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Abschluss im metrischen Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:15 Di 19.11.2013
Autor: rainman_do

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Es sei $(E,d)$ ein metrischer Raum. Für $x_0 \in E$ und $r>0$ seien
$U_{r}(x_{0}):=\{ x\in E: d(x,x_{0})<r \}$ und $B_{r}(x_{0}):= \{ x\in E: d(x,x_{0})\leq r \}$.

Weiter sei $\overline{U_{r}(x_{0})}$ der Abschluss von $U_{r}(x_{0})$.

a) Zeigen Sie, dass $\overline{U_{r}(x_{0})} \subset B_{r}(x_{0})$.

b) Geben Sie ein Beispiel an, dass im Allgemeinen $\overline{U_{x_{0}}=B_{r}(x_{0})$ nicht gilt. Welche Aussagen gelten für das Innere von $(U_{r}(x_{0}))^o$ und den Rand $\partial U_{r}(x_{0})$ von $U_{r}(x_{0})$?

c) Nun sei $(E,||\cdot ||)$ ein normierter Raum und $d$ die von der Norm $||\cdot||$ erzeugte Metrik. Zeigen Sie, dass $\overline{U_{r}(x_{0})}=B_{r}(x_{0})$. Welche Aussagen gelten für das Innere und den Rand von $U_{r}(x_{0})$?

Hallo Zusammen,

ich bin mal wieder auf eure Hilfe angewiesen :-)

Ich denke für solche Aufgaben noch zu sehr in normierten Räumen und kann mich von diesem Denken irgendwie schlecht trennen. Was bei mir halt immer im Hinterkopf ist, ist, dass der Rand von $U_r$ die Menge aller $x$ mit $d(x_{0},x)=r$ ist und somit automatisch $U_{r}=B_{r}$ gilt. Also es wird ja vermutlich daran scheitern, dass die Metrik nicht von einer Norm induziert wird und daher der Abschluss von $U_r$ nicht gleich $B_r$ ist. D.h. ich muss eine Metrik finden, für die der Abschluss von $U_r$ anders aussieht als $B_r$, evtl. gibt es sogar eine Metrik, für die $U_r$ abgeschlossen ist? Habt Ihr einen Ansatz für mich?

Vielen Dank schon mal im Voraus!

        
Bezug
Abschluss im metrischen Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Di 19.11.2013
Autor: fred97


> Es sei [mm](E,d)[/mm] ein metrischer Raum. Für [mm]x_0 \in E[/mm] und [mm]r>0[/mm]
> seien
>  [mm]U_{r}(x_{0}):=\{ x\in E: d(x,x_{0})
> [mm]B_{r}(x_{0}):= \{ x\in E: d(x,x_{0})\leq r \}[/mm].
>  
> Weiter sei [mm]\overline{U_{r}(x_{0})}[/mm] der Abschluss von
> [mm]U_{r}(x_{0})[/mm].
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\overline{U_{r}(x_{0})} \subset B_{r}(x_{0})[/mm].
>
> b) Geben Sie ein Beispiel an, dass im Allgemeinen
> [mm]\overline{U_{x_{0}}=B_{r}(x_{0})[/mm] nicht gilt. Welche
> Aussagen gelten für das Innere von [mm](U_{r}(x_{0}))^o[/mm] und
> den Rand [mm]\partial U_{r}(x_{0})[/mm] von [mm]U_{r}(x_{0})[/mm]?
>  
> c) Nun sei [mm](E,||\cdot ||)[/mm] ein normierter Raum und [mm]d[/mm] die von
> der Norm [mm]||\cdot||[/mm] erzeugte Metrik. Zeigen Sie, dass
> [mm]\overline{U_{r}(x_{0})}=B_{r}(x_{0})[/mm]. Welche Aussagen
> gelten für das Innere und den Rand von [mm]U_{r}(x_{0})[/mm]?
>  Hallo Zusammen,
>  
> ich bin mal wieder auf eure Hilfe angewiesen :-)
>  
> Ich denke für solche Aufgaben noch zu sehr in normierten
> Räumen und kann mich von diesem Denken irgendwie schlecht
> trennen. Was bei mir halt immer im Hinterkopf ist, ist,
> dass der Rand von [mm]U_r[/mm] die Menge aller [mm]x[/mm] mit [mm]d(x_{0},x)=r[/mm]
> ist und somit automatisch [mm]U_{r}=B_{r}[/mm] gilt. Also es wird ja
> vermutlich daran scheitern, dass die Metrik nicht von einer
> Norm induziert wird und daher der Abschluss von [mm]U_r[/mm] nicht
> gleich [mm]B_r[/mm] ist. D.h. ich muss eine Metrik finden, für die
> der Abschluss von [mm]U_r[/mm] anders aussieht als [mm]B_r[/mm], evtl. gibt
> es sogar eine Metrik, für die [mm]U_r[/mm] abgeschlossen ist? Habt
> Ihr einen Ansatz für mich?

Tipp: diskrete Metrik.

FRED

>  
> Vielen Dank schon mal im Voraus!


Bezug
                
Bezug
Abschluss im metrischen Raum: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:22 Di 19.11.2013
Autor: rainman_do

Danke für die Antwort! Geht das denn wohl so wie unten beschrieben, oder muss ich da einen anderen Weg gehen?

a) Scheint mir zu einfach: Sei $x [mm] \in U_{r}(x_{0})$, [/mm] dann ist [mm] $d(x,x_{0})
b) Jede Teilmenge eines metrischen Raums ausgestattet mit der diskreten Metrik ist zugleich offen und abgeschlossen, also ist [mm] $\overline{U_{r}(x_{0})}=U_{r}(x_{0})$ [/mm] und insbesondere [mm] $\ne B_{r}(x_{0})$. [/mm] Außerdem wäre dann [mm] $(U_{r}(x_{0}))^{o}=\overline{U_{r}(x_{0})}=U_{r}(x_{0})$ [/mm] und was ist dann [mm] $\partial U_{r}(x_{0})$? [/mm] Die leere Menge?

c) Da ist es ja (hoffentlich) so, wie ich oben vermutet hatte, nämlich dass [mm] $\partial U_{r}(x_{0})=\{ x\in E : d(x,x_{0})=r\} [/mm] und so weiter...

Vielen Dank schon mal!

Bezug
                        
Bezug
Abschluss im metrischen Raum: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Do 21.11.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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