Abschluss immer abgeschlossen? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Do 24.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Ist der Abschluss einer Menge immer abgeschlossen? |
Hi,
ich habe gerade diese triviale Frage. Ist der Abschluss einer Menge immer abgeschlossen?
Meiner Meinung nach schon. Aber so wirklich begründen könnte ich es nicht.
Ich gehe gerade eine Klausuraufgabe durch, da ist folgendes gegeben:
Sei [mm] $B\subset \mathbb{R}^n$ [/mm] beschränkt. Zeigen Sie [mm] $\overline{B}\subset\mathbb{R}^n$ [/mm] ist kompakt.
Wenn der Abschluss einer Menge immer abgeschlossen ist, dann ist der Beweis trivial und folgt direkt aus dem Satz von Heine-Borel.
Abgeschlossene, beschränkte Mengen sind Kompakt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Do 24.07.2014 | | Autor: | Teufel |
Wie habt ihr denn den Abschluss definiert? Eine Definition ist, dass er die kleinste abgeschlossene Menge ist, die die vorgegebene Menge enthält, aber ihr habt das sicher anders gemacht, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Do 24.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Nein, eigentlich nicht.
Wir haben den Abschluss auch einfach als die kleinste Menge definiert, welche die Menge enthält.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Do 24.07.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Nein, eigentlich nicht.
Sicher? Denn:
> Wir haben den Abschluss auch einfach als die kleinste
> Menge definiert, welche die Menge enthält.
Schau nochmal nach, ob ihr das wirklich so definiert habt. In dem Fall waer naemlich $A = [mm] \overline{A}$ [/mm] fuer jede Menge $A$. Schliesslich ist $A$ die kleinste Menge, die $A$ umfasst.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Do 24.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Wir haben es wie folgt definiert:
$(X,d)$ metrischer Raum [mm] $V\subset [/mm] X$
[mm] $\overline{V}=\bigcap_{{A\subset X}_{\text{mit}} V\subset A} A\supset [/mm] V$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Do 24.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wir haben es wie folgt definiert:
>
> [mm](X,d)[/mm] metrischer Raum [mm]V\subset X[/mm]
>
> [mm]\red{\overline{V}=\bigcap_{{A\subset X}_{\text{mit}} V\subset A} A}\supset V[/mm]
das rotmarkierte ist die Definition - das [mm] $\subset [/mm] V$ am Ende ist schon eine
(triviale) Aussage.
Was da noch fehlt: Die Mengen [mm] $A\,$ [/mm] sind ABGESCHLOSSEN! (Vielleicht
steht ja irgendwo im Skript, dass Teilmengen [mm] $A\,$ [/mm] eines metrischen Raums
immer als abgeschlossen zu betrachten sind?!)
Ansonsten wäre das, was rechts steht, nichts anderes als [mm] $V\,$ [/mm] selbst. Und
eine jede Menge [mm] $V\,$ [/mm] erfüllt [mm] $V=V\,,$ [/mm] dann wären alle Mengen abgeschlossen...
Ergänzen wir also das "abgeschlossen". Was steht denn da? Da steht:
Nimm' alle Teilmengen von [mm] $X\,,$ [/mm] die abgeschlossen sind, und die [mm] $V\,$ [/mm] enthalten.
Bilde den Schnitt über alle diese Mengen (da sie alle [mm] $V\,$ [/mm] enthalten, enthält
auch der Schnitt die Menge [mm] $V\,$).
[/mm]
Der Schnitt über beliebig viele abgeschlossene Mengen ist wieder abgeschlossen,
also auch [mm] $\overline{V}\,.$ [/mm] (Beachte: Bei der Vereinigung gilt mit dem Begriff
"abgeschlossen" eine solche Aussage nur mit "endlich vielen Mengen").
Charakteristisch für [mm] $\overline{V}$ [/mm] ist:
Ist $U [mm] \subseteq [/mm] X$ irgendeine abgeschlossene Menge mit $V [mm] \subseteq U\,,$
[/mm]
so folgt schon
[mm] $\overline{V} \subseteq U\,.$
[/mm]
Dafür sagt man oft [mm] "$\overline{V}$ [/mm] ist die *kleinste* abgeschlossene Obermenge
von [mm] $V\,.$" [/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Do 24.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist der Abschluss einer Menge immer abgeschlossen?
>
> Hi,
>
> ich habe gerade diese triviale Frage. Ist der Abschluss
> einer Menge immer abgeschlossen?
> Meiner Meinung nach schon. Aber so wirklich begründen
> könnte ich es nicht.
>
> Ich gehe gerade eine Klausuraufgabe durch, da ist folgendes
> gegeben:
>
> Sei [mm]B\subset \mathbb{R}^n[/mm] beschränkt. Zeigen Sie
> [mm]\overline{B}\subset\mathbb{R}^n[/mm] ist kompakt.
>
> Wenn der Abschluss einer Menge immer abgeschlossen ist,
> dann ist der Beweis trivial und folgt direkt aus dem Satz
> von Heine-Borel.
der Abschluss ist abgeschlossen.
> Abgeschlossene, beschränkte Mengen sind Kompakt.
Mit dem starken Satz von Heine-Borel ist das dann in der Tat trivial. Aber
der Heine-Borel ist nichts triviales. Und vielleicht ging es in der Klausur
auch einfach nur darum, das zu prüfen:
- Was wissen die Leute über den Begriff "Abschluss einer Menge"?
(Vielleicht habt ihr ja erst "Abschluss=Menge vereinigt mit ihrem Rand" definiert,
und danach erst die zitierte Version bewiesen - also, dass diese Definitionen
hier äquivalent sind.)
- Was bedeutet "abgeschlossen"?
- Kennen die Leute "Heine-Borel" und erkennen sie ihn in *einfachsten
Situationen* wieder?
Also grob gesagt:
Da $B [mm] \subseteq \IR$ [/mm] beschränkt ist, ist [mm] $\overline{B}$ [/mm] beschränkt (ganz trivial ist das
übrigens nicht! Aber es ist nun auch nicht so schwer, als das man es in einer
Prüfung nicht beweisen lassen könnte. Eine einfache Beweisidee: Setze
[mm] $R:=\sup\{\|x\|:\;\; x \in B\}\,.$
[/mm]
Dann: [mm] $B\,$ [/mm] liegt komplett in der abgeschlossenen [mm] $R\,$-Kugel [/mm] des [mm] $\IR^n\,.$ [/mm] Folglich ist auch
[mm] $\overline{B}$ [/mm] Teilmenge des Abschlusses dieser abgeschlossenen Kugel, was wieder die selbige ist.)
Klar ist, dass [mm] $\overline{B}$ [/mm] als Abschluss einer Menge - per Definitionem
die -- im Sinne der Teilmengenbeziehung -- *kleinste abgeschlossene Menge,
die [mm] $B\,$ [/mm] enthält* - auch abgeschlossen ist.
(Wenn man jetzt
[mm] $\overline{B}=\bigcap_{\substack{B \subseteq A\\ A \text{ abgeschlossen}} }A$
[/mm]
schreibt, ist das auch klar. Der Schnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen
ist wieder abgeschlossen.)
Also folgt wegen Heine-Borel die Kompaktheit von [mm] $\overline{B}$ [/mm] aus der Beschränktheit
von [mm] $B\,.$
[/mm]
(Übrigens ist auch der Rand von [mm] $B\,$ [/mm] kompakt.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Do 24.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank. Du gibst dir immer sehr viel Mühe bei deinen Antworten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Do 24.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Vielen Dank. Du gibst dir immer sehr viel Mühe bei deinen
> Antworten.
gerne. Es ist ja der Sinn, Unklarheiten zu beseitigen - und ich will ja nicht
neue schaffen. 
Gruß,
Marcel
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