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Abschnitt 1.1, Aufgabe 5: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:59 Fr 01.09.2006
Autor: felixf

Aufgabe
Sei $X$ eine Menge und $Y [mm] \subseteq [/mm] X$ eine Teilmenge.
Zeige, dass die Gruppe $S(Y)$ auf kanonische Weise als Untergruppe von $S(X)$ aufgefasst werden kann.


Hinweis: Bei dieser Aufgabe geht es auch daraum, ueber das Wort 'kanonisch' nachzudenken :-) Falls euch das Wort nicht vertraut ist, schaut mal []hier.


        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 5: Was genau muss ich zeigen?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 Di 05.09.2006
Autor: Bastiane

Hallo zusammen!

Ich verstehe diese Aufgabe irgendwie nicht so ganz. [kopfkratz] Was genau muss ich denn hier eigentlich zeigen?

> Sei [mm]X[/mm] eine Menge und [mm]Y \subseteq X[/mm] eine Teilmenge. Zeige,
> dass die Gruppe [mm]S(Y)[/mm] auf kanonische Weise als Untergruppe
> von [mm]S(X)[/mm] aufgefasst werden kann.
>
> Hinweis: Bei dieser Aufgabe geht es auch daraum, ueber das
> Wort 'kanonisch' nachzudenken :-) Falls euch das Wort nicht
> vertraut ist, schaut mal
> []hier.

Schade, anscheinend gibt es davon keine deutsche Version. Habe in der englischen allerdings nichts gefunden, was mir weiterhelfen kann, denn genau über diese "kanonisch" bin ich gestolpert. Es reicht doch sicher nicht, nur zu zeigen, dass S(Y) eine Gruppe ist!? Könnte mir jemand diese Aufgabenstellung etwas "kommentieren"?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 5: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Di 05.09.2006
Autor: felixf

Hallo Bastiane (und all ihr anderen)!

> Ich verstehe diese Aufgabe irgendwie nicht so ganz.
> [kopfkratz] Was genau muss ich denn hier eigentlich
> zeigen?

Wenn man davon spricht, dass ein Objekt $A$ als Unterobjekt von Objekt $B$ identifiziert werden soll, dann ist damit gemeint, dass man einen injektiven Homomorphismus $i : A [mm] \to [/mm] B$ angibt, der dann als 'Inklusionsabbildung' betrachtet wird: Man identifiziert $A$ mit $i(A) [mm] \subseteq [/mm] B$ (vermoege des Homomorphismus $i$).

Gesucht ist also ein injektiver Gruppenhomomorphismus $S(Y) [mm] \to [/mm] S(X)$, der kanonisch (s.u.) ist.

> > Sei [mm]X[/mm] eine Menge und [mm]Y \subseteq X[/mm] eine Teilmenge. Zeige,
> > dass die Gruppe [mm]S(Y)[/mm] auf kanonische Weise als Untergruppe
> > von [mm]S(X)[/mm] aufgefasst werden kann.
>  >

> > Hinweis: Bei dieser Aufgabe geht es auch daraum, ueber das
> > Wort 'kanonisch' nachzudenken :-) Falls euch das Wort nicht
> > vertraut ist, schaut mal
> > []hier.
>
> Schade, anscheinend gibt es davon keine deutsche Version.
> Habe in der englischen allerdings nichts gefunden, was mir
> weiterhelfen kann, denn genau über diese "kanonisch" bin
> ich gestolpert. Es reicht doch sicher nicht, nur zu zeigen,
> dass S(Y) eine Gruppe ist!? Könnte mir jemand diese
> Aufgabenstellung etwas "kommentieren"?

Wie im englischen Text geschrieben heisst kanonisch ja, dass es eine 'ausgezeichnete Wahl' gibt, die irgendwie besser, natuerlicher, einfacher gegenueber den anderen Wahlen ist. Injektive Gruppenhomomorphismen $S(Y) [mm] \to [/mm] S(X)$ gibt es im Allgemeinen viele. Aber einer davon ist besonderes einfach, bzw. einer davon ''respektiert'' die Einbettung $Y [mm] \subseteq [/mm] X$.

Ein Beispiel fuer eine kanonische Abbildung (hat jetzt nichts mit der Aufgabe zu tun!) ist die kanonische Restklassenabbildung (auch oft kanonische Projektion genannt): Wenn $M$ eine Menge ist und [mm] $\sim$ [/mm] eine []Aequivalenzrelation auf $M$, dann bezeichnet man oft mit [mm][m]_\sim := \{ m' \in M \mid m' \sim m \}[/mm] die Restklasse von $m [mm] \in [/mm] M$. Die Menger aller Restklassen wird mit [mm]M/\sim := \{ [m]_\sim \mid m \in M \}[/mm] bezeichnet. (Das habt ihr sicher schonmal gesehen; wenn nicht, schaut mal in der Wikipedia bei den Begriffen nach, ich vermute mal dass da was steht.)
Nun gibt es viele Abbildungen $M [mm] \to M/\sim$. [/mm] Eine davon ist allerdings besonders einfach, naemlich [mm] $\pi [/mm] : M [mm] \to M/\sim$,[/mm]  [mm]m \mapsto [m]_\sim[/mm], also die, die jedem Element einfach seine Restklasse zuordnet. Diese Abbildung [mm] $\pi$ [/mm] wird jetzt als die kanonische Restklassenabbildung bezeichnet.

Oder mal ein Beispiel, wo keine Abbildung kanonisch ist: Wie in dem Wikipedia-Artikel ueber 'kanonisch' steht, gibt es zu einem beliebigen (beliebig im Sinne von: mehr weiss man nicht drueber, kann alles moegliche Wilde sein :) ) $n$-dimensionalen [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] $V$ keine ausgezeichnete Basis (im Gegensatz zu $V = [mm] \IR^n$). [/mm] Deswegen gibt es auch keinen ausgezeichneten (kanonischen) Isomorphismus $V [mm] \to \IR^n$. [/mm] Das es jedoch (viele) Isomorphismen $V [mm] \to \IR^n$ [/mm] gibt, lernt man ja schon in der linearen Algebra I.

Ich hoffe mal das hat jetzt ein wenig Klarheit gebracht...

LG Felix


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Abschnitt 1.1, Aufgabe 5: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 Di 05.09.2006
Autor: phrygian

Beweis: Zu zeigen ist, daß jedem Element aus S(Y) in eineindeutiger Weise ein Element aus S(X) zugeordnet werden kann und daß die Menge dieser Elemente von S(X) eine Untergruppe von S(X) bildet. S(Y) kann also durch diese Zuordnung mit einer bestimmten Untergruppe von S(X) identifiziert und dadurch als eine Untergruppe von S(X) aufgefasst werden.

Zunächst definiere ich einen Monomorphismus [mm]\phi:S(Y)\to S(X)[/mm] und zeige dann, daß dessen Bild eine Untergruppe von S(X) ist.
Sei also [mm]\phi:S(Y)\to S(X)[/mm] definiert durch

[mm] \phi(f)(x):=\begin{cases}f(x),&\mbox{für } x\in Y \\ x, & \mbox{für } x\in X\setminus Y. \end{cases} [/mm]


[mm] \phi [/mm] ist ein Homomorphismus:
Seien [mm]f,g\in S(Y)[/mm] und [mm]x\in X[/mm] beliebig. Falls [mm]x\in Y[/mm], folgt

[mm]\phi(f\circ g)(x)=f\circ g (x)= f(g(x))=f(\underbrace{\phi(g)(x)}_{\in Y})=\phi(f)(\phi(g)(x))=\phi(f) \circ \phi(g) (x)[/mm].


Und falls [mm]x\in X\setminus Y[/mm] ist, folgt

[mm]\phi(f\circ g)(x)=x=\underbrace{\phi(g)(x)}_{\in X\setminus Y}=\phi(f)(\phi(g)(x))=\phi(f) \circ \phi(g) (x)[/mm].


Also gilt [mm]\phi(f\circ g)=\phi(f)\circ \phi(g)[/mm].



[mm] \phi [/mm] ist injektiv:
Seien [mm]f,g\in S(Y)[/mm] derart, daß [mm]f\not= g[/mm]. Dann gibt es ein [mm]x\in Y[/mm] mit [mm]f(x)\not= g(x)[/mm]. Daraus folgt [mm]\phi(f)(x)=f(x)\not= g(x)=\phi(g)(x)[/mm].
Also ist [mm]\phi(f)\not=\phi(g)[/mm].


Es folgt nun der Nachweis, daß [mm]im(\phi)[/mm] eine Untergruppe von S(X) ist.

(i) Existenz des Neutralen:
Das neutrale Element von S(X) ist [mm]id_{X}[/mm]. Es gilt aber [mm]id_{X}=\phi(id_{Y}) \in im(\phi) [/mm], wie man durch Fallunterscheidung für ein beliebiges Element [mm]x\in X[/mm] zeigen kann.


(ii) [mm] \forall f,g\in S(Y): \phi(f)\circ \phi(g)\in im(\phi)[/mm]:
Seien [mm]f,g\in S(Y)[/mm] beliebig. Dann ist [mm]f\circ g \in S(Y)[/mm]. Und da [mm] \phi [/mm] ein Homomorphismus ist, ist [mm]\phi(f) \circ \phi(g)= \phi(f \circ g) \in im(\phi)[/mm].


(iii) [mm]\forall f\in S(Y): \phi(f)^{-1}\in im(\phi)[/mm]:
Sei [mm]f\in S(Y)[/mm] beliebig. Dann ist [mm]f^{-1}\in S(Y)[/mm]. Und wiederum folgt aus der Homomorphie von [mm] \phi, [/mm] daß [mm]\phi(f)^{-1}=\phi(f^{-1})\in im(\phi)[/mm].

[mm] \Box [/mm]

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Abschnitt 1.1, Aufgabe 5: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:48 So 10.09.2006
Autor: felixf

So, nun auch zu deiner Loesung :-)

> Beweis: Zu zeigen ist, daß jedem Element aus S(Y) in
> eineindeutiger Weise ein Element aus S(X) zugeordnet werden
> kann und daß die Menge dieser Elemente von S(X) eine
> Untergruppe von S(X) bildet. S(Y) kann also durch diese
> Zuordnung mit einer bestimmten Untergruppe von S(X)
> identifiziert und dadurch als eine Untergruppe von S(X)
> aufgefasst werden.
>
> Zunächst definiere ich einen Monomorphismus [mm]\phi:S(Y)\to S(X)[/mm]
> und zeige dann, daß dessen Bild eine Untergruppe von S(X)
> ist.

Es reicht, einen Monomorphismus anzugeben: Das Bild einer Untergruppe unter einem Homomorphismus ist immer eine Untergruppe der Zielgruppe. Wobei ihr das allerdings erst in Aufgabe 9 zeigt ;-)

>  Sei also [mm]\phi:S(Y)\to S(X)[/mm] definiert durch
>  
> [mm]\phi(f)(x):=\begin{cases}f(x),&\mbox{für } x\in Y \\ x, & \mbox{für } x\in X\setminus Y. \end{cases}[/mm]

Du musst noch zeigen, dass dies wohldefiniert ist, das also fuer jedes $f [mm] \in [/mm] S(Y)$ die Funktion [mm] $\phi(f) [/mm] : X [mm] \to [/mm] X$ wieder in $S(X)$ liegt (also bijektiv ist). Das ist zwar hier recht schnell zu sehen, aber nachrechnen muss man es trotzdem :)

> [mm]\phi[/mm] ist ein Homomorphismus:
>  Seien [mm]f,g\in S(Y)[/mm] und [mm]x\in X[/mm] beliebig. Falls [mm]x\in Y[/mm],
> folgt
>  
> [mm]\phi(f\circ g)(x)=f\circ g (x)= f(g(x))=f(\underbrace{\phi(g)(x)}_{\in Y})=\phi(f)(\phi(g)(x))=\phi(f) \circ \phi(g) (x)[/mm].
>  
> Und falls [mm]x\in X\setminus Y[/mm] ist, folgt
>  
> [mm]\phi(f\circ g)(x)=x=\underbrace{\phi(g)(x)}_{\in X\setminus Y}=\phi(f)(\phi(g)(x))=\phi(f) \circ \phi(g) (x)[/mm].
>  
> Also gilt [mm]\phi(f\circ g)=\phi(f)\circ \phi(g)[/mm].
>  
>
> [mm]\phi[/mm] ist injektiv:
>  Seien [mm]f,g\in S(Y)[/mm] derart, daß [mm]f\not= g[/mm]. Dann gibt es ein
> [mm]x\in Y[/mm] mit [mm]f(x)\not= g(x)[/mm]. Daraus folgt
> [mm]\phi(f)(x)=f(x)\not= g(x)=\phi(g)(x)[/mm].
>  Also ist
> [mm]\phi(f)\not=\phi(g)[/mm].

Genau.

> Es folgt nun der Nachweis, daß [mm]im(\phi)[/mm] eine Untergruppe
> von S(X) ist.
>  
> (i) Existenz des Neutralen:
>  Das neutrale Element von S(X) ist [mm]id_{X}[/mm]. Es gilt aber
> [mm]id_{X}=\phi(id_{Y}) \in im(\phi) [/mm], wie man durch
> Fallunterscheidung für ein beliebiges Element [mm]x\in X[/mm] zeigen
> kann.
>
> (ii) [mm]\forall f,g\in S(Y): \phi(f)\circ \phi(g)\in im(\phi)[/mm]:
>  
> Seien [mm]f,g\in S(Y)[/mm] beliebig. Dann ist [mm]f\circ g \in S(Y)[/mm]. Und
> da [mm]\phi[/mm] ein Homomorphismus ist, ist [mm]\phi(f) \circ \phi(g)= \phi(f \circ g) \in im(\phi)[/mm].
>  
> (iii) [mm]\forall f\in S(Y): \phi(f)^{-1}\in im(\phi)[/mm]:
>   Sei
> [mm]f\in S(Y)[/mm] beliebig. Dann ist [mm]f^{-1}\in S(Y)[/mm]. Und wiederum
> folgt aus der Homomorphie von [mm]\phi,[/mm] daß
> [mm]\phi(f)^{-1}=\phi(f^{-1})\in im(\phi)[/mm].
>  [mm]\Box[/mm]  

Exakt. Wie man hier auch sieht, braucht man fuer den Nachweis, dass [mm] $\phi(S(Y))$ [/mm] eine Untergruppe vno $S(X)$ ist, keine Eigenschaften von [mm] $\phi$ [/mm] (ausser das es ein Gruppenhomomorphismus ist) und von $S(Y)$ (ausser das es eine Gruppe ist).

LG Felix


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Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 5: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:06 So 10.09.2006
Autor: phrygian

Hallo Felix!

>  Du musst noch zeigen, dass dies wohldefiniert ist, das also fuer jedes [mm] $f\in [/mm] S(Y)$ die Funktion [mm] $\phi(f): X\to [/mm] X$ wieder in $S(X)$ liegt (also bijektiv ist). Das ist zwar hier recht schnell zu sehen, aber nachrechnen muss man es trotzdem :)

O.k., wird gemacht:

Wohldefiniertheit von [mm] \phi [/mm] :
Sei [mm] $f\in [/mm] S(Y)$ beliebig.
[mm] $\phi(f): X\to [/mm] X$ ist genau dann bijektiv, wenn es eine Funktion [mm] $\theta(f): X\to [/mm] X$ gibt mit [mm] $\phi(f) \circ \theta(f)=\theta(f) \circ \phi(f)=id_X$. [/mm]
Ich definiere [mm] $\theta(f): X\to [/mm] X$ folgendermaßen:

$ [mm] \theta(f)(x):=\begin{cases}f^{-1}(x),&\mbox{für } x\in Y \\ x, & \mbox{für } x\in X\setminus Y. \end{cases} [/mm] $

Falls [mm] $x\in [/mm] Y$ ist, folgt

[mm] [center]$\phi(f) \circ \theta(f)(x)=\phi(f)(f^{-1}(x))=f(f^{-1}(x))=x=id_X(x)$[/center] [/mm]
und
[mm] [center]$\theta(f) \circ \phi(f)(x)=\theta(f)(f(x))=f^{-1}(f(x))=x=id_X(x)$.[/center] [/mm]

Und falls [mm] $x\in X\setminus [/mm] Y$ ist, folgt

[mm] [center]$\phi(f) \circ \theta(f)(x)=\phi(f)(x)=x=id_X(x)$[/center] [/mm]
und
[mm] [center]$\theta(f) \circ \phi(f)(x)=\theta(f)(x)=x=id_X(x)$.[/center] [/mm]

[mm] \Box [/mm]

Ist das richtig?

Gruß, phrygian

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Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 5: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:17 So 10.09.2006
Autor: felixf

Hallo phrygian!

> Wohldefiniertheit von [mm]\phi[/mm] :
>  Sei [mm]f\in S(Y)[/mm] beliebig.
> [mm]\phi(f): X\to X[/mm] ist genau dann bijektiv, wenn es eine
> Funktion [mm]\theta(f): X\to X[/mm] gibt mit [mm]\phi(f) \circ \theta(f)=\theta(f) \circ \phi(f)=id_X[/mm].
>  
> Ich definiere [mm]\theta(f): X\to X[/mm] folgendermaßen:
>  
> [mm]\theta(f)(x):=\begin{cases}f^{-1}(x),&\mbox{für } x\in Y \\ x, & \mbox{für } x\in X\setminus Y. \end{cases}[/mm]
>  
> Falls [mm]x\in Y[/mm] ist, folgt
>  
> [mm]\phi(f) \circ \theta(f)(x)=\phi(f)(f^{-1}(x))=f(f^{-1}(x))=x=id_X(x)[/mm]
>  
> und
> [mm]\theta(f) \circ \phi(f)(x)=\theta(f)(f(x))=f^{-1}(f(x))=x=id_X(x)[/mm].
>  
> Und falls [mm]x\in X\setminus Y[/mm] ist, folgt
>  
> [mm]\phi(f) \circ \theta(f)(x)=\phi(f)(x)=x=id_X(x)[/mm]
>  und
>  [mm]\theta(f) \circ \phi(f)(x)=\theta(f)(x)=x=id_X(x)[/mm].
>  
> [mm]\Box[/mm]
>  
> Ist das richtig?

Ja. :)

LG Felix


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Abschnitt 1.1, Aufgabe 5: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:20 Di 12.09.2006
Autor: Docy

Hallo,
also ich muss sagen, ich sollte mich pyro anschließen und den Kurs weiterhin passiv mitverfolgen. Ich hab noch so viel zu verstehen und zu lernen, was ich weiterhin fleißig mache :-)
Nun zu meiner eigentlichen Frage, die mag zwar dumm sein, aber ich sehe leider keinen anderen Weg mich zu informieren. Und zwar, phrygian hat in seinem Beweis eine Abbildung eingeführt. Ich verstehe die ganze Sache nicht so ganz, wieso führt man sowas ein und wieso darf man die dann beliebig definieren? Ok, ist wahrscheinlich ne sehr dumme Frage, aber ich wäre echt froh, wenn mir jemand helfen könnte, das zu verstehen!

Gruß
Docy


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Abschnitt 1.1, Aufgabe 5: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:36 Di 12.09.2006
Autor: phrygian

Hallo Docy,

ich weiss nicht, ob das Folgende Deine Frage beantwortet, und habe deshalb meinen Artikel als Mitteilung markiert.

>  also ich muss sagen, ich sollte mich pyro anschließen und
> den Kurs weiterhin passiv mitverfolgen. Ich hab noch so
> viel zu verstehen und zu lernen, was ich weiterhin fleißig
> mache :-)

Ich würde Dir raten, den Kurs aktiv zu verfolgen. Auch wenn es sehr frustrierend sein kann, wenn man nur wenig versteht - Du machst dabei wertvolle Erfahrungen, die Dir später sehr zugute kommen werden. Du lernst nicht nur, Deine Frustrationsgrenze "nach oben" zu verschieben und nicht locker zu lassen, bis Du etwas verstehst; Du wirst auch sehen, daß Sachen, die Du bei der ersten Begegnung nicht begreifst, Dir später völlig klar sein werden. Und falls Du mal Mathe studieren wirst, wirst Du es sehr viel leichter haben, wenn Du Dich jetzt schon damit auseinandersetzt, und Du wirst Dich dann fragen, weshalb Du das früher nicht begriffen hast. Verstehen ist unter anderem auch Gewöhnung, und je mehr Du Dich mit einer Sache auseinandersetzt, desto mehr wirst Du Dich an die ungewohnten, unverständlichen Gedankengänge gewöhnen und sie immer mehr verstehen. Verstehen ist auch Prozess, das Zeit und vor allem Übung braucht. Darum empfehle ich Dir, es wenigstens zu versuchen, die Übungen zu lösen.
O.K., genug gepredigt...

>  Nun zu meiner eigentlichen Frage, die mag zwar dumm sein,
> aber ich sehe leider keinen anderen Weg mich zu
> informieren.  Und zwar, phrygian hat in seinem Beweis eine
> Abbildung eingeführt. Ich verstehe die ganze Sache nicht so
> ganz, wieso führt man sowas ein und wieso darf man die dann
> beliebig definieren?

Deine Frage ist nicht einfach zu beantworten und alles andere als dumm! Ich vermute, daß Du nicht verstehst, wie man überhaupt auf die Idee kommt, das Problem mit einer Abbildung zu lösen, und wie man die richtige Abbildung findet.
Meiner Meinung nach ist das wieder eine Frage der Gewöhnung. Mit der Zeit wirst Du sehen, daß auch in mathematischen Beweisen immer wieder die gleichen Strategien angewendet werden (wenigstens ist das so im Mathematik-Grundstudium...), und Du wirst ein Gespür dafür entwickeln, mit welcher Strategie Du am besten ein bestimmtes Problem lösen kannst. Dieter und Felix können Dir diese Frage sicher besser beantworten, da sie mehr mathematische Erfahrung haben.
Zur konkreten Aufgabe: Es geht darum, $S(Y)$ als Untergruppe von $S(X)$ aufzufassen. Das Problem ist, daß man von einer Untergruppe von $S(X)$ zuallererst verlangt, daß sie eine Teilmenge von $S(X)$ sein muss - und $S(Y)$ ist leider keine Teilmenge von $S(X)$ und kann also auch keine Untergruppe von $S(X)$ sein. Deshalb wird auch nur verlangt, sie als Untergruppe aufzufassen. Und das geht so: Man wählt für jedes Element $f$ in $S(Y)$ ein Element $f'$ in $S(X)$, das sozusagen ein Stellvertreter von $f$ ist (genauso wie Parlamentarier Stellvertreter der sie wählenden Bürger im Parlament sind - oder sein sollten). Die Gesamtheit dieser Stellvertreter bildet eine Teilmenge von $S(X)$, und wenn man die richtigen Stellvertreter gewählt hat, bilden diese sogar eine Untergruppe von $S(X)$.
Die Wahl der Stellvertreter erfolgt über eine Abbildung, die jedem Element von $S(Y)$ einen Stellvertreter in $S(X)$ zuordnet, und diese Abbildung ist deshalb keineswegs beliebig. Man muss sie so definieren, daß die gewählten Stellvertreter eine Untergruppe bilden. Damit sind wir wieder zur Frage gelangt, wie man die richtige Abbildung findet. Vielleicht auch dadurch, daß man schon einmal in einem ähnlichen Problem gesehen hat, wie die benötigte Abbildung auszusehen hat.

> Ok, ist wahrscheinlich ne sehr dumme
> Frage, aber ich wäre echt froh, wenn mir jemand helfen
> könnte, das zu verstehen!

Ich hoffe, ich konnte Dir ein bisschen helfen, auch wenn ich Deine Frage sehr allgemein beantwortet habe. Vor allem hoffe ich, daß ich Dich ermutigen konnte, weiterhin mitzumachen!

Gruß, phrygian

Bezug
                                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 5: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:49 Mi 13.09.2006
Autor: Docy

Hallo phrygian,
erstmal vielen Dank für deine Ermutigung. ;-)

> Deine Frage ist nicht einfach zu beantworten und alles
> andere als dumm! Ich vermute, daß Du nicht verstehst, wie
> man überhaupt auf die Idee kommt, das Problem mit einer
> Abbildung zu lösen, und wie man die richtige Abbildung
> findet.

Richtig, genau das ist mein Problem!

>  Meiner Meinung nach ist das wieder eine Frage der
> Gewöhnung. Mit der Zeit wirst Du sehen, daß auch in
> mathematischen Beweisen immer wieder die gleichen
> Strategien angewendet werden (wenigstens ist das so im
> Mathematik-Grundstudium...), und Du wirst ein Gespür dafür
> entwickeln, mit welcher Strategie Du am besten ein
> bestimmtes Problem lösen kannst. Dieter und Felix können
> Dir diese Frage sicher besser beantworten, da sie mehr
> mathematische Erfahrung haben.
> Zur konkreten Aufgabe: Es geht darum, [mm]S(Y)[/mm] als Untergruppe
> von [mm]S(X)[/mm] aufzufassen. Das Problem ist, daß man von einer
> Untergruppe von [mm]S(X)[/mm] zuallererst verlangt, daß sie eine
> Teilmenge von [mm]S(X)[/mm] sein muss - und [mm]S(Y)[/mm] ist leider keine
> Teilmenge von [mm]S(X)[/mm] und kann also auch keine Untergruppe von
> [mm]S(X)[/mm] sein. Deshalb wird auch nur verlangt, sie als
> Untergruppe aufzufassen. Und das geht so: Man wählt für
> jedes Element [mm]f[/mm] in [mm]S(Y)[/mm] ein Element [mm]f'[/mm] in [mm]S(X)[/mm], das
> sozusagen ein Stellvertreter von [mm]f[/mm] ist (genauso wie
> Parlamentarier Stellvertreter der sie wählenden Bürger im
> Parlament sind - oder sein sollten). Die Gesamtheit dieser
> Stellvertreter bildet eine Teilmenge von [mm]S(X)[/mm], und wenn man
> die richtigen Stellvertreter gewählt hat, bilden diese
> sogar eine Untergruppe von [mm]S(X)[/mm].
>  Die Wahl der Stellvertreter erfolgt über eine Abbildung,
> die jedem Element von [mm]S(Y)[/mm] einen Stellvertreter in [mm]S(X)[/mm]
> zuordnet, und diese Abbildung ist deshalb keineswegs
> beliebig. Man muss sie so definieren, daß die gewählten
> Stellvertreter eine Untergruppe bilden. Damit sind wir
> wieder zur Frage gelangt, wie man die richtige Abbildung
> findet. Vielleicht auch dadurch, daß man schon einmal in
> einem ähnlichen Problem gesehen hat, wie die benötigte
> Abbildung auszusehen hat.

Also ich muss sagen, ich habe selten eine so gute Antwort gelesen, wie diese hier.
Es ist unglaublich motivierend, wenn man etwas so gut erklärt bekommt, vielen Dank.
Ich werde auf jeden Fall versuchen, aktiv mitzumachen, auch wenn's mal nicht klappen sollte. :-)

Nochmals vielen lieben Dank

Gruß
Docy

Bezug
                                        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 5: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:29 Mi 13.09.2006
Autor: phrygian

Hi Docy!

>  erstmal vielen Dank für deine Ermutigung. ;-)

Gern geschehen!

> Also ich muss sagen, ich habe selten eine so gute Antwort
> gelesen, wie diese hier.
>  Es ist unglaublich motivierend, wenn man etwas so gut
> erklärt bekommt, vielen Dank.
> Ich werde auf jeden Fall versuchen, aktiv mitzumachen, auch
> wenn's mal nicht klappen sollte. :-)

Das freut mich :-) !
Wie Dieter schon gesagt hat: Es macht nichts, wenn Du eine Aufgabe nicht lösen kannst. Der Versuch ist schon von großem Wert.
Übrigens: Falls Du nebenbei noch Zeit hast und Englisch kein großes Problem für Dich darstellt, würde ich Dir das Buch "How To Prove It" von Daniel J. Velleman ans Herz legen. Es ist - wie der Titel schon andeutet - ein Buch über die Technik des Beweisens. Mir hat es jedenfalls sehr geholfen zu lernen, wie man einen Beweis aufbaut, und zu sehen, welche Regeln der Logik dahinterstecken.

Gruß, phrygian

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Abschnitt 1.1, Aufgabe 5: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:52 Di 12.09.2006
Autor: statler

Hallo Docy,

ich gebe mal ein Zitat weiter, was ich gerade selbst gelesen habe:

Mathematics is not at all a spectator sport

Mit dem passiven Verfolgen ist es nicht getan, und da ich vermute, daß du deinen Mathe-Schulkram nebenbei erledigst, wäre es schön, wenn du regelmäßig Zeit für die aktive Teilnahme hier erübrigen könntest. In aller Regel lernt man auch etwas, wenn man eine Aufgabe nicht bewältigt.

Und auch wenn ich mich wiederhole: Verschaff dir ein paar einfache Beispiele für Gruppen, z. B. eben die teilerfremden Restklassen mit der Multiplikation

Oder überleg dir, welche Gruppe von den beiden Funktionen y = 1/(1-x) und y = 1/x erzeugt wird, wenn die Verknüpfung das 'Hintereinanderausführen' (die Verkettung) ist. Wo sind die Dinger definiert, was ist das neutrale Element, die Inversen usw. Ist das kommutativ?

Zu deiner anderen Frage: Die Lösung einer Aufgabe besteht aus vielen Schmierzetteln (auf denen auch Murks stehen darf) und einer sauber hingeschriebenen und logisch schlüssigen Beweisführung, in der man - zumindest als Anfänger - jeden Schritt begründen sollte. Wie man darauf gekommen ist, steht auf den Schmierzetteln (und geht letzlich keinen etwas an).

Gauß, dem man vorgeworfen hat, seine Gedankenwege sorgfältig zu verwischen, hat damit gekontert, daß man bei einer Kathedrale ja auch nach der Fertigstellung das Gerüst wegreiße.

Wenn es nützt, darf man also eine Funktion definieren, und wenn es zum Ziel führt, beantwortet sich die Frage nach dem 'Warum' von selbst, nämlich mit 'Darum'.

Versuch dabeizubleiben, es wird schon etwas für dich Nützliches hängenbleiben.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

PS: Wer ist pyro? Verwechselung?



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Abschnitt 1.1, Aufgabe 5: Achtung, schon Lösungsidee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:58 Mi 06.09.2006
Autor: Bastiane

Hallo zusammen!

Nach obigen Tipps habe ich mir mal Gedanken gemacht, aber ich weiß nicht so ganz, wie ich das aufschreiben kann und ob ich nicht vielleicht doch noch total in der falschen Richtung bin. Und zwar habe ich mir überlegt, dass S(Y) und S(X) ja "ähnliche Elemente" haben. Wenn ich z. B. in S(Y) habe: [mm] \vektor{1&2&3\\3&2&1} [/mm] und in S(X): [mm] \vektor{1&2&3&4\\3&2&1&4} [/mm] würde ich dieses Element aus S(Y) gerne auf dieses Element von S(X) abbilden. Aber wie schreibe ich das auf?
Abgesehen davon fällt mir gerade auf, dass es ja mehrere solcher Elemente geben kann, falls S nicht nur ein Element mehr hat als Y. Und auf welches müsste ich dann abbilden? Oder muss ich mir vielleicht besser die "Struktur" der Elemente angucken, würde also [mm] \vektor{1&2&3\\3&2&1} [/mm] besser auf [mm] \vektor{1&2&3&4\\4&3&2&1} [/mm] abgebildet?

Ist die Idee irgendwie richtig? Falls ja, kann mir bitte einer sagen, wie ich das irgendwie aufschreiben kann, falls nein, wäre ich für eine richtige Idee dankbar. :-)

Ach ja, falls ich hier totalen Blödsinn geschrieben habe, bitte nicht böse sein. Habe mir die vorherige Diskussion gerade nicht mehr durchgelesen, nur noch versucht mich an meine Idee von letztens zu erinnern. Und ich habe einen "schweren" Tag hinter mir, so dass ich im Moment wohl eh nicht mehr richtig denken kann. [bonk]

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


P.S.:

Und, weil ich ja nichts löschen will, lasse ich hier auch noch meinen Schmierzettel stehen: ;-)

Ich probiere es mit [mm] Y=\{1,...,n'\} [/mm] und [mm] X=\{1,...,n\} [/mm] wobei [mm] $n'\le [/mm] n$ gelten muss.
Dann wäre beispielsweise [mm] \vektor{1&...&n'\\\pi(1)&...&\pi(n')} [/mm] ein Element von S(Y). Ebenso wäre [mm] \vektor{1&...&n'&...&n\\\pi(1)&...&\pi(n')&...&\pi(n)} [/mm] ein Element von S(X). Nun soll genau dieses Element aus Y auf genau dieses in X abgebildet werden! Wobei halt irgendwie gelten soll: [mm] \pi(1)=\pi(1) [/mm] usw... [kopfkratz] :-) Ob das wohl so stimmt?



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Abschnitt 1.1, Aufgabe 5: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Fr 08.09.2006
Autor: felixf

Hallo Bastiane

> Nach obigen Tipps habe ich mir mal Gedanken gemacht, aber
> ich weiß nicht so ganz, wie ich das aufschreiben kann und
> ob ich nicht vielleicht doch noch total in der falschen
> Richtung bin. Und zwar habe ich mir überlegt, dass S(Y) und
> S(X) ja "ähnliche Elemente" haben. Wenn ich z. B. in S(Y)
> habe: [mm]\vektor{1&2&3\\3&2&1}[/mm] und in S(X):
> [mm]\vektor{1&2&3&4\\3&2&1&4}[/mm] würde ich dieses Element aus S(Y)
> gerne auf dieses Element von S(X) abbilden.

Das ist eine sehr gute Idee!

> Aber wie schreibe ich das auf?

Wenn [mm] $\pi'$ [/mm] das Element aus $S(Y)$ ist, dann kannst du dazu [mm] $\pi \in [/mm] S(X)$ definieren mit [mm] $\pi(x) [/mm] := [mm] \pi'(x)$ [/mm] fuer $x [mm] \in [/mm] Y$ und [mm] $\pi(x) [/mm] := x$ fuer $x [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus [/mm] Y$.

>  Abgesehen davon fällt mir gerade auf, dass es ja mehrere
> solcher Elemente geben kann, falls S nicht nur ein Element
> mehr hat als Y. Und auf welches müsste ich dann abbilden?
> Oder muss ich mir vielleicht besser die "Struktur" der
> Elemente angucken, würde also [mm]\vektor{1&2&3\\3&2&1}[/mm] besser
> auf [mm]\vektor{1&2&3&4\\4&3&2&1}[/mm] abgebildet?

Das geht nicht! Sei [mm] $\pi' [/mm] := [mm] \vektor{1&2&3\\3&2&1}$ [/mm] und [mm] $\pi [/mm] := [mm] \vektor{1&2&3&4\\4&3&2&1}$. [/mm] Dann ist [mm] $(\pi')^3 [/mm] = id$ (Identitaet, das neutrale Element in $S(Y)$), jedoch ist [mm] $\pi^3$ [/mm] nicht die Identitaet in $S(X)$! Da ein Gruppenhomomorphismus vertraeglich mit der Verknuepfung ist und das neutrale Element auf das neutrale Element abbilden muss, dann somit niemals ein Gruppenhomomorphismus $S(Y) [mm] \to [/mm] S(X)$ das Element [mm] $\pi'$ [/mm] auf [mm] $\pi$ [/mm] abbilden!

(Und selbst wenn das gehen wuerde und da tatsaechlich ein injektiver Homomorphismus herauskommen wuerde, waere der alles andere als kanonisch! Dann muss man sich ja erstmal jedes Element aus $S(Y)$ genau angucken, bevor man weiss auf welches aus $S(X)$ es abgebildet wird! Dagegen ist die Methode von oben sehr kanonisch, man setzt die Abbildung [mm] $\pi$ [/mm] ausserhalb von $Y$ einfach mit der Identitaet auf $X$ fort.)

> Ach ja, falls ich hier totalen Blödsinn geschrieben habe,
> bitte nicht böse sein. Habe mir die vorherige Diskussion
> gerade nicht mehr durchgelesen, nur noch versucht mich an
> meine Idee von letztens zu erinnern. Und ich habe einen
> "schweren" Tag hinter mir, so dass ich im Moment wohl eh
> nicht mehr richtig denken kann. [bonk]

Ok :-)

LG Felix


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Abschnitt 1.1, Aufgabe 5: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:33 Sa 16.09.2006
Autor: just-math

Hallo,

kann ich es einfach kanonisch als Untergruppe sehen, wo Permutationen alle andere Elemente aus [mm] X\setminus [/mm] Y fix lassen.

Gruss

just-math

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Abschnitt 1.1, Aufgabe 5: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:08 Sa 16.09.2006
Autor: felixf

Hallo just-math,

> kann ich es einfach kanonisch als Untergruppe sehen, wo
> Permutationen alle andere Elemente aus [mm]X\setminus[/mm] Y fix
> lassen.

exakt so ist es.

LG Felix


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