|\le \gamma \|x-x^\ast\|^2 +\|F(x^\ast) (x-x^\ast)\|[/mm].
Und wenn du jetzt [mm] $y=x^\ast+t(x-x^\ast)$ [/mm] einsetzt, müsstest du doch besser abschätzen können.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
> Mir fällt auf, dass du die Lipschitz-Stetigkeit von [mm]F'[/mm]
> nicht benutzt hast. Es ist doch
>
> [mm]\|F(y)(x-x^\ast) - F(x^\ast) (x-x^\ast) \| \le \| F(y)-F(x^\ast)\| \|x-x^\ast\| \le \gamma \|x-x^\ast\|^2[/mm]
>
> und daher
>
> [mm]\|F(y)(x-x^\ast)\| = \|F(y)(x-x^\ast) - F(x^\ast) (x-x^\ast) +F(x^\ast) (x-x^\ast)\|[/mm]
>
> [mm]\le \|F(y)(x-x^\ast) - F(x^\ast) (x-x^\ast) \|+\|F(x^\ast) (x-x^\ast)\|\le \gamma \|x-x^\ast\|^2 +\|F(x^\ast) (x-x^\ast)\|[/mm].
>
> Und wenn du jetzt [mm]y=x^\ast+t(x-x^\ast)[/mm] einsetzt, müsstest
> du doch besser abschätzen können.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Vielen Dank, Rainer! Der Hinweis hat mir sehr geholfen. Ich habe eine Idee wie ich jetzt die linke Seite der Ungleichung zeigen kann, bin mir aber nicht sicher, ob das wirklich korrekt ist:
Ich bezeichne im Folgenden [mm] x-x^\* =: e [/mm] und [mm] || F'(x^\*) x|| =: || x ||_\* [/mm]. Ich habe bereits gezeigt, dass [mm] ||*||_\* [/mm] auch eine Norm ist.
[mm] || F(x)|| /(1+\epsilon) = ||\int_{0}^{1} F'(x^\* + t (x-x^\*))\,(x-x^\*)\, dt || \; 1/(1+\epsilon) [/mm]
[mm]\le \int_{0}^{1} || F'(x^\* + t (x-x^\*))\,(x-x^\*)|| \, dt \, 1/(1+\epsilon) [/mm]
(siehe dein Hinweis oben) [mm]\le \bruch{\gamma \|e\|^2 +\|e\|_\*}{1+\epsilon} [/mm] (#)
Sei nun [mm] \|e\|_\* [/mm] so klein, dass [mm] \gamma \|F'(x^\*)^{-1}\|^2 \|e\|_\* < \epsilon [/mm] für beliebige aber feste [mm] 0 < \epsilon < 1[/mm].
(Kann man das so machen? In der Voraussetzung steht ja ' für [mm]x[/mm], die hinreichend nah an [mm]x^\*[/mm] sind'. Es heißt doch, dass ich deren Abstand in einer Norm beschränken kann, und da [mm] ||*||_\* [/mm] auch eine Norm ist, kann ich das so sagen oder?)
Ich habe bereits gezeigt, dass
11. [mm] \| F'(x^\*) \| \|e\| \le \| F'(x^\*) \| \| F'(x^\*) ^{-1}\| \| e\|_\* [/mm].
Damit gilt dann
[mm]\bruch{\gamma \|e\|^2}{\|e\|_\*} \le [/mm] (wegen 11.) [mm]\gamma \|F'(x^*)^{-1}\|^2 \|e\|_\* < \epsilon [/mm] (merke als Gleichung 12.)
Dann gilt weiter ab (#):
[mm]\bruch{\gamma \|e\|^2 +\|e\|_\*}{1+\epsilon} < \bruch{\gamma \|e\|^2 +\|e\|_\*}{1 + \bruch{\gamma \|e\|^2}{\|e\|_\*} } [/mm] [mm] = \bruch{\gamma \|e\|^2 +\|e\|_\*}{\bruch{\|e\|_\* + \gamma \|e\|^2}{\|e\|_\*} } \; = \; \|e\|_\* [/mm]
also das was zu zeigen war.
Und für die rechte Seite der Ungleichung habe ich folgendes versucht, was aber von der Idee her schon falsch ist, wie sich herausgestellt hat:
Zu zeigen:
[mm] \|e\|_\* \le (1 + \epsilon) \|F(x)\| [/mm], ich wollte zeigen:
[mm] \|F(x)\| \ge \|e\|_\*/(1 + \epsilon) [/mm]
Ich habe nach links und nach rechts weiter abgeschätzt und für die so erhaltenen neue linke und rechte Seite gezeigt, dass es gilt. Daraus folgt aber nicht die Behauptung, wie mir später an einem Gegenbeweis der Idee klar wurde. Denn wenn man von falschem ausgeht, so folgt beliebiges.
Deshalb brauche ich auch bitte noch einen Hinweis für die rechte Seite der Ungleichung. Wie kann ich [mm] \| F(x) \| [/mm] nach unten abschätzen, sodass ich auf [mm] \| e\|_*/(1+\epsilon) [/mm] hinauskomme?
Ich hoffe sehr, es nimmt sich jemand die Zeit mir zu helfen.
Beste Grüße
Studentin88
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mi 09.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Mir fällt auf, dass du die Lipschitz-Stetigkeit von [mm]F'[/mm]
> > nicht benutzt hast. Es ist doch
> >
> > [mm]\|F(y)(x-x^\ast) - F(x^\ast) (x-x^\ast) \| \le \| F(y)-F(x^\ast)\| \|x-x^\ast\| \le \gamma \|x-x^\ast\|^2[/mm]
>
> >
> > und daher
> >
> > [mm]\|F(y)(x-x^\ast)\| = \|F(y)(x-x^\ast) - F(x^\ast) (x-x^\ast) +F(x^\ast) (x-x^\ast)\|[/mm]
>
> >
> > [mm]\le \|F(y)(x-x^\ast) - F(x^\ast) (x-x^\ast) \|+\|F(x^\ast) (x-x^\ast)\|\le \gamma \|x-x^\ast\|^2 +\|F(x^\ast) (x-x^\ast)\|[/mm].
>
> >
> > Und wenn du jetzt [mm]y=x^\ast+t(x-x^\ast)[/mm] einsetzt, müsstest
> > du doch besser abschätzen können.
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
> Vielen Dank, Rainer! Der Hinweis hat mir sehr geholfen. Ich
> habe eine Idee wie ich jetzt die linke Seite der
> Ungleichung zeigen kann, bin mir aber nicht sicher, ob das
> wirklich korrekt ist:
> Ich bezeichne im Folgenden [mm]x-x^\* =: e[/mm] und [mm]|| F'(x^\*) x|| =: || x ||_\* [/mm].
> Ich habe bereits gezeigt, dass [mm]||*||_\*[/mm] auch eine Norm
> ist.
>
> [mm]|| F(x)|| /(1+\epsilon) = ||\int_{0}^{1} F'(x^\* + t (x-x^\*))\,(x-x^\*)\, dt || \; 1/(1+\epsilon) [/mm]
>
> [mm]\le \int_{0}^{1} || F'(x^\* + t (x-x^\*))\,(x-x^\*)|| \, dt \, 1/(1+\epsilon) [/mm]
>
> (siehe dein Hinweis oben) [mm]\le \bruch{\gamma \|e\|^2 +\|e\|_\*}{1+\epsilon}[/mm]
> (#)
>
> Sei nun [mm]\|e\|_\*[/mm] so klein, dass [mm]\gamma \|F'(x^\*)^{-1}\|^2 \|e\|_\* < \epsilon [/mm]
> für beliebige aber feste [mm]0 < \epsilon < 1[/mm].
> (Kann man das so machen? In der Voraussetzung steht ja '
> für [mm]x[/mm], die hinreichend nah an [mm]x^\*[/mm] sind'. Es heißt doch,
> dass ich deren Abstand in einer Norm beschränken kann, und
> da [mm]||*||_\*[/mm] auch eine Norm ist, kann ich das so sagen
> oder?)
Ja, da eine Norm stetig ist.
Da brauchst dazu gar nicht mal nachzuweisen, dass [mm] $\|\cdot\|_\ast$ [/mm] eine Norm ist. Betrachte die Abbildung
[mm] G(x) := |F'(x^\*)^{-1}\|^2 F'(x^\ast)x [/mm] ,
die offensichtlich linear und damit stetig ist. Daher existiert zu jedem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta>0$, [/mm] sodass
[mm] \|G(x)-G(x^\ast)\| < \epsilon [/mm], wenn [mm] $\|x-x^\ast\| [/mm] < [mm] \delta$.
[/mm]
Also existiert zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein $x$ genügend nahe bei [mm] $x^\ast$, [/mm] sodass die Bedingung
[mm]\|F'(x^\ast)^{-1}\|^2\|e\|_\ast = \bigl\|\|F'(x^\ast)^{-1}\|^2 F'(x^\ast) (x-x^\ast)\bigr\| = \|G(x)-G(x^\ast)\| < \epsilon [/mm]
erfüllt ist.
>
> Ich habe bereits gezeigt, dass
> 11. [mm]\| F'(x^\*) \| \|e\| \le \| F'(x^\*) \| \| F'(x^\*) ^{-1}\| \| e\|_\* [/mm].
>
> Damit gilt dann
> [mm]\bruch{\gamma \|e\|^2}{\|e\|_\*} \le[/mm] (wegen 11.) [mm]\gamma \|F'(x^*)^{-1}\|^2 \|e\|_\* < \epsilon[/mm]
> (merke als Gleichung 12.)
>
> Dann gilt weiter ab (#):
> [mm]\bruch{\gamma \|e\|^2 +\|e\|_\*}{1+\epsilon} < \bruch{\gamma \|e\|^2 +\|e\|_\*}{1 + \bruch{\gamma \|e\|^2}{\|e\|_\*} }[/mm]
> [mm]= \bruch{\gamma \|e\|^2 +\|e\|_\*}{\bruch{\|e\|_\* + \gamma \|e\|^2}{\|e\|_\*} } \; = \; \|e\|_\*[/mm]
>
> also das was zu zeigen war.
Sieht für mich gut aus. (Ich hätte das ohne die Norm [mm] $\|\cdot\|_\ast$ [/mm] geschrieben, aber das ändert ja nichts am Ergebnis.
>
>
> Und für die rechte Seite der Ungleichung habe ich
> folgendes versucht, was aber von der Idee her schon falsch
> ist, wie sich herausgestellt hat:
> Zu zeigen:und dann würde ich
[mm]\|F'(x)(x-x^\ast)\| \le \|F'(x)\|\,\|(x-x^\ast)\|[/mm]
und
[mm]
> [mm]\|e\|_\* \le (1 + \epsilon) \|F(x)\| [/mm], ich wollte zeigen:
> [mm]\|F(x)\| \ge \|e\|_\*/(1 + \epsilon)[/mm]
> Ich habe nach links
> und nach rechts weiter abgeschätzt und für die so
> erhaltenen neue linke und rechte Seite gezeigt, dass es ;-(
> gilt. Daraus folgt aber nicht die Behauptung, wie mir
> später an einem Gegenbeweis der Idee klar wurde. Denn wenn
> man von falschem ausgeht, so folgt beliebiges.
>
> Deshalb brauche ich auch bitte noch einen Hinweis für die
> rechte Seite der Ungleichung. Wie kann ich [mm]\| F(x) \|[/mm] nach
> unten abschätzen, sodass ich auf [mm]\| e\|_*/(1+\epsilon)[/mm]
> hinauskomme?
Vielleicht hilft die Lipschitz-Stetigkeit von $F'(x)$ auch hier. Es ist
[mm] \|F'(x^\ast)(x-x^\ast)\| \le \gamma \|x-x^\ast\|^2 + \|F'(x)(x-x^\ast)\| [/mm] ,
Lässt sich das geschickt abschätzen? (Im Moment fällt mir allerdings nichts dazu weiter ein. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") )
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 So 13.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
