Abschätzungen von Folgen und Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 Mi 07.07.2004 | | Autor: | phate |
Hi
Mich beschäftigen zur Zeit Folgen und Reihen. Speziell Abschätzungen, womit, wie ich glaube viele so ihre Probleme haben.
Laut Grenzwertdefinition muß für eine Folge an gelten:
[mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] mit [mm] \vorall\varepsilon [/mm] > 0
nehmen wir mal an ich hätte [mm] \bruch{1}{x^{2}+1}, [/mm] was ich ja
mit [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] abschätzen würde:
sprich ich verkleinere den nenner somit vergrößert sich der bruch.
Meine Frage: Wieso kann ich davon ausgehen, dass das immernoch
kleiner ist als [mm] \varepsilon. [/mm] Hat es was mit dem Majorantenkriterium zu tun,
dass ja ab einem bestimmten x [mm] \forall\varepsilon [/mm] größer ist als die abschätzung und somit auch größer als der bruch.
Vielen Dank für Eure mühe im voraus
phate
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Hallo!
Ich gebe zunächst einmal die exake Definition wider:
Sei [mm]\epsilon>0[/mm].
Dann ex. ein [mm]N \in \IN [/mm] so,
dass für alle n>N gilt:
[mm]|a_n-a| < \epsilon[/mm], wobei a der Limes der Folge [mm] a_n [/mm] ist.
So, jetzt mal zu Deinem Beispiel:
Deine Folge [mm] (a_n)_{n>1} [/mm] mit [mm] a_n [/mm] := [mm]\bruch{1}{n^{2}+1}[/mm] besitzt wohl offensichtlich den Grenzwert 0.
Also spielen wir den Beweis einfach mal durch!
Sei also [mm]\epsilon>0[/mm].
Dann ex. ein [mm]N \in \IN mit N=1/ \epsilon[/mm]
so dass für alle n>N gilt:
Jetzt kommen wir also zu den ABschätzungen:
[mm] |a_n-a| [/mm]
= |[mm]\bruch{1}{n^{2}+1}-0|[/mm]
= |[mm]\bruch{1}{n^{2}+1}|[/mm]
< |[mm]\bruch{1}{n^{2}}|[/mm]
< |[mm]\bruch{1}{n}|[/mm] , da n aus den natürlichen Zahlen ist
< |[mm]\bruch{1}{N}|[/mm] , da die Ungleichung für alle n>N gilt, also:
1/n < 1/N
< [mm]\epsilon[/mm]
Im vorletzten SChritt siehst Du auch, wie man N wählen muss, nämlich:
N=1/[mm]\epsilon[/mm].
Deine Abschätzungen waren somit bisher völlig richtig.
> Meine Frage: Wieso kann ich davon ausgehen, dass das
> immernoch
> kleiner ist als [mm]\varepsilon.[/mm]
Da N in ABhängigeit von epsilon gewählt wird, gewährleistet man, dass unendlich viele Folgenglieder diese Abschätzung erfüllen und nur endlich viele Folgenglieder dies nicht tun.
Dies ist aber ausreichend für den Grenzwertbeweis, da man schließlich wissen möchte, ob auch fast alle Folgenglider bis auf endlich viel gegen diesen Grenzwert laufen!
>Hat es was mit dem
> Majorantenkriterium zu tun,
> dass ja ab einem bestimmten x [mm]\forall\varepsilon[/mm] größer
> ist als die abschätzung und somit auch größer als der
> bruch.
Soweit brauchst Du meiner Meinung nach nicht gehen!
Ich hoffe, ich konnte Dir weiterhelfen!
Gruss,
Wurzelpi
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