Abschluss in Zariski-Topologie < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 Mo 10.05.2010 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | (i) Bestimmen sie den Abschluss (in der Zariski-Topologie) der Menge [mm] \{(n, 3n+3) | n \in \IN\}[/mm] in [mm]\IC^{2}[/mm]
(ii) Bestimmen sie den Abschluss (in der Zariski-Topologie) der Menge [mm] \{(n, n\wurzel{n-1}) | n \in \IN\}[/mm] in [mm]\IC^{2}[/mm] |
Hi
Ich weiß leider gar nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen muss. Der Abschluss ist ja die kleinste Obermenge die abgeschlossen ist, oder liege ich da schon falsch?
In der Zariski-Topologie ist eine Menge ja abgeschlossen wenn sie eine algebraische Menge ist, und das bedeutet ja, dass wir ein (oder mehrere) Polynome finden müssen, die als Nullstelle die Punkte aus der Menge haben.
Über Tipps würde ich mich freuen
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:14 Di 11.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> (i) Bestimmen sie den Abschluss (in der Zariski-Topologie)
> der Menge [mm]\{(n, 3n+3) | n \in \IN\}[/mm] in [mm]\IC^{2}[/mm]
>
> (ii) Bestimmen sie den Abschluss (in der Zariski-Topologie)
> der Menge [mm]\{(n, n\wurzel{n-1}) | n \in \IN\}[/mm] in [mm]\IC^{2}[/mm]
>
> Ich weiß leider gar nicht wie ich an diese Aufgabe
> rangehen muss. Der Abschluss ist ja die kleinste Obermenge
> die abgeschlossen ist, oder liege ich da schon falsch?
Das stimmt so.
> In der Zariski-Topologie ist eine Menge ja abgeschlossen
> wenn sie eine algebraische Menge ist, und das bedeutet ja,
> dass wir ein (oder mehrere) Polynome finden müssen, die
> als Nullstelle die Punkte aus der Menge haben.
Genau. Hier reicht jeweils ein Polynom.
ehmen wir mal (i). Sei $x = n$, $y = 3 n + 3$; dann gilt $y = 3 x + 3$, also $y - 3 x - 3 = 0$. Also liegt $y - 3 x - 3$ im Verschwindungsideal der Menge. Ueberleg dir mal, ob die Nullstellenmenge dieses Polynoms bereits der Abschluss der Menge ist, oder ob es noch eine algebraische Menge "dazwischen" gibt.
Bei (ii) brauchst du ein nicht-lineares Polynom. Versuch doch mal [mm] $y^2$ [/mm] durch $x$ auszudruecken.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Di 11.05.2010 | | Autor: | algieba |
Hi Felix
Danke für deine Antwort
> Hallo!
>
> > (i) Bestimmen sie den Abschluss (in der Zariski-Topologie)
> > der Menge [mm]\{(n, 3n+3) | n \in \IN\}[/mm] in [mm]\IC^{2}[/mm]
> >
> > (ii) Bestimmen sie den Abschluss (in der Zariski-Topologie)
> > der Menge [mm]\{(n, n\wurzel{n-1}) | n \in \IN\}[/mm] in [mm]\IC^{2}[/mm]
> >
> > Ich weiß leider gar nicht wie ich an diese Aufgabe
> > rangehen muss. Der Abschluss ist ja die kleinste Obermenge
> > die abgeschlossen ist, oder liege ich da schon falsch?
>
> Das stimmt so.
>
> > In der Zariski-Topologie ist eine Menge ja abgeschlossen
> > wenn sie eine algebraische Menge ist, und das bedeutet ja,
> > dass wir ein (oder mehrere) Polynome finden müssen, die
> > als Nullstelle die Punkte aus der Menge haben.
>
> Genau. Hier reicht jeweils ein Polynom.
>
> ehmen wir mal (i). Sei [mm]x = n[/mm], [mm]y = 3 n + 3[/mm]; dann gilt [mm]y = 3 x + 3[/mm],
> also [mm]y - 3 x - 3 = 0[/mm]. Also liegt [mm]y - 3 x - 3[/mm] im
> Verschwindungsideal der Menge. Ueberleg dir mal, ob die
> Nullstellenmenge dieses Polynoms bereits der Abschluss der
> Menge ist, oder ob es noch eine algebraische Menge
> "dazwischen" gibt.
Die Nullstellenmenge des Polynoms ist doch gerade die Menge vom Anfang. also [mm]\{(n, 3n+3) | n \in \IN\}[/mm], und dazu kommen wahrscheinlich noch komplexe Nullstellen.
Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich "dazwischen" noch eine Menge finden soll. Wie geht man da vor?
>
> Bei (ii) brauchst du ein nicht-lineares Polynom. Versuch
> doch mal [mm]y^2[/mm] durch [mm]x[/mm] auszudruecken.
Ich habe das Polynom [mm] y^2 = x^2(x-1) = x^3-x^2 \Rightarrow x^3-x^2-y^2 = 0[/mm] rausgefunden. Wie geht es jetzt weiter?
>
> LG Felix
>
Gruß algieba
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:08 Mi 12.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > (i) Bestimmen sie den Abschluss (in der Zariski-Topologie)
> > > der Menge [mm]\{(n, 3n+3) | n \in \IN\}[/mm] in [mm]\IC^{2}[/mm]
> > >
> > > (ii) Bestimmen sie den Abschluss (in der Zariski-Topologie)
> > > der Menge [mm]\{(n, n\wurzel{n-1}) | n \in \IN\}[/mm] in [mm]\IC^{2}[/mm]
> > >
> > > Ich weiß leider gar nicht wie ich an diese Aufgabe
> > > rangehen muss. Der Abschluss ist ja die kleinste Obermenge
> > > die abgeschlossen ist, oder liege ich da schon falsch?
> >
> > Das stimmt so.
> >
> > > In der Zariski-Topologie ist eine Menge ja abgeschlossen
> > > wenn sie eine algebraische Menge ist, und das bedeutet ja,
> > > dass wir ein (oder mehrere) Polynome finden müssen, die
> > > als Nullstelle die Punkte aus der Menge haben.
> >
> > Genau. Hier reicht jeweils ein Polynom.
> >
> > ehmen wir mal (i). Sei [mm]x = n[/mm], [mm]y = 3 n + 3[/mm]; dann gilt [mm]y = 3 x + 3[/mm],
> > also [mm]y - 3 x - 3 = 0[/mm]. Also liegt [mm]y - 3 x - 3[/mm] im
> > Verschwindungsideal der Menge. Ueberleg dir mal, ob die
> > Nullstellenmenge dieses Polynoms bereits der Abschluss der
> > Menge ist, oder ob es noch eine algebraische Menge
> > "dazwischen" gibt.
>
> Die Nullstellenmenge des Polynoms ist doch gerade die Menge
> vom Anfang. also [mm]\{(n, 3n+3) | n \in \IN\}[/mm], und dazu
Nein, das ist sie eben nicht! Das ist eine diskrete Menge von Punkten, waehrend die Nullstellenmenge eines linearen Polynoms eine Gerade ist -- insbesondere keine diskrete Menge.
> kommen wahrscheinlich noch komplexe Nullstellen.
Nein, wieso?
> Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich "dazwischen" noch eine
> Menge finden soll. Wie geht man da vor?
Wo zwischen?
> > Bei (ii) brauchst du ein nicht-lineares Polynom. Versuch
> > doch mal [mm]y^2[/mm] durch [mm]x[/mm] auszudruecken.
>
> Ich habe das Polynom [mm]y^2 = x^2(x-1) = x^3-x^2 \Rightarrow x^3-x^2-y^2 = 0[/mm]
> rausgefunden. Wie geht es jetzt weiter?
Nun, du musst dir ueberlegen, dass jedes Polynom, welches ebenfalls auf den gegebenen Punkten verschwindet, ein Vielfaches von $f(x, y) := [mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2$ [/mm] ist.
Beachte, dass $f$ irreduzibel ist, also ein Primpolynom.
Sei nun $g$ ein Polynom, welches ebenfalls auf der Menge verschwindet. Dann ist entweder $g$ durch $f$ teilbar, oder $g$ und $f$ sind teilerfremd.
Im zweiteren Fall kannst du in $k(x)[y]$ schreiben $a f + b y = 1$, wobei $a, b [mm] \in [/mm] k(x)[y]$ sind (warum geht das?); dabei sind $a$ und $b$ teilerfremd. Sei $h [mm] \in [/mm] k[x] [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] der Hauptnenner von $a$ und $b$; dann gilt $(a h) f + (b h) y = h$ in $k[x, y]$. Ueberleg dir nun, dass $h(n) = 0$ fuer alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt. Daraus folgt aber $h = 0$ (warum?), was nicht sein kann (warum?).
Also muss $f$ ein Teiler von $g$ sein. Jetzt ueberleg dir, was dies fuer die Nullstellenmenge von $g$ bedeutet.
LG Felix
|
|
|
|
