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| Aufgabe | Sei $A:= [mm] \{z \in \mathbb{C} : |z|=1 \}$ [/mm] , sodass [mm] $\langle [/mm] A, [mm] \cdot \rangle [/mm] $ eine Untergruppe von [mm] $\langle \mathbb{C} \backslash \{0\} [/mm] , [mm] \cdot \rangle [/mm] $ ist.
Sei $a [mm] \in [/mm] A$ und setze [mm] $P_{a}:= \{a^n : n \in \mathbb{N} \}$. [/mm] Bestimme den Abschluss von [mm] P_{a} [/mm] und bestimme den Abschluss der von a in A erzeugten Untergruppe [mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle [/mm] = [mm] \{a^n : n \in \mathbb{Z} \} [/mm] $ |
Hallo,
Hat eventuell jemand einen Tipp zu der Aufgabe ?
Ich glaube, dass das schwerer ist als es aussieht ... vorerst dachte ich, dass der Abschluss von [mm] P_{a} [/mm] einfach [mm] $\{ z \in \mathbb{C} : z \le 1 \} [/mm] $ ist - allerdings denke ich, dass da was nicht passen wird ... ich bin auch nicht sicher, ob man nicht unterscheiden sollte ob a rational od irrational ist ?
Vielen Dank für etwaige Hilfestellungen
Lg Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 So 01.03.2015 | | Autor: | Fulla |
> Sei [mm]A:= \{z \in \mathbb{C} : |z|=1 \}[/mm] , sodass [mm]\langle A, \cdot \rangle[/mm]
> eine Untergruppe von [mm]\langle \mathbb{C} \backslash \{0\} , \cdot \rangle[/mm]
> ist.
> Sei [mm]a \in A[/mm] und setze [mm]P_{a}:= \{a^n : n \in \mathbb{N} \}[/mm].
> Bestimme den Abschluss von [mm]P_{a}[/mm] und bestimme den Abschluss
> der von a in A erzeugten Untergruppe [mm]\langle a \rangle = \{a^n : n \in \mathbb{Z} \}[/mm]
>
> Hallo,
Hallo Peter!
> Hat eventuell jemand einen Tipp zu der Aufgabe ?
> Ich glaube, dass das schwerer ist als es aussieht ...
> vorerst dachte ich, dass der Abschluss von [mm]P_{a}[/mm] einfach [mm]\{ z \in \mathbb{C} : z \le 1 \}[/mm]
Ich nehme mal an, dass du "[mm]|z|\le 1[/mm]" meinst. Das kann aber nicht sein, denn so wie [mm]A[/mm] und [mm]P_a[/mm] definiert sind, sind in beiden Mengen nur Punkte auf dem Einheitskreis - und keiner im Inneren der Kreisscheibe.
> ist - allerdings denke ich, dass da was nicht passen wird
> ... ich bin auch nicht sicher, ob man nicht unterscheiden
> sollte ob a rational od irrational ist ?
Ja, ich denke, dass man diese beiden Fälle untersuchen muss.
Wie kann [mm]P_a[/mm] denn aussehen?
1. Man landet für irgendein n wieder bei a
2. Man landet kein zweites Mal bei a
Bei 1. ist [mm]P_a[/mm] eine endliche Menge isolierter Punkte und bei 2. eine Menge mit unendlich vielen Punkten (sind die dann auch isoliert?).
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Mo 02.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A:= \{z \in \mathbb{C} : |z|=1 \}[/mm] , sodass [mm]\langle A, \cdot \rangle[/mm]
> eine Untergruppe von [mm]\langle \mathbb{C} \backslash \{0\} , \cdot \rangle[/mm]
> ist.
> Sei [mm]a \in A[/mm] und setze [mm]P_{a}:= \{a^n : n \in \mathbb{N} \}[/mm].
> Bestimme den Abschluss von [mm]P_{a}[/mm] und bestimme den Abschluss
> der von a in A erzeugten Untergruppe [mm]\langle a \rangle = \{a^n : n \in \mathbb{Z} \}[/mm]
>
> Hallo,
>
>
> Hat eventuell jemand einen Tipp zu der Aufgabe ?
> Ich glaube, dass das schwerer ist als es aussieht ...
> vorerst dachte ich, dass der Abschluss von [mm]P_{a}[/mm] einfach [mm]\{ z \in \mathbb{C} : z \le 1 \}[/mm]
> ist - allerdings denke ich, dass da was nicht passen wird
Nein. Das passt nicht. Denn es ist [mm] $P_a \subseteq [/mm] A$ und damit auch
[mm] $\overline{P_a}\subseteq [/mm] A$,
denn A ist abgeschlossen.
> ... ich bin auch nicht sicher, ob man nicht unterscheiden
> sollte ob a rational od irrational ist ?
Ist a [mm] \in [/mm] A, so gibt es ein t [mm] \in [/mm] [-1,1] mit
[mm] a=e^{i \pi t}.
[/mm]
Nun unterscheide t [mm] \in \IQ [/mm] und t [mm] \notin \IQ
[/mm]
FRED
>
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> Vielen Dank für etwaige Hilfestellungen
>
>
> Lg Peter
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Hallo ,
Danke für eure Antworten.
Na gut also für irrationales t bekomme ich dann einfach den ganzen Kreis - und für rationales ist die Menge endlich - also kriege ich einfach eine Art Vieleck ?
Lg Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Mi 04.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ,
>
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> Danke für eure Antworten.
>
> Na gut also für irrationales t bekomme ich dann einfach
> den ganzen Kreis
Wenn Du damit [mm] \{z \in \IC: |z|=1 \} [/mm] meinst, so stimmt das.
> - und für rationales ist die Menge
> endlich
ja
> - also kriege ich einfach eine Art Vieleck ?
Nein. Ist [mm] P_a [/mm] endlich, so ist [mm] P_a [/mm] abgeschlossen und somit
[mm] P_a= \overline{P_a}
[/mm]
FRED
>
>
> Lg Peter
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Danke. Ja genau ich meinte die abgeschlossene Einheitskreisscheibe.
bleibt die Frage : was der Abschluss der von a in A erzeugten Untegruppe ist ?
Habt ihr da einen Tipp ?
Lg Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mi 04.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke. Ja genau ich meinte die abgeschlossene
> Einheitskreisscheibe.
>
> bleibt die Frage : was der Abschluss der von a in A
> erzeugten Untegruppe ist ?
>
>
> Habt ihr da einen Tipp ?
Fall 1: [mm] P_a [/mm] endlich. Ist dann $<a>$ endlich oder unendlich ?
Fall 2: [mm] P_a [/mm] unendlich, dann hatten wir doch [mm] \overline{P_a}=A.
[/mm]
Nun ist
[mm] $P_a \subseteq [/mm] <a> [mm] \subseteq [/mm] A$
Was ist dann wohl [mm] \overline{} [/mm] ?
FRED
>
>
> Lg Peter
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> > Danke. Ja genau ich meinte die abgeschlossene
> > Einheitskreisscheibe.
> >
> > bleibt die Frage : was der Abschluss der von a in A
> > erzeugten Untegruppe ist ?
> >
> >
> > Habt ihr da einen Tipp ?
>
> Fall 1: [mm]P_a[/mm] endlich. Ist dann [mm][/mm] endlich oder unendlich ?
>
Endlich und damit [mm] \overline{} [/mm] = <a>
> Fall 2: [mm]P_a[/mm] unendlich, dann hatten wir doch
> [mm]\overline{P_a}=A.[/mm]
>
> Nun ist
>
> [mm]P_a \subseteq \subseteq A[/mm]
>
> Was ist dann wohl [mm]\overline{}[/mm] ?
Vermutlich ist dann der Abschluss wieder A.
>
> FRED
> >
> >
Vielen Dank
Lg
> > Lg Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Mi 04.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > Danke. Ja genau ich meinte die abgeschlossene
> > > Einheitskreisscheibe.
> > >
> > > bleibt die Frage : was der Abschluss der von a in A
> > > erzeugten Untegruppe ist ?
> > >
> > >
> > > Habt ihr da einen Tipp ?
> >
> > Fall 1: [mm]P_a[/mm] endlich. Ist dann [mm][/mm] endlich oder unendlich ?
> >
> Endlich und damit [mm]\overline{}[/mm] = <a>
Ja
> > Fall 2: [mm]P_a[/mm] unendlich, dann hatten wir doch
> > [mm]\overline{P_a}=A.[/mm]
> >
> > Nun ist
> >
> > [mm]P_a \subseteq \subseteq A[/mm]
> >
> > Was ist dann wohl [mm]\overline{}[/mm] ?
> Vermutlich ist dann der Abschluss wieder A.
Vermutlich ? Begründe: [mm]\overline{}=A[/mm]
FRED
> >
> > FRED
> > >
> > >
> Vielen Dank
>
> Lg
> > > Lg Peter
> >
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