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Abschluss einer Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 So 01.03.2015
Autor: Peter_123

Aufgabe
Sei $A:= [mm] \{z \in \mathbb{C} : |z|=1 \}$ [/mm] , sodass [mm] $\langle [/mm] A, [mm] \cdot \rangle [/mm] $ eine Untergruppe von [mm] $\langle \mathbb{C} \backslash \{0\} [/mm] , [mm] \cdot \rangle [/mm] $ ist.
Sei $a [mm] \in [/mm] A$ und setze [mm] $P_{a}:= \{a^n : n \in \mathbb{N} \}$. [/mm] Bestimme den Abschluss von [mm] P_{a} [/mm] und bestimme den Abschluss der von a in A erzeugten Untergruppe [mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle [/mm] = [mm] \{a^n : n \in \mathbb{Z} \} [/mm] $


Hallo,


Hat eventuell jemand einen Tipp zu der Aufgabe ?
Ich glaube, dass das schwerer ist als es aussieht ... vorerst dachte ich, dass der Abschluss von [mm] P_{a} [/mm] einfach [mm] $\{ z \in \mathbb{C} : z \le 1 \} [/mm] $ ist - allerdings denke ich, dass da was nicht passen wird ... ich bin auch nicht sicher, ob man nicht unterscheiden sollte ob a rational od irrational ist ?


Vielen Dank für etwaige Hilfestellungen


Lg Peter

        
Bezug
Abschluss einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 So 01.03.2015
Autor: Fulla


> Sei [mm]A:= \{z \in \mathbb{C} : |z|=1 \}[/mm] , sodass [mm]\langle A, \cdot \rangle[/mm]
> eine Untergruppe von [mm]\langle \mathbb{C} \backslash \{0\} , \cdot \rangle[/mm]
> ist.
> Sei [mm]a \in A[/mm] und setze [mm]P_{a}:= \{a^n : n \in \mathbb{N} \}[/mm].
> Bestimme den Abschluss von [mm]P_{a}[/mm] und bestimme den Abschluss
> der von a in A erzeugten Untergruppe [mm]\langle a \rangle = \{a^n : n \in \mathbb{Z} \}[/mm]

>

> Hallo,

Hallo Peter!

> Hat eventuell jemand einen Tipp zu der Aufgabe ?
> Ich glaube, dass das schwerer ist als es aussieht ...
> vorerst dachte ich, dass der Abschluss von [mm]P_{a}[/mm] einfach [mm]\{ z \in \mathbb{C} : z \le 1 \}[/mm]

Ich nehme mal an, dass du "[mm]|z|\le 1[/mm]" meinst. Das kann aber nicht sein, denn so wie [mm]A[/mm] und [mm]P_a[/mm] definiert sind, sind in beiden Mengen nur Punkte auf dem Einheitskreis - und keiner im Inneren der Kreisscheibe.

> ist - allerdings denke ich, dass da was nicht passen wird
> ... ich bin auch nicht sicher, ob man nicht unterscheiden
> sollte ob a rational od irrational ist ?

Ja, ich denke, dass man diese beiden Fälle untersuchen muss.

Wie kann [mm]P_a[/mm] denn aussehen?
1. Man landet für irgendein n wieder bei a
2. Man landet kein zweites Mal bei a

Bei 1. ist [mm]P_a[/mm] eine endliche Menge isolierter Punkte und bei 2. eine Menge mit unendlich vielen Punkten (sind die dann auch isoliert?).


Lieben Gruß,
Fulla

 

Bezug
        
Bezug
Abschluss einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:09 Mo 02.03.2015
Autor: fred97


> Sei [mm]A:= \{z \in \mathbb{C} : |z|=1 \}[/mm] , sodass [mm]\langle A, \cdot \rangle[/mm]
> eine Untergruppe von [mm]\langle \mathbb{C} \backslash \{0\} , \cdot \rangle[/mm]
> ist.
>  Sei [mm]a \in A[/mm] und setze [mm]P_{a}:= \{a^n : n \in \mathbb{N} \}[/mm].
> Bestimme den Abschluss von [mm]P_{a}[/mm] und bestimme den Abschluss
> der von a in A erzeugten Untergruppe [mm]\langle a \rangle = \{a^n : n \in \mathbb{Z} \}[/mm]
>  
> Hallo,
>
>
> Hat eventuell jemand einen Tipp zu der Aufgabe ?
> Ich glaube, dass das schwerer ist als es aussieht ...
> vorerst dachte ich, dass der Abschluss von [mm]P_{a}[/mm] einfach [mm]\{ z \in \mathbb{C} : z \le 1 \}[/mm]
> ist - allerdings denke ich, dass da was nicht passen wird

Nein. Das passt nicht. Denn es ist [mm] $P_a \subseteq [/mm] A$ und damit auch

    [mm] $\overline{P_a}\subseteq [/mm] A$,

denn A ist abgeschlossen.


> ... ich bin auch nicht sicher, ob man nicht unterscheiden
> sollte ob a rational od irrational ist ?


Ist a [mm] \in [/mm] A, so gibt es ein t [mm] \in [/mm] [-1,1]  mit

   [mm] a=e^{i \pi t}. [/mm]

Nun unterscheide t [mm] \in \IQ [/mm] und t [mm] \notin \IQ [/mm]

FRED

>
>
> Vielen Dank für etwaige Hilfestellungen
>  
>
> Lg Peter


Bezug
                
Bezug
Abschluss einer Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:05 Mi 04.03.2015
Autor: Peter_123

Hallo ,


Danke für eure Antworten.

Na gut also für irrationales t bekomme ich dann einfach den ganzen Kreis - und für rationales ist die Menge endlich - also kriege ich einfach eine Art Vieleck ?


Lg Peter

Bezug
                        
Bezug
Abschluss einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Mi 04.03.2015
Autor: fred97


> Hallo ,
>
>
> Danke für eure Antworten.
>  
> Na gut also für irrationales t bekomme ich dann einfach
> den ganzen Kreis


Wenn Du damit [mm] \{z \in \IC: |z|=1 \} [/mm] meinst, so stimmt das.



>  - und für rationales ist die Menge
> endlich

ja

> - also kriege ich einfach eine Art Vieleck ?

Nein. Ist [mm] P_a [/mm] endlich, so ist [mm] P_a [/mm] abgeschlossen und somit

  [mm] P_a= \overline{P_a} [/mm]

FRED

>
>
> Lg Peter  


Bezug
                                
Bezug
Abschluss einer Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:20 Mi 04.03.2015
Autor: Peter_123

Danke. Ja genau ich meinte die abgeschlossene Einheitskreisscheibe.

bleibt die Frage : was der Abschluss der von a in A erzeugten Untegruppe ist ?


Habt ihr da einen Tipp ?


Lg Peter

Bezug
                                        
Bezug
Abschluss einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Mi 04.03.2015
Autor: fred97


> Danke. Ja genau ich meinte die abgeschlossene
> Einheitskreisscheibe.
>  
> bleibt die Frage : was der Abschluss der von a in A
> erzeugten Untegruppe ist ?
>
>
> Habt ihr da einen Tipp ?

Fall 1: [mm] P_a [/mm] endlich. Ist dann $<a>$ endlich oder unendlich ?

Fall 2: [mm] P_a [/mm] unendlich, dann hatten wir doch [mm] \overline{P_a}=A. [/mm]

Nun ist

  [mm] $P_a \subseteq [/mm] <a> [mm] \subseteq [/mm] A$

Was ist dann wohl [mm] \overline{} [/mm] ?

FRED

>
>
> Lg Peter  


Bezug
                                                
Bezug
Abschluss einer Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 Mi 04.03.2015
Autor: Peter_123


> > Danke. Ja genau ich meinte die abgeschlossene
> > Einheitskreisscheibe.
>  >  
> > bleibt die Frage : was der Abschluss der von a in A
> > erzeugten Untegruppe ist ?
> >
> >
> > Habt ihr da einen Tipp ?
>
> Fall 1: [mm]P_a[/mm] endlich. Ist dann [mm][/mm] endlich oder unendlich ?
>  

Endlich und damit [mm] \overline{
} [/mm] = <a>
> Fall 2: [mm]P_a[/mm] unendlich, dann hatten wir doch
> [mm]\overline{P_a}=A.[/mm]
>  
> Nun ist
>
> [mm]P_a \subseteq
\subseteq A[/mm]
>  
> Was ist dann wohl [mm]\overline{
}[/mm] ?

Vermutlich ist dann der Abschluss wieder A.

>  
> FRED
>  >

> >

Vielen Dank

Lg

> > Lg Peter  
>  


Bezug
                                                        
Bezug
Abschluss einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Mi 04.03.2015
Autor: fred97


> > > Danke. Ja genau ich meinte die abgeschlossene
> > > Einheitskreisscheibe.
>  >  >  
> > > bleibt die Frage : was der Abschluss der von a in A
> > > erzeugten Untegruppe ist ?
> > >
> > >
> > > Habt ihr da einen Tipp ?
> >
> > Fall 1: [mm]P_a[/mm] endlich. Ist dann [mm][/mm] endlich oder unendlich ?
>  >  
> Endlich und damit [mm]\overline{
}[/mm] = <a>

Ja


> > Fall 2: [mm]P_a[/mm] unendlich, dann hatten wir doch
> > [mm]\overline{P_a}=A.[/mm]
>  >  
> > Nun ist
> >
> > [mm]P_a \subseteq
\subseteq A[/mm]
>  >  
> > Was ist dann wohl [mm]\overline{
}[/mm] ?
>  Vermutlich ist dann der Abschluss wieder A.

Vermutlich ? Begründe: [mm]\overline{
}=A[/mm]


FRED

> >  

> > FRED
>  >  >

> > >
> Vielen Dank
>
> Lg
> > > Lg Peter  
> >  

>  


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