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Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: Aufgabe
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:59 Fr 01/09/2006
Author: felixf

Aufgabe
Sei $G$ ein Monoid. Wir betrachten die folgenden Bedingungen:
(i) $G$ ist eine Gruppe.
(ii) Sind $a, x, y [mm] \in [/mm] G$ mit $a x = a y$ oder $x a = y a$, dann gilt $x = y$.

Die Implikation ''$(i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii)$'' gilt immer.
Zeige, dass die andere Implikation ''$(ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i)$'' für endliche Monoide auch immer gilt. Gib weiterhin ein Beispiel für einen unendlichen Monoid an, wo sie nicht gilt.



        
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Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 00:57 Do 07/09/2006
Author: Docy

Hallo,
was sind den endliche Monoide?

Gruß
Docy

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Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 01:03 Do 07/09/2006
Author: Marc

Hallo Docy,

>  was sind den endliche Monoide?

Das ist ein MBMonoid, dessen zugrundeliegende Menge nur endlich viele Elemente besitzt.

Viele Grüße,
Marc

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Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: Tipp?
Status: (Question) answered Status 
Date: 02:33 Fr 08/09/2006
Author: Bastiane

Hallo zusammen!

> Sei [mm]G[/mm] ein Monoid. Wir betrachten die folgenden
> Bedingungen:
>   (i) [mm]G[/mm] ist eine Gruppe.
>   (ii) Sind [mm]a, x, y \in G[/mm] mit [mm]a x = a y[/mm] oder [mm]x a = y a[/mm],
> dann gilt [mm]x = y[/mm].
>  
> Die Implikation ''[mm](i) \Rightarrow (ii)[/mm]'' gilt immer. Zeige,
> dass die andere Implikation ''[mm](ii) \Rightarrow (i)[/mm]'' fuer
> endliche Monoide auch immer gilt. Gib weiterhin ein
> Beispiel fuer einen unendlichen Monoid an, wo sie nicht
> gilt.

Ich habe zu dieser Aufgabe bisher leider keinen Ansatz gefunden. Könnte mir jemand einen Tipp geben?

viele Grüße
Bastiane
[cap]
  

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Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 02:43 Fr 08/09/2006
Author: felixf

Hallo Bastiane!

> > Sei [mm]G[/mm] ein Monoid. Wir betrachten die folgenden
> > Bedingungen:
>  >   (i) [mm]G[/mm] ist eine Gruppe.
>  >   (ii) Sind [mm]a, x, y \in G[/mm] mit [mm]a x = a y[/mm] oder [mm]x a = y a[/mm],
> > dann gilt [mm]x = y[/mm].
>  >  
> > Die Implikation ''[mm](i) \Rightarrow (ii)[/mm]'' gilt immer. Zeige,
> > dass die andere Implikation ''[mm](ii) \Rightarrow (i)[/mm]'' fuer
> > endliche Monoide auch immer gilt. Gib weiterhin ein
> > Beispiel fuer einen unendlichen Monoid an, wo sie nicht
> > gilt.
>  
> Ich habe zu dieser Aufgabe bisher leider keinen Ansatz
> gefunden. Könnte mir jemand einen Tipp geben?

Du brauchst folgende charakterisierung von endlichen Mengen (bzw. einen Teil davon):

Eine Menge $M$ ist genau dann endlich, wenn fuer jede Funktion $f : M [mm] \to [/mm] M$ die folgenden Bedingungen aequivalent sind:
(a) $f$ ist injektiv;
(b) $f$ ist surjektiv;
(c) $f$ ist bijektiv.

Wenn du mehr Tipps brauchst, sagt Bescheid!

LG Felix


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Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: mehr Tipps...
Status: (Question) answered Status 
Date: 07:00 Fr 08/09/2006
Author: Bastiane

Hallo Felix!

Danke für den Tipp, mit so etwas hätte ich jetzt überhaupt nicht gerechnet. Allerdings irritiert mich immer noch etwas die Tatsache, dass in (ii) ja schon eine Implikation steht, und ich ausgehend von dieser Implikation eine andere Implikation zeigen muss. Verstehen tu ich das glaube ich schon, aber ich weiß immer noch nicht, wie ich anfangen soll.
Und da ja morgen schon "Abgabe" ist, würde ich dich doch nochmal um einen Tipp bitten. Vllt habe ich heute abend Zeit und Lust, mich nochmal damit zu beschäftigen. Denn sobald neue Aufgaben da sind, werden die alten Aufgaben, fürchte ich, bei mir etwas zu kurz kommen.

Und noch zwei Fragen, auch wenn sie nicht hierhin gehören: Wann ist Deadline? Heute um Mitternacht? Morgen um 12 Uhr oder wann? :-)
Und ist es richtig, dass zu den Aufgaben, bei denen ich etwas gepostet habe, noch niemand anders etwas gepostet hat? Ich dachte, für Leute, die schon eine Lösung gepostet haben, sollten die anderen Lösungen sichtbar sein, ich sehe aber nichts. Und meine Lösungen kannst du sehen, oder?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


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Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: zu den technischen Fragen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 08:20 Fr 08/09/2006
Author: Marc

Hallo Bastiane,

> Und noch zwei Fragen, auch wenn sie nicht hierhin gehören:
> Wann ist Deadline? Heute um Mitternacht? Morgen um 12 Uhr
> oder wann? :-)

Dieter hatte "high noon" vorgeschlagen, und so ist ja auch noch der Abgabetermin des das Übungsblatts eingestellt.

>  Und ist es richtig, dass zu den Aufgaben, bei denen ich
> etwas gepostet habe, noch niemand anders etwas gepostet
> hat? Ich dachte, für Leute, die schon eine Lösung gepostet
> haben, sollten die anderen Lösungen sichtbar sein, ich sehe
> aber nichts. Und meine Lösungen kannst du sehen, oder?

Laut Datenbank hast Du noch keine Lösung eingestellt, sondern nur Entwürfe und Fragen.

Dies könnte daran liegen, dass bis heute morgen eine Frage automatisch als Entwurf behandelt wurde, d.h., wenn man nichts eingestellt hatte wurde es ein Entwurf. Dieses Verhalten habe ich nun geändert: Wenn man nicht eingestellt hat, ob die Frage ein Entwurf, eine Lösung oder normale Frage sein soll, dann wird man daran erinnert.

Damit Deine Entwürfe als Lösung gewertet werden, müsstest Du das nun manuell einstellen -- mit dem entsprechenden Button im Artikelmenü, den Du Dir ja mal gewünscht hattest (den es da aber bereits gab ;-))

Viele Grüße,
Marc

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Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 09:58 Fr 08/09/2006
Author: Bastiane

Hallo Marc!

> >  Und ist es richtig, dass zu den Aufgaben, bei denen ich

> > etwas gepostet habe, noch niemand anders etwas gepostet
> > hat? Ich dachte, für Leute, die schon eine Lösung gepostet
> > haben, sollten die anderen Lösungen sichtbar sein, ich sehe
> > aber nichts. Und meine Lösungen kannst du sehen, oder?
>  
> Laut Datenbank hast Du noch keine Lösung eingestellt,
> sondern nur Entwürfe und Fragen.
>  
> Dies könnte daran liegen, dass bis heute morgen eine Frage
> automatisch als Entwurf behandelt wurde, d.h., wenn man
> nichts eingestellt hatte wurde es ein Entwurf. Dieses
> Verhalten habe ich nun geändert: Wenn man nicht eingestellt
> hat, ob die Frage ein Entwurf, eine Lösung oder normale
> Frage sein soll, dann wird man daran erinnert.
>  
> Damit Deine Entwürfe als Lösung gewertet werden, müsstest
> Du das nun manuell einstellen -- mit dem entsprechenden
> Button im Artikelmenü, den Du Dir ja mal gewünscht hattest
> (den es da aber bereits gab ;-))

Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich das auch gemacht hatte. Kann aber sein, dass ich das dann oben eingestellt hatte, anstatt unten auf den Button zu klicken. So ein Ärger, jetzt kommt das alles erst so spät...

Und den Button hatte ich irgendwie anders gemeint, weiß aber im Moment nicht mehr, wie. [kopfkratz] Vielleicht fällt es mir ja bei den nächsten Übugnsaufgaben wieder ein. :-)

Ach ja, und der Button erscheint auch nicht, wenn die Fälligkeit schon abgelaufen ist... Aber das dürfte durch die unendlichen Fälligkeiten demnächst ja nicht mehr passieren können. ;-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


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Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:30 Fr 08/09/2006
Author: felixf

Hallo Bastiane!

> Danke für den Tipp, mit so etwas hätte ich jetzt überhaupt
> nicht gerechnet. Allerdings irritiert mich immer noch etwas
> die Tatsache, dass in (ii) ja schon eine Implikation steht,
> und ich ausgehend von dieser Implikation eine andere
> Implikation zeigen muss. Verstehen tu ich das glaube ich
> schon, aber ich weiß immer noch nicht, wie ich anfangen
> soll.

Bedingung (ii) besagt, dass eine gewisse Funktion $M [mm] \to [/mm] M$ injektiv ist (eigentlich sogar zwei Funktionen, du brauchst aber nur eine davon zu betrachten). Da $M$ endlich ist, ist sie damit auch surjektiv.

Mit der Surjektivitaet bekommst du aber gerade die Aussage gezeigt, die dir fehlt, damit (i) gilt.

> Und noch zwei Fragen, auch wenn sie nicht hierhin gehören:
> Wann ist Deadline? Heute um Mitternacht? Morgen um 12 Uhr
> oder wann? :-)

Ich wuerd sagen morgen um 12:00. Ich werd dann aber wohl beim Mittagessen sein und das erst etwas spaeter lesen :)

>  Und ist es richtig, dass zu den Aufgaben, bei denen ich
> etwas gepostet habe, noch niemand anders etwas gepostet
> hat? Ich dachte, für Leute, die schon eine Lösung gepostet
> haben, sollten die anderen Lösungen sichtbar sein, ich sehe
> aber nichts. Und meine Lösungen kannst du sehen, oder?

Bisher sehe ich zu keiner Aufgabe von dir eine Loesung. Wie Marc schon sagte, sie sind wohl noch falsch eingestellt...

LG Felix


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Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:41 Fr 08/09/2006
Author: Frusciante

Hallo,

mit Felix' Tipp müsste es doch jetzt so gehen:

> Sei [mm]G[/mm] ein Monoid. Wir betrachten die folgenden
> Bedingungen:
>   (i) [mm]G[/mm] ist eine Gruppe.
>   (ii) Sind [mm]a, x, y \in G[/mm] mit [mm]a x = a y[/mm] oder [mm]x a = y a[/mm],
> dann gilt [mm]x = y[/mm].
>  
> Die Implikation ''[mm](i) \Rightarrow (ii)[/mm]'' gilt immer. Zeige,
> dass die andere Implikation ''[mm](ii) \Rightarrow (i)[/mm]'' fuer
> endliche Monoide auch immer gilt.

Sei [mm] $a\in [/mm] G$

Zu zeigen ist, dass $a$ ein inverses Element besitzt.

Bedingung (ii) bedeutet doch gerade, dass die (Rechts- bzw.) Linkstranslation

[mm] $\tau_a: G\to [/mm] G,\ \ [mm] a\mapsto [/mm] ag$

injektiv ist. Da $G$ endlich, ist [mm] $\tau_a$ [/mm] auch surjektiv. Für das Element [mm] $1\in [/mm] G$ gibt es also ein Urbild $b$ unter [mm] $\tau_a$, [/mm] also

[mm] $\tau_a(b)=1\ \Longleftrightarrow\ [/mm] a*b=1$

Dies ist gerade die Inverseneigenschaft, das inverse Element zu $a$ ist $b$.

> Gib weiterhin ein
> Beispiel fuer einen unendlichen Monoid an, wo sie nicht
> gilt.

Ich wähle [mm] $G=\IZ\setminus\{0\}=\IZ^{\*}$, [/mm] Verknüpfung ist die übliche Multiplikation.
G ist ein Monoid, da die Multipliktion assoziativ ist und G das Einselement 1 enthält.
Die Bedingung (ii) ist erfüllt, denn:

$ax=ay\ [mm] \Longleftrightarrow\ [/mm] ax-ay=0\ [mm] \Longleftrightarrow\ [/mm] a(x-y)=0$

Dies kann in den ganzen Zahlen nur für a=0 oder x-y=0 erfüllt sein ("Nullteilerfreiheit"), hier bleibt nur die Möglichkeit x-y=0, da [mm] $a=0\not\in [/mm] G$. Also gilt x=y.

G ist aber keine Gruppe, denn es gibt z.B. zu [mm] $2\in [/mm] G$ kein Element $b$ mit $2*b=1$.

Hoffe, das ist so weit wasserfest...

Ich muss sagen, es macht richtig Spaß, auf diese Art und Weise Aufgaben zu lösen :-)
Macht' bitte weiter so! :-)

Gruß, Frusciante

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Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 12:14 Fr 08/09/2006
Author: Bastiane

Hallo Frusciante!

> mit Felix' Tipp müsste es doch jetzt so gehen:

Wir zwei scheinen ja bisher am meisten Aufgaben gelöst zu haben. Aber ich glaube, du bist etwas besser als ich, hast es meiner Meinung nach schöner aufgeschrieben. ;-) Vor allem hast du mehr bedacht... Ich übersehe so "Kleinigkeiten" gerne mal.

> > Gib weiterhin ein
> > Beispiel fuer einen unendlichen Monoid an, wo sie nicht
> > gilt.
>  
> Ich wähle [mm]G=\IZ\setminus\{0\}=\IZ^{\*}[/mm], Verknüpfung ist die
> übliche Multiplikation.
>  G ist ein Monoid, da die Multipliktion assoziativ ist und
> G das Einselement 1 enthält.

Warum schmeißt du denn die 0 raus? Im Bosch steht doch sogar drin, dass [mm] \IZ [/mm] mit Multiplikation ein kommutatives Monoid (heißt es das Monoid?) ist. Ach - ich sehe gerade: für denn Fall, dass a=0 ist, würde für beliebige x und y gelten: ax=ay obwohl [mm] $x\not= [/mm] y$ sein kann... Und ich hatte noch überlegt, ob etwas falsch sein kann an meinem Beispiel... ;-)

>  Die Bedingung (ii) ist erfüllt, denn:
>  
> [mm]ax=ay\ \Longleftrightarrow\ ax-ay=0\ \Longleftrightarrow\ a(x-y)=0[/mm]
>  
> Dies kann in den ganzen Zahlen nur für a=0 oder x-y=0
> erfüllt sein ("Nullteilerfreiheit"), hier bleibt nur die
> Möglichkeit x-y=0, da [mm]a=0\not\in G[/mm]. Also gilt x=y.

Ja, gut, hier dran sieht man es dann auch...

> Ich muss sagen, es macht richtig Spaß, auf diese Art und
> Weise Aufgaben zu lösen :-)
>  Macht' bitte weiter so! :-)

Hier kann ich nur [zustimm]en. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


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Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 04:24 Sa 09/09/2006
Author: felixf

Hallo Bastiane!

> > Ich wähle [mm]G=\IZ\setminus\{0\}=\IZ^{\*}[/mm], Verknüpfung ist die
> > übliche Multiplikation.
>  >  G ist ein Monoid, da die Multipliktion assoziativ ist
> und
> > G das Einselement 1 enthält.
>  
> Warum schmeißt du denn die 0 raus? Im Bosch steht doch
> sogar drin, dass [mm]\IZ[/mm] mit Multiplikation ein kommutatives
> Monoid (heißt es das Monoid?) ist. Ach - ich sehe gerade:
> für denn Fall, dass a=0 ist, würde für beliebige x und y
> gelten: ax=ay obwohl [mm]x\not= y[/mm] sein kann...

Genau :-)

Ein weiteres Beispiel ist uebrigens [mm] $\IN$ [/mm] mit der Addition. (Wobei [mm] $\IN [/mm] = [mm] \{ 0, 1, 2, 3, \dots \}$ [/mm] sein soll :) )

LG Felix


Bezug
        
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Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:07 Fr 08/09/2006
Author: Bastiane

Hallo zusammen!

Mithilfe von Felix vielen Tipps hoffe ich jetzt, diese Aufgabe gelöst zu haben. Hat was gedauert... Bin wohl schon was eingerostet. ;-) [bonk]

> Sei [mm]G[/mm] ein Monoid. Wir betrachten die folgenden
> Bedingungen:
>   (i) [mm]G[/mm] ist eine Gruppe.
>   (ii) Sind [mm]a, x, y \in G[/mm] mit [mm]a x = a y[/mm] oder [mm]x a = y a[/mm],
> dann gilt [mm]x = y[/mm].
>  
> Die Implikation ''[mm](i) \Rightarrow (ii)[/mm]'' gilt immer. Zeige,
> dass die andere Implikation ''[mm](ii) \Rightarrow (i)[/mm]'' fuer
> endliche Monoide auch immer gilt. Gib weiterhin ein
> Beispiel fuer einen unendlichen Monoid an, wo sie nicht
> gilt.

Da G ein Monoid ist fehlt nur noch die Eigenschaft, dass jedes Element ein Inverses besitzt, damit G eine Gruppe ist.
Betrachte die "Eigenschaft" $(ax=ay$ bzw. $xa=ya) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y$ als Injektivität der Funktion [mm] $f:G\to [/mm] G, [mm] x\mapsto [/mm] ax$ bzw. [mm] $x\mapsto [/mm] xa$ . Da G endlich ist gilt: $G [mm] \mbox{ injektiv} \gdw [/mm] G [mm] \mbox{ surjektiv} \gdw [/mm] G [mm] \mbox{ bijektiv}$, [/mm] somit ist f auch surjektiv. Deswegen gibt es für jedes [mm] $y\in [/mm] G$ ein [mm] $x\in [/mm] G$ mit $f(x)=ax=y$. Also gibt es auch für das neutrale Element [mm] $e\in [/mm] G$ ein solches x:

$ax=e$

und dieses Element a heißt das inverse Element zu x. Da a und x in gewisser Weise beliebig gewählt waren, gibt es somit für jedes Element ein Inverses. (Hier bin ich mir nicht so ganz sicher, ist das die richtige Begründung? Oder muss noch mehr gezeigt werden?

Ach ja, und noch das Gegenbeispiel:
Betrache [mm] \IN [/mm] (incl. der 0) (oder wahlweise auch [mm] \IZ) [/mm] zusammen mit der normalen Multiplikation als Verknüpfung. Die Abbildung $f(x)=ax$ ist injektiv, es gilt also Eigenschaft (ii). Bekannterweise sind aber weder [mm] (\IN, \cdot) [/mm] noch [mm] (\IZ, \cdot) [/mm] Gruppen, da die inversen Elemente fehlen.

(Ich hoffe, ich habe hier in diesem Beispiel keinen Fehler gemacht, es kam mir so einfach vor, hatte dann aber zuerst doch noch einen dummen Fehler drin. ;-))

Viele Grüße
Bastiane
[cap]



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Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: kein Gegenbeispiel mMn
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 14:20 Fr 08/09/2006
Author: Frusciante

Hallo Bastiane!

> Ach ja, und noch das Gegenbeispiel:
>  Betrache [mm]\IN[/mm] (incl. der 0) (oder wahlweise auch [mm]\IZ)[/mm]
> zusammen mit der normalen Multiplikation als Verknüpfung.

Das ist dann aber kein Gegenbeispiel, denn ich wollte (ganz) [mm] $\IZ$ [/mm] auch zuerst nehmen :-)

> Die Abbildung [mm]f(x)=ax[/mm] ist injektiv,

Für a=0 allerdings nicht.

> es gilt also
> Eigenschaft (ii).

Die Eigenschaft (ii) gilt in [mm] $\IZ$ [/mm] nicht, denn wir haben doch z.B. für die drei Belegungen $a=0, x=1, y=2$
$a*x=a*y$, aber [mm] $x\not=y$. [/mm]

Viele Grüße,
Frusciante

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 04:27 Sa 09/09/2006
Author: felixf

Hallo Bastiane!

> Da G ein Monoid ist fehlt nur noch die Eigenschaft, dass
> jedes Element ein Inverses besitzt, damit G eine Gruppe
> ist.
>  Betrachte die "Eigenschaft" [mm](ax=ay[/mm] bzw. [mm]xa=ya) \Rightarrow x=y[/mm]

Hier solltest du noch hinschreiben: Sei $a [mm] \in [/mm] G$ beliebig.

> als Injektivität der Funktion [mm]f:G\to G, x\mapsto ax[/mm] bzw.
> [mm]x\mapsto xa[/mm] . Da G endlich ist gilt: [mm]G \mbox{ injektiv} \gdw G \mbox{ surjektiv} \gdw G \mbox{ bijektiv}[/mm],

Du meinst sicher $f$ und nicht $G$ in der Aequivalenzkette ;-)

> somit ist f auch surjektiv. Deswegen gibt es für jedes [mm]y\in G[/mm]
> ein [mm]x\in G[/mm] mit [mm]f(x)=ax=y[/mm]. Also gibt es auch für das
> neutrale Element [mm]e\in G[/mm] ein solches x:
>  
> [mm]ax=e[/mm]
>  
> und dieses Element a heißt das inverse Element zu x. Da a
> und x in gewisser Weise beliebig gewählt waren, gibt es
> somit für jedes Element ein Inverses. (Hier bin ich mir
> nicht so ganz sicher, ist das die richtige Begründung? Oder
> muss noch mehr gezeigt werden?

Ja, das ist die richtige Begruendung! [ok]

> Ach ja, und noch das Gegenbeispiel:
>  Betrache [mm]\IN[/mm] (incl. der 0) (oder wahlweise auch [mm]\IZ)[/mm]
> zusammen mit der normalen Multiplikation als Verknüpfung.
> Die Abbildung [mm]f(x)=ax[/mm] ist injektiv, es gilt also
> Eigenschaft (ii). Bekannterweise sind aber weder [mm](\IN, \cdot)[/mm]
> noch [mm](\IZ, \cdot)[/mm] Gruppen, da die inversen Elemente
> fehlen.

Wie schon angemerkt wurde, gilt (ii) hier nicht ($a = 0$).

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 13:53 Fr 08/09/2006
Author: phrygian

Beweis: Sei G ein endlicher Monoid, und es gelte die Bedingung (ii). Zu zeigen ist (nach Bem. 2, S.11), daß es zu jedem Element von G ein Links-Inverses gibt, d.h. [mm] \forall g\in G \; \exists h\in G: hg=e[/mm], wobei [m]e[/m] das Einselement von G ist.
Sei also [m]g\in G[/m] beliebig. Ich definiere die Abbildung

[m]\phi_g: G \to G: a\mapsto ag[/m].


[mm] \phi [/mm] ist injektiv:
Seien [m]a,b\in G[/m] derart, daß [m]\phi_g(a)=\phi(b)[/m], d.h. [m]ag=bg[/m]. Wegen (ii) folgt dann daraus, daß [m]a=b[/m] ist.


Da G endlich und [mm] \phi_g [/mm] injektiv ist, ist [mm] \phi_g [/mm] auch surjektiv. Somit muss es zu [m]e[/m] ein [m]h\in G[/m] geben, so daß [m]\phi_g(h)=e[/m] ist; m.a.W. muss es zu $g$ ein $h$ geben mit $hg=e$.
[mm] \Box [/mm]

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 04:28 Sa 09/09/2006
Author: felixf

Hallo phrygian!

> Beweis: Sei G ein endlicher Monoid, und es gelte die
> Bedingung (ii). Zu zeigen ist (nach Bem. 2, S.11), daß es
> zu jedem Element von G ein Links-Inverses gibt, d.h.
> [mm]\forall g\in G \; \exists h\in G: hg=e[/mm], wobei [m]e[/m] das
> Einselement von G ist.
>  Sei also [m]g\in G[/m] beliebig. Ich definiere die Abbildung
>  
> [m]\phi_g: G \to G: a\mapsto ag[/m].
>  
> [mm]\phi[/mm] ist injektiv:
>   Seien [m]a,b\in G[/m] derart, daß [m]\phi_g(a)=\phi(b)[/m], d.h. [m]ag=bg[/m].
> Wegen (ii) folgt dann daraus, daß [m]a=b[/m] ist.
>  
> Da G endlich und [mm]\phi_g[/mm] injektiv ist, ist [mm]\phi_g[/mm] auch
> surjektiv. Somit muss es zu [m]e[/m] ein [m]h\in G[/m] geben, so daß
> [m]\phi_g(h)=e[/m] ist; m.a.W. muss es zu [mm]g[/mm] ein [mm]h[/mm] geben mit [mm]hg=e[/mm].
>  [mm]\Box[/mm]  

Wow, sogar mit Beweis-Ende-Zeichen! Eine schoene Loesung, die auch als Musterloesung taugt! [ok]
(Abgesehen von dem fehlenden Gegenbeispiel, aber davon finden sich in den anderen Antworten genuegende :-) )


Bezug
                        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 04:39 Sa 09/09/2006
Author: phrygian

Hoi Felix,

das freut mich! Danke fürs Korrigieren!

Gruß, phrygian

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