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Forum "Kapitel 1: Elementare Gruppentheorie" - Abschnit 5.1, Aufgabe 3
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Abschnit 5.1, Aufgabe 3: Aufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Date: 11:59 Fr 22/09/2006
Author: felixf

Aufgabe

Sei $G$ eine Gruppe, [mm] $\mathcal{U} [/mm] = [mm] \{ U \subseteq G \mid U \text{ Untergruppe } \}$ [/mm] die Menge aller Untergruppen von $G$ und [mm] $\mathcal{N} [/mm] := [mm] \{ U \in \mathcal{U} \mid U \text{ Normalteiler } \}$ [/mm] die Menge aller Normalteiler in $G$.

(i) Zeige, dass [mm] $\Psi [/mm] : G [mm] \times \mathcal{U} \to \mathcal{U}, \; [/mm] (g, U) [mm] \mapsto [/mm] g U [mm] g^{-1}$ [/mm] eine Operation von $G$ auf [mm] $\mathcal{U}$ [/mm] liefert.

(ii) Zeige, dass die Bahn eines Elementes $U [mm] \in \mathcal{U}$ [/mm] genau dann aus einem Element besteht, wenn $U$ ein Normalteiler in $G$ ist.

(iii) Sei $|G| = [mm] p^n$ [/mm] fuer eine Primzahl $p$ und $n [mm] \in \IN$. [/mm] Dann ist [mm] $|\mathcal{U} \setminus \mathcal{N}|$ [/mm] durch $p$ teilbar.


        
Bezug
Abschnit 5.1, Aufgabe 3: so auf dem richtigen weg?
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:12 So 24/09/2006
Author: Riley

Hi!
bei teil (i) muss man ja eigentlich "nur" die beiden eigenschaften nachweisen, oder'?
darf ich das so schreiben: [mm] \psi [/mm] (1,U)= 1 U [mm] 1^{-1} [/mm] = U
und [mm] \psi((gh),U) [/mm] = gh U [mm] (gh)^{-1} [/mm] = gh U [mm] h^{-1}g^{-1} [/mm]
... nur sollte dann g(h U) rauskommen?

viele grüße

Bezug
                
Bezug
Abschnit 5.1, Aufgabe 3: sieht gut aus
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:41 So 24/09/2006
Author: statler

Auch hi!

>  bei teil (i) muss man ja eigentlich "nur" die beiden
> eigenschaften nachweisen, oder'?

vielleicht muß man auch noch nachweisen, daß die Abb. vernünftig definiert ist, daß man also wieder in der Menge der Untergruppen landet, oder wissen wir das schon, oder wollen wir das mal glauben?

>  darf ich das so schreiben: [mm]\psi[/mm] (1,U)= 1 U [mm]1^{-1}[/mm] = U

Korrekter wäre [mm] \psi((1,U)) [/mm] = ... , weil ein Klammernpaar zum [mm] \psi [/mm] gehört und besagt 'was da drin steht, ist das Argument' und ein Klammernpaar zum Argument selbst, weil das ein geordnetes Paar ist.

>  und [mm]\psi((gh),U)[/mm] = gh U [mm](gh)^{-1}[/mm] = gh U [mm]h^{-1}g^{-1}[/mm]
> ... nur sollte dann g(h U) rauskommen?

Hier solltest du supergenau unterscheiden, wann du die Gruppenverknüpfung nimmst und wann die äußere Operation.
Was ist denn dein 'g(h U)'?

LG
Dieter


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Bezug
Abschnit 5.1, Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 20:47 So 24/09/2006
Author: Riley

Hi Dieter!
danke für deine erklärungen. hm, beweisen wär wohl besser, aber ich hab das jetzt mal so geglaubt...
was müsste man denn zeigen, dass die abbildung wohldefiniert ist?

also zuerst hab ich die operation genommen
[mm] \psi((gh,U))=gh [/mm] U [mm] (gh)^{-1} [/mm]  und wenn ich diese klammer dann auflöse, dann die gruppenverknüpfung, oder?
Wie meinst du was mein g(hU) ist? dachte dass ich zeigen sollte (gh)U=g(hU) ?

lg yela =)


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Bezug
Abschnit 5.1, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 07:49 Mo 25/09/2006
Author: statler

Guten Morgen Riley!

Man müßte für ganz Penible noch klarstellen, daß [mm] gUg^{-1} [/mm] wieder eine Untergruppe ist.

Bosch verkneift es sich in seiner Definition 1, der Abbildung einen Namen zu geben. Implizit gibt er ihr den Namen "Punkt". Er läßt das Symbol für die Operation innerhalb der Gruppe weg, schreibt also die Gruppenelemente einfach nebeneinander, und setzt für die äußere Operation einen "Punkt".

Das wäre in unserem Falle g"Punkt"U := [mm] gUg^{-1}. [/mm]

Die rechte Seite findet innerhalb G statt und betrifft die Gruppenverknüpfung, die linke Seite würde Bosch eben mit dem Punkt schreiben, in unserer Schreibweise in der Aufgabe ist das [mm] \Psi((g,U)) [/mm]

Diesen Punkt in der Zeilenmitte finde ich hier nicht.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


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Bezug
Abschnit 5.1, Aufgabe 3: Punkt
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 12:38 Fr 29/09/2006
Author: banachella

Hallo Dieter!

> Diesen Punkt in der Zeilenmitte finde ich hier nicht.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich dich richtig verstanden habe, aber versuch's doch mal mit \cdot oder noch einfacher mit *! Zumindest ergibt das den Punkt, der in meinem Bosch erscheint...

Gruß, banachella


Bezug
        
Bezug
Abschnit 5.1, Aufgabe 3: (Entwurf)
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 20:54 So 24/09/2006
Author: Riley

hi... sorry, bin mit dem beweis nicht wirklich weit gekommen...


(ii)
1.)Die Bahn eines Elementes U [mm] \in [/mm] U besteht aus einem Element
[mm] \Rightarrow [/mm] U ist ein Normalteiler in G.

GxU -> U Operation mit (g,U) -> [mm] gUg^{-1} [/mm]
für u [mm] \in [/mm] U: Gu [mm] :=\{gx:g \in G\} [/mm] heißt Bahn von x unter G.

Gu besteht aus einem Element [mm] \Rightarrow [/mm] Rechts- und Linsnebenklassen stimmen überein [mm] \Rightarrow [/mm] U ist Normalteiler in G.

(ii) U ist Normalteiler in G [mm] \Rightarrow [/mm] Bahn besteht aus einem Element.

Bezug
        
Bezug
Abschnit 5.1, Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:35 Mi 27/09/2006
Author: just-math

Hola amigos,

zu (i): Ist sich  [mm] (g,(h,U))=g(h,U)g^{-1}=ghUh^{-1}g^{-1}= ghU(gh)^{-1}=(gh,U). [/mm]

Ist sich auch [mm] (e,U)=eUe^{-1}=U. [/mm]

Und wenn [mm] gUg^{-1}=gVg^{-1}, [/mm] dann ist auch U=V.

War glaub ich schon alles für Operacion von G auff [mm] {\mathcal U}. [/mm]

zu (ii): Sei   [mm] \forall g\in G\:\: gUg^{-1}=U, [/mm] das ist dann Definicion von Normalteiler.
Umgekehrt wenn U Normalteiler, dann fur alle [mm] g\in [/mm] G ist auch [mm] gUg^{-1}=U. [/mm]

zu (iii): Ist nun [mm] {\mathcal U} [/mm] disjunktes Vereinigung von Bahnen unter Operacion, nehmen wir Vertretersystem von Bahnen

[mm] U_i,i\in [/mm] I, dann wir haben

[mm] |{\mathcal U}|\:\: =\:\: \sum_{i\in I} (G\colon G_{U_i}) [/mm]

mit [mm] G_{U_i}=\{g\in G|(g,U_i)=U_i\} [/mm]

Nun also für [mm] U\in {\mathcal U}\setminus {\mathcal N} [/mm] wir haben [mm] G_U [/mm] echtes Untergruppe von G, daher
also [mm] (G\colon G_U) [/mm] ist Primzahlpotenz mit Basis p und Exponent > 0 und somit ist es durch p teilbar.

Dann wir können sogar sagen G operiert so auf [mm] {\mathcal U} \setminus {\mathcal N}, [/mm]

denn wenn [mm] U\in {\mathcal U}\setminus {\mathcal N} [/mm] dann auch fur alle [mm] g\in [/mm] G ist es   [mm] gUg^{-1}\not\in {\mathcal N}. [/mm]

Dann wir wenden Orbit formula nicht auf [mm] {\mathcal U} [/mm] sondern auf [mm] {\mathcal U}\setminus {\mathcal N} [/mm] an und haben
wir Kardinalitát von  [mm] {\mathcal U}\setminus {\mathcal N} [/mm]  als Summe von solche Potenzen von p, und wir sind zuhause.

Liebe Grusse

just-math

Bezug
                
Bezug
Abschnit 5.1, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 04:30 So 08/10/2006
Author: felixf

Hallo just-math!

> zu (i): Ist sich  [mm](g,(h,U))=g(h,U)g^{-1}=ghUh^{-1}g^{-1}= ghU(gh)^{-1}=(gh,U).[/mm]
>  
> Ist sich auch [mm](e,U)=eUe^{-1}=U.[/mm]

Das reicht sogar schon :)

> Und wenn [mm]gUg^{-1}=gVg^{-1},[/mm] dann ist auch U=V.
>  
> War glaub ich schon alles für Operacion von G auff
> [mm]{\mathcal U}.[/mm]
>  
> zu (ii): Sei   [mm]\forall g\in G\:\: gUg^{-1}=U,[/mm] das ist dann
> Definicion von Normalteiler.
>  Umgekehrt wenn U Normalteiler, dann fur alle [mm]g\in[/mm] G ist
> auch [mm]gUg^{-1}=U.[/mm]

[ok]

> zu (iii): Ist nun [mm]{\mathcal U}[/mm] disjunktes Vereinigung von
> Bahnen unter Operacion, nehmen wir Vertretersystem von
> Bahnen
>
> [mm]U_i,i\in[/mm] I, dann wir haben
>  
> [mm]|{\mathcal U}|\:\: =\:\: \sum_{i\in I} (G\colon G_{U_i})[/mm]
>  
> mit [mm]G_{U_i}=\{g\in G|(g,U_i)=U_i\}[/mm]
>  
> Nun also für [mm]U\in {\mathcal U}\setminus {\mathcal N}[/mm] wir
> haben [mm]G_U[/mm] echtes Untergruppe von G, daher
>  also [mm](G\colon G_U)[/mm] ist Primzahlpotenz mit Basis p und
> Exponent > 0 und somit ist es durch p teilbar.
>  
> Dann wir können sogar sagen G operiert so auf [mm]{\mathcal U} \setminus {\mathcal N},[/mm]
>
> denn wenn [mm]U\in {\mathcal U}\setminus {\mathcal N}[/mm] dann auch
> fur alle [mm]g\in[/mm] G ist es   [mm]gUg^{-1}\not\in {\mathcal N}.[/mm]
>  
> Dann wir wenden Orbit formula nicht auf [mm]{\mathcal U}[/mm]
> sondern auf [mm]{\mathcal U}\setminus {\mathcal N}[/mm] an und haben
> wir Kardinalitát von  [mm]{\mathcal U}\setminus {\mathcal N}[/mm]  
> als Summe von solche Potenzen von p,

[ok]

> und wir sind zuhause.

Normalerweise sagt man `und wir sind fertig' oder so :-)

LG Felix


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