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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:08 Di 27.05.2014 | | Autor: | HugATree |
| Aufgabe | Zeigen Sie: In dem normierten Raum [mm] $(C^0([0,1]),\parallel [/mm] . [mm] \parallel_\infty)$
[/mm]
gilt für [mm] $A:=\{f\in C^1([0,1]):f(0)=0\}, B:=\{f\in C^0([0,1]):f(0)=0\}$:
[/mm]
[mm] $\overline{A}=B$ [/mm] |
Guten Abend,
ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe und hänge leider etwas.
Was ich bis jetzt habe:
1. [mm] $\overline{A}\subseteq [/mm] B$:
B ist abgeschlossen in unserem normierten Raum und damit: [mm] $\overline{B}=B$ [/mm] und natürlich [mm] $A\subseteq [/mm] B$ und damit:
[mm] $\overline{A}\subseteq \overline{B}=B$
[/mm]
2. [mm] $\overline{A} \supseteq [/mm] B$:
Hier müsste ich ja nun iwie zeigen, dass für jedes [mm] $f\in [/mm] B$ und jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gilt: [mm] $\{g\in C^0([0,1]) : \parallel f-g \parallel_\infty<\epsilon\}\cap A\neq \emptyset$
[/mm]
Hier weiß ich jedoch nicht richtig wie ich vorgehen soll.
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Liebe Grüße
HugATree
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:07 Di 27.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie: In dem normierten Raum [mm](C^0([0,1]),\parallel . \parallel_\infty)[/mm]
>
> gilt für [mm]A:=\{f\in C^1([0,1]):f(0)=0\}, B:=\{f\in C^0([0,1]):f(0)=0\}[/mm]:
>
> [mm]\overline{A}=B[/mm]
> Guten Abend,
>
> ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe und hänge
> leider etwas.
>
> Was ich bis jetzt habe:
>
> 1. [mm]\overline{A}\subseteq B[/mm]:
> B ist abgeschlossen in unserem
> normierten Raum und damit: [mm]\overline{B}=B[/mm] und natürlich
> [mm]A\subseteq B[/mm] und damit:
> [mm]\overline{A}\subseteq \overline{B}=B[/mm]
>
> 2. [mm]\overline{A} \supseteq B[/mm]:
>
> Hier müsste ich ja nun iwie zeigen, dass für jedes [mm]f\in B[/mm]
> und jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] gilt: [mm]\{g\in C^0([0,1]) : \parallel f-g \parallel_\infty<\epsilon\}\cap A\neq \emptyset[/mm]
>
> Hier weiß ich jedoch nicht richtig wie ich vorgehen soll.
Bemühe den Approximationssatz von Weierstrass und bastle noch ein ganz klein wenig.
FRED
>
> Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
>
> Liebe Grüße
> HugATree
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> > Zeigen Sie: In dem normierten Raum [mm](C^0([0,1]),\parallel . \parallel_\infty)[/mm]
>
> >
> > gilt für [mm]A:=\{f\in C^1([0,1]):f(0)=0\}, B:=\{f\in C^0([0,1]):f(0)=0\}[/mm]:
>
> >
> > [mm]\overline{A}=B[/mm]
> > Guten Abend,
> >
> > ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe und hänge
> > leider etwas.
> >
> > Was ich bis jetzt habe:
> >
> > 1. [mm]\overline{A}\subseteq B[/mm]:
> > B ist abgeschlossen in
> unserem
> > normierten Raum und damit: [mm]\overline{B}=B[/mm] und natürlich
> > [mm]A\subseteq B[/mm] und damit:
> > [mm]\overline{A}\subseteq \overline{B}=B[/mm]
> >
> > 2. [mm]\overline{A} \supseteq B[/mm]:
> >
> > Hier müsste ich ja nun iwie zeigen, dass für jedes [mm]f\in B[/mm]
> > und jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] gilt: [mm]\{g\in C^0([0,1]) : \parallel f-g \parallel_\infty<\epsilon\}\cap A\neq \emptyset[/mm]
>
> >
> > Hier weiß ich jedoch nicht richtig wie ich vorgehen soll.
>
Hallo FRED und vielen Dank für deine Antwort.
>
> Bemühe den Approximationssatz von Weierstrass und bastle
> noch ein ganz klein wenig.
Den Satz dürfen wir laut Prof. nicht verwenden, da wir ihn noch nicht hatten!
Liebe Grüße
HugATree
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> FRED
> >
> > Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
> >
> > Liebe Grüße
> > HugATree
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 28.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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