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| Aufgabe | Es sei (M,d) ein metrischer Raum. Für einne Punkt y [mm] \in [/mm] M und eine Teilmenge A [mm] \subseteq [/mm] M setzten wird d(y,A) := inf [mm] \{ d(y,z) | z \in A \}
[/mm]
Zeige [mm] \overline{A} [/mm] = [mm] \{ y \in M | d(y,A)=0\} [/mm] |
Hallo
[mm] \overline{A} =\bigcap_{A\subseteq F, F abg }F [/mm]
a [mm] \in \overline{A} [/mm] d.h. a [mm] \in [/mm] F für F abgeschlossen un A [mm] \subseteq [/mm] F
ZZ.: d(a,A)=0 d.h. inf [mm] \{ d(a,z)|z\in A\} [/mm] =0
Ich hab versucht mit indirekten Beweis es zu versuchen, ist mir jedoch nicht gelungen. Auch ist mir eine Umkehrschluss nicht gelungen durchzuführen.
Für einen Tipp wäre ich dankbar.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 So 10.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Tipps:
1. für y [mm] \in [/mm] A ist d(y,A)=0.
2. y [mm] \in \overline{A} \gdw [/mm] es ex. eine Folge [mm] (y_n) [/mm] in A mit [mm] y_n \to [/mm] y
3. Stetigkeit der Metrik.
FRED
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Hallo
für y [mm] \in [/mm] A : d(y,A)= inf [mm] \{ d(y,z)| z \in A \} [/mm] = d(y,y)=0 ist klar.
y [mm] \in \overline{A}, [/mm] d.h. y [mm] \in [/mm] F für F abgeschlossen und A [mm] \subseteq [/mm] F
heißt dass nicht nur WENN eine Folge existiert [mm] y_n \in [/mm] F mit [mm] y_n [/mm] -> y dann ist y [mm] \in [/mm] F?
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Hallo,
> für y [mm]\in[/mm] A : d(y,A)= inf [mm]\{ d(y,z)| z \in A \}[/mm] = d(y,y)=0
> ist klar.
Genau.
> y [mm]\in \overline{A},[/mm] d.h. y [mm]\in[/mm] F für F abgeschlossen und A
> [mm]\subseteq[/mm] F
> heißt dass nicht nur WENN eine Folge existiert [mm]y_n \in[/mm] F
> mit [mm]y_n[/mm] -> y dann ist y [mm]\in[/mm] F?
Für abgeschlossene Mengen stimmt das (das ist eine Möglichkeit abgeschlossene Mengen zu definieren).
Hier geht es aber um den Abschluss von A. Und den kann man alternativ zu deiner Def. auch mittels
[mm] $\overline{A} [/mm] = [mm] \{y: \exists (y_n) \subset A mit y_n \to y\}$
[/mm]
definieren, also als Menge aller Grenzwerte, die mit Folgen aus $A$ möglich sind. (Das könntest du dir aus eurer Def. herleiten)
---
Du hast also für $y [mm] \in \overline{A}$ [/mm] sicher eine Folge [mm] $(y_n) \subset [/mm] A$ mit [mm] $y_n \to [/mm] y$, d.h. [mm] $d(y,y_n) \to [/mm] 0$.
Nun nutze
$d(y,A) [mm] \le d(y,y_n) \to [/mm] 0$.
Also $d(y,A) = 0$.
---
Es fehlt noch die Rückrichtung. Ist $y [mm] \in [/mm] M$ mit $d(y,A) = 0$, dann kannst du automatisch eine Folge [mm] $(y_n) \subset [/mm] A$ mit [mm] $y_n \to [/mm] y$ erhalten wegen dem Infimum. Also $y [mm] \in \overline{A}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo,
danke für die Antwort.
Ich komme nicht damit zurrecht das:
$ [mm] \overline{A} [/mm] = [mm] \{y: \exists (y_n) \subset A mit y_n \to y\} [/mm] $
gilt. Bzw. hatten wir diese Umformulierung nicht. Mir ist auch nicht klar - warum das eine umformulierung von meiner definition ist...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Mo 11.03.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo theresetom,
> danke für die Antwort.
> Ich komme nicht damit zurrecht das:
> [mm]\overline{A} = \{y: \exists (y_n) \subset A mit y_n \to y\}[/mm]
>
> gilt. Bzw. hatten wir diese Umformulierung nicht. Mir ist
> auch nicht klar - warum das eine umformulierung von meiner
> definition ist...
Eine $A$-Folge sei eine Folge, deren Glieder in der Menge $A$ liegen.
Sei $X$ die Menge der Grenzwerte konvergenter A-Folgen. Wir wollen [mm] $X=\overline [/mm] A$ zeigen.
Sei hierzu [mm] (x_n) [/mm] eine $A$-Folge mit [mm] $x_n\to x\,.$ [/mm] Wegen [mm] $A\subseteq \overline [/mm] A$ ist [mm] $(x_n)$ [/mm] auch eine [mm] $\overline [/mm] A$-Folge und weil [mm] $\overline [/mm] A$ als Durchschnitt abgeschlossener Mengen selbst abgeschlossen ist, erhalten wir [mm] $x\in \overline A\,.$
[/mm]
Sei umgekehrt [mm] $x\in \overline A\,.$ [/mm] Angenommen, es gäbe keine A-Folge, die gegen $x$ konvergiert. Dann gäbe es eine offene Umgebung $U$ von $x$ mit [mm] $U\cap A=\emptyset\,,$ [/mm] und [mm] $\overline A\setminus [/mm] U$ wäre eine abgeschlossene Menge, die $A$ enthält. Da [mm] $\overline [/mm] A$ der Durchschnitt solcher Mengen ist, wäre [mm] $x\in \overline [/mm] A [mm] \setminus U\$ [/mm] im Widerspruch zu [mm] $x\in U\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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> Dann gäbe es eine offene Umgebung $ U $ von $ x $ mit $ [mm] U\cap A=\emptyset\,, [/mm] $
Hallo,
Wie kommst du auf diese Folgerung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:24 Mi 20.03.2013 | | Autor: | Helbig |
> > Dann gäbe es eine offene Umgebung [mm]U[/mm] von [mm]x[/mm] mit [mm]U\cap A=\emptyset\,,[/mm]
>
> Hallo,
> Wie kommst du auf diese Folgerung?
Andernfalls gäbe es zu jedem [mm] $n\in\IN$ [/mm] ein [mm] $x_n\in [/mm] A$ mit [mm] $d(x,x_n)<1/n\,.$ [/mm]
Gruß,
Wolfgang
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Hallo
Ich stocke noch bei der Rückrichtung:
> Es fehlt noch die Rückrichtung. Ist $ y [mm] \in [/mm] M $ mit $ d(y,A) = 0 $, dann kannst du automatisch eine Folge $ [mm] (y_n) \subset [/mm] A $ mit $ [mm] y_n \to [/mm] y $ erhalten wegen dem Infimum. Also $ y [mm] \in \overline{A} [/mm] $.
ich sehe nicht wie ich die Folge finden kann..
Ist y [mm] \in [/mm] M mit d(y,A)=0
-> [mm] \forall [/mm] epsilon>0, [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A mit d(y,a) <= [mm] \epsilon
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Mo 11.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> Ich stocke noch bei der Rückrichtung:
> > Es fehlt noch die Rückrichtung. Ist [mm]y \in M[/mm] mit [mm]d(y,A) = 0 [/mm],
> dann kannst du automatisch eine Folge [mm](y_n) \subset A[/mm] mit
> [mm]y_n \to y[/mm] erhalten wegen dem Infimum. Also [mm]y \in \overline{A} [/mm].
>
> ich sehe nicht wie ich die Folge finden kann..
> Ist y [mm]\in[/mm] M mit d(y,A)=0
> -> [mm]\forall[/mm] epsilon>0, [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A mit d(y,a) <=
> [mm]\epsilon[/mm]
Zu [mm] \epsilon=1 [/mm] ex. ein [mm] a_1 \in [/mm] A mit [mm] d(y,a_1)<1
[/mm]
Zu [mm] \epsilon=1/2 [/mm] ex. ein [mm] a_2 \in [/mm] A mit [mm] d(y,a_2)<1/2
[/mm]
...................................
Klingelt da jetzt was ?
FRED
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STimmt.
Man erhält also eine Folge [mm] (a_n)_{n\in \IN} [/mm] in A mit [mm] a_n [/mm] -> y
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Mo 11.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> STimmt.
> Man erhält also eine Folge [mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm] in A mit [mm]a_n[/mm]
> -> y
Ja
FRED
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