Abschätzungen Ungleichungen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mo 24.03.2008 | | Autor: | LarsSon |
Hallo
Ich habe beim Thema vollst. Induktion von Ungleichungen echte Probleme....z.B. das Abschätzen.....Ich verstehe nicht wann man das anwendet bzw. wann es sinnvoll anzuwenden ist. Zudem verstehe ich auch nicht was ich da machen soll :/. Aufgaben anhand von Lösungen kann ich zwar einigermassen aber selber Aufgaben lösen eher nicht. Wär super wenn mir das jemand erklären könnte!
vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo LarsSon!
Evtl. wäre es hilfreich, wenn du mal ein Beispiel für eine solche Ungleichung geben könntest...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Mo 24.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
So allgemein kann man Fragen nicht beantworten. Induktion mit Ungleichungen ist immer etwas schwerer als solche mit Gleichungen. bei den letzten muss man ja eigentlich immer nur Formeln geschickt umstellen.
wenn man dagegen weiss an<bn und daraus beweisen muss [mm] a_{n+1}< b_{n+1}
[/mm]
muss man die erste ungleichung geschickt verwenden, und meist noch zusätlich rechts geschickt vergrößern. Dazu gibts keine allgemeinen Regeln. Was man immer verwenden kann: ein Bruch wird verkleinert, wenn man den Zähler verkleinert oder (und) den Nenner vergrößert. man vergr. indem man was negatives weglässt oder verkleinert. man verkleinert indem man was pos. verkleinert oder was neg. vergr.
sieh dir die Beispiele an, wo du die Lösung kennst, achte dabei auf die "Tricks" die beim Abschätzen benutzt wurden, schreib sie als TR1 bis TR6 auf, und du wirst sehen, es sind immer wieder dieselben!
Für genauere Informationen, musst du, wie schon von Bastiane gesagt, Beispiele anführen, die dir schwer vorkommen, und du den "Trick" nicht durchschaust.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mo 24.03.2008 | | Autor: | LarsSon |
| Aufgabe | D13: [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^i} \ge [/mm] 1 + [mm] \bruch{n}{2}
[/mm]
Induktionsanfang: N1: [...] 1,5 [mm] \ge [/mm] 1,5 => stimmt
Induktionsschluss:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{2^i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^i} [/mm] + [mm] \summe_{i=2^{n+1}}^{2^{n+1}} \bruch{1}{i} \ge [/mm] 1+ [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \summe_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{i} [/mm] > 1 + [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] 2^n [/mm] * [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{n+1}{2} [/mm] q.e.d. |
Hallo,
ich hab mal ne Aufgabe rausgesucht, die mir nicht so wirklich klar ist :>, wäre super wenn mir das jemand erklären könnte, vor allem WO "abgeschätzt wurde und warum! vielen Dank !!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich hab mal ne Aufgabe rausgesucht, die mir nicht so
> wirklich klar ist :>, wäre super wenn mir das jemand
> erklären könnte, vor allem WO "abgeschätzt wurde und warum!
das WO erkennst Du doch selbst anhand der Ungleichungszeichen! Was genau ist Dir denn bei dem Beweis unten unklar? Ich ergänze mal die Begründungen, wenn noch etwas unklar bleibt, dann frage bitte an der (oder den) entsprechenden Stelle(n) nach! Die von Dir geschriebenen Abschätzungen schreibe ich in Blau, das heißt, ich begründe nach jeder blauen Formel, wie diese zustande kommt!
> D13: [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^i} \ge[/mm] 1 + [mm]\bruch{n}{2}[/mm]
>
> Induktionsanfang: N1: [...] 1,5 [mm]\ge[/mm] 1,5 => stimmt
>
> Induktionsschluss:
>
[mm]\blue{\summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{2^i}= \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^i}+\summe_{i=2^{n+1}}^{2^{n+1}} \bruch{1}{i}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ist Dir die letzte Gleichheit klar? Dabei brauchst Du nur zu beachten, dass $\summe_{i=2^{n+1}}^{2^{n+1}} \bruch{1}{i}=\frac{1}{2^{n+1}}$ gilt.
$\blue{\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^i}+\summe_{i=2^{n+1}}^{2^{n+1}} \bruch{1}{i} \ge 1+\bruch{n}{2} + \summe_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i}}$
Die obige Ungleichung gilt, weil nach Induktionsvoraussetzung
$\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^i} \ge 1 + \bruch{n}{2}$
gilt!
Edit: Achtung!!!
Und hier wird der Beweis falsch, weil sich jemand verschrieben hat. Anstatt
$\summe_{i=2^{n+1}}^{2^{n+1}} \bruch{1}{i}$
wurde
$\summe_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{i}$
geschrieben, und die Abschätzung, die man benötigte
$\summe_{i=2^{n+1}}^{2^{n+1}} \bruch{1}{i} \le \summe_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{i}$
stimmt leider nicht. Da ich den Rest des Beweises aber begründet hatte, lasse ich den Rest auch mal stehen!
Weiter geht's in dem von Dir zitierten Beweis:
$\blue{1+\frac{n}{2} + \summe_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i} > 1 + \bruch{n}{2} + 2^n * \bruch{1}{2^{n+1}}}$
Diese Abschätzung ergibt sich aus folgendem:
Für jedes $i \in \{(2^n+1), (2^n+2), ..., (2^{n+1}-1)\}$ (die Klammern um die Zahlen innerhalb der Mengenklammer stehen nur der Deutlichkeit halber da, ich hätte sie auch weglassen können!) gilt $\frac{1}{i} > \frac{1}{2^{n+1}}$ und daher
$(\*)$
$\summe_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i}=\left(\summe_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}-1}\underbrace{\frac{1}{i}}_{ > \frac{1}{2^{n+1}}}\right)+\frac{1}{2^{n+1}} > \underbrace{\left(\sum_{i=2^n+1}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{2^{n+1}}\right)}_{=\underbrace{\left(2^{n+1}-1-(2^n+1-1)\right)}_{\mbox{siehe (\*\*)}}*\frac{1}{2^{n+1}}}}+\frac{1}{2^{n+1}}$
$=(2^{n+1}-2^n)*\frac{1}{2^{n+1}}=2^n(2-1)*\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^n}{2^{n+1}}$
($(\*\*)$ Beachte dabei: Für natürliche $n_1 \ge n_0$ gilt:
Bei $\sum_{k=n_0}^{n_1}x_k=x_{\green{n_0}}+x_{\green{n_0+1}}+...+x_{\green{n_1}}$ stehen $n_1-(n_0-1)$ Summanden, z.B. $\sum_{k=3}^7 x_k=x_3+x_4+x_5+x_6+x_7$, also $5=7-(3-1)$ Summanden!)
Zu guter letzt:
$\blue{1 + \bruch{n}{2} + 2^n * \bruch{1}{2^{n+1}}= 1 + \bruch{n}{2} + \bruch{1}{2} = 1 + \bruch{n+1}{2}}$
Diese Gleichheit gilt wegen $\frac{2^n}{2^{n+1}}=\frac{2^n}{2*2^n}=\frac{1}{2}$.
Übrigens ein Tipp:
Wenn Dir das ganze oben mit den Summenzeichen unklar ist, dann schreibe die ganze Summenzeichen mal aus. Zum Beispiel ist ja die obige Abschätzung $(\*)$ für Dich so vll. nicht so ganz einfach einzusehen. Das liegt sicherlich daran, dass Du zu wenig Erfahrung mit Abschätzungen mit dem Summenzeichen hast. Wenn Du es aber ausschreibst:
$\summe_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i}=\left(\summe_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}-1}\underbrace{\frac{1}{i}}_{ > \frac{1}{2^{n+1}}}\right)+\frac{1}{2^{n+1}}=\left(\underbrace{\frac{1}{2^n+1}}_{>\frac{1}{2^{n+1}}}+\underbrace{\frac{1}{2^n+2}}_{>\frac{1}{2^{n+1}}}+...+\underbrace{\frac{1}{2^{n+1}-1}}_{>\frac{1}{2^{n+1}}}\right)+\frac{1}{2^{n+1}}$
D.h. dort stehen (Erinnerung: vgl. $(\*\*)$) $2^{n+1}-(2^n+1-1)=2^{n+1}-2^n=2^n$ Summanden, von denen alle, bis auf einen, $> \frac{1}{2^{n+1}}$ sind, daher:
$\left(\underbrace{\frac{1}{2^n+1}}_{>\frac{1}{2^{n+1}}}+\underbrace{\frac{1}{2^n+2}}_{>\frac{1}{2^{n+1}}}+...+\underbrace{\frac{1}{2^{n+1}-1}}_{>\frac{1}{2^{n+1}}}\right)+\frac{1}{2^{n+1}} > 2^n *\frac{1}{2^{n+1}}$
Wenn es immer noch unklar ist:
Mache Dir mal anhand z.B. mit $n=3$ klar, warum
$\summe_{i=2^{3}+1}^{2^{3+1}}\frac{1}{i}=\sum_{i=9}^{16} \frac{1}{i} > \sum_{i=9}^{16} \frac{1}{2^{3+1}}=2^3*\frac{1}{2^4}$
Generell:
Die im Induktionsbeweis verwendete Strategie, die hier verfolgt wurde, ist einfach, dass man mit dem Ausdruck
$\summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{2^i} $
anfängt, die Induktionsvoraussetzung dann mit einbaut und hofft, dass man schlussendlich so nach unten abschätzen kann, dass sich die behauptete Ungleichung ergibt.
P.S.:
Wenn oben übrigens eigentlich einfach steht:
[mm]\sum^n\limits_{\red{i=0}} \bruch{1}{2^i} \red{\le}[/mm] 1 + [mm]\bruch{n}{2}[/mm]
Dann würde zum einen stimmen:
> Induktionsanfang: N1: [...] 1,5 [mm]\ge[/mm] 1,5 => stimmt
(Wobei man hier anstatt [mm] $\ge$ [/mm] dann in dieser Formulierung der Ungleichung besser [mm] $\le$ [/mm] schreiben würde, aber der I.A. würde jedenfalls stimmen!)
zum anderen wäre der Induktionsbeweis einfach:
[mm] $\sum_{i=0}^{n+1} \frac{1}{2^i}=\sum_{i=0}^n \frac{1}{2^i}+\frac{1}{2^{n+1}} \le 1+\frac{n}{2}+\frac{1}{2^{n+1}}$ [/mm] nach I.V. und wegen [mm] $\frac{1}{2^{n+1}} \le \frac{1}{2}$ [/mm] folgte:
[mm] $\sum_{i=0}^{n+1} \frac{1}{2^i}=\sum_{i=0}^n \frac{1}{2^i}+\frac{1}{2^{n+1}} \le 1+\frac{n}{2}+\frac{1}{2^{n+1}}\le 1+\frac{n}{2}+\frac{1}{2}=1+\frac{n+1}{2}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
noch eine Anmerkung (der Induktionsbeweis ist übrigens falsch, weil jemand einen Schreibfehler gemacht hatte oder die Aufgabenstellung falsch formuliert ist):
> D13: [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^i} \ge[/mm] 1 + [mm]\bruch{n}{2}[/mm]
Bist Du sicher, dass diese Aufgabe so formuliert worden ist? Es gilt nämlich für jedes $z [mm] \not=1$ [/mm] und $n [mm] \in \IN_0$, [/mm] dass
[mm] $\sum_{k=0}^n z^k=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$
[/mm]
Daher:
[mm] $\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^i}=\frac{1}{2}*\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{i-1}= \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^i=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \in [/mm] [0,1]$, also insbesondere
[mm] $\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^i} \le [/mm] 1$ für jedes $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Übrigens wäre die obige Ungleichung schon für $n=2$ falsch, sogar, wenn die Summe linkerhand anstatt von $i=1$ bei $i=0$ starten würde:
[mm] $\sum_{i=0}^2 \frac{1}{2^i}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1,75$, [/mm] aber
[mm] $1+\frac{2}{2}=2$, [/mm] d.h. für $n=2$ ist schon
[mm] $$\sum_{i=0}^n \frac{1}{2^i}=\sum_{i=0}^2 \frac{1}{2^i}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1,75$ $\blue{<}$ $2=1+\frac{2}{2}=1+\frac{n}{2}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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