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Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:59 Fr 01.09.2006
Autor: felixf

Aufgabe
Sei $G$ eine endliche abelsche Gruppe (multiplikativ geschrieben). Dann gilt [mm] $\prod_{g\in G} g^2 [/mm] = 1$.


        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Di 05.09.2006
Autor: Bastiane

Hallo Felix, hallo Dieter, hallo alle anderen!

Hier kommt schon mal meine erste Lösung. Ich weiß im Moment noch nicht so ganz, wie das ist: bin mir nicht sicher, ob das so gescheit aufgeschrieben ist oder ob ich das noch anders machen sollte. Könnte mal jemand drüber gucken und etwas dazu sagen? (Oder ist das alles sogar total falsch?) Oder "korrigiert" ihr das direkt, sodass ich danach gar nichts mehr dran ändern soll?

Ach ja, und da man seine Schmierzettel ja nicht behalten kann, habe ich mal meine "anfängliche Idee" mitgepostet. Falls ich später nicht mehr weiß, was mir die lange Gleichungskette da unten sagen sollte... ;-)


Idee: Da die Gruppe endlich ist, kann man alle Elemente aufzählen und demnach das Produkt aller "Quadrate" berechnen. Das neutrale Element verknüpft mit sich selbst ergibt wieder das neutrale Element, für alle anderen Elemente gibt es jeweils ein inverses Element (inclusive selbstinverser Elemente). Da die Gruppe kommutativ ist, kann ich die Reihenfolge der Verknüpfung variieren und so jedes Element mit ihrem Inversen verknüpfen. Demnach bleibt am Ende nur noch das neutrale Element übrig. :-)

> Sei [mm]G[/mm] eine endliche abelsche Gruppe (multiplikativ
> geschrieben). Dann gilt [mm]\prod_{g\in G} g^2 = 1[/mm].

Beweis:

Sei [mm] G=\{g_1,g_2,...,g_n\} [/mm] die endliche abelsche Gruppe.

zz: [mm] \produkt_{g\in G}g^2=1 [/mm]

Sei o.B.d.A. [mm] g_1=1 [/mm] das neutrale Element und gelte o.B.d.A. für alle [mm] i\in\{1,...,\bruch{n}{2}\} [/mm] (bzw. die größte Zahl, die kleiner ist als [mm] \bruch{n}{2} [/mm] - wie schreibt man nochmal dieses "Häkchen" (Gauß-Klammer)?): [mm] g_{2i}g_{2i+1}=1 \; (g_{2i} [/mm] ist invers zu [mm] g_{2i+1}) [/mm] (gilt diese "Reihenfolge" nicht, so darf ich aufgrund der Kommutativität (und Assoziativität) der Gruppe die Elemente so anordnen, dass diese Reihenfolge gegeben ist), dann gilt:

[mm] $\produkt_{g\in G}g^2=\produkt_{g\in G}gg=g_1g_1g_2g_2g_3g_3...g_ng_n=g_1g_2g_3...g_ng_1g_2g_3...g_n \overbrace{=}^{g_1=1} g_2g_3...g_ng_2g_3...g_n \overbrace{=}^{g_2g_3=1 usw.} [/mm] 1$

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:45 Sa 09.09.2006
Autor: statler

Hallo Christiane!

> Idee: Da die Gruppe endlich ist, kann man alle Elemente
> aufzählen und demnach das Produkt aller "Quadrate"
> berechnen. Das neutrale Element verknüpft mit sich selbst
> ergibt wieder das neutrale Element, für alle anderen
> Elemente gibt es jeweils ein inverses Element (inclusive
> selbstinverser Elemente). Da die Gruppe kommutativ ist,
> kann ich die Reihenfolge der Verknüpfung variieren und so
> jedes Element mit ihrem Inversen verknüpfen. Demnach bleibt
> am Ende nur noch das neutrale Element übrig. :-)
>  
> > Sei [mm]G[/mm] eine endliche abelsche Gruppe (multiplikativ
> > geschrieben). Dann gilt [mm]\prod_{g\in G} g^2 = 1[/mm].
>

Mit der Idee bin ich völlig einverstanden.

> Beweis:
>  
> Sei [mm]G=\{g_1,g_2,...,g_n\}[/mm] die endliche abelsche Gruppe.
>  
> zz: [mm]\produkt_{g\in G}g^2=1[/mm]

Jetzt wirst du leider ungenau. Wenn du deinen Text genau durchgehst, stellst du fest, daß die selbstinversen Elemente untergegangen sind. Du hast k selbstinverse Elemente (darunter e) und n-k andere, die du zu Paaren zusammenfassen kannst. Das meinst du natürlich, aber so steht es nicht da.

> Sei o.B.d.A. [mm]g_1=1[/mm] das neutrale Element und gelte o.B.d.A.
> für alle [mm]i\in\{1,...,\bruch{n}{2}\}[/mm] (bzw. die größte Zahl,
> die kleiner ist als [mm]\bruch{n}{2}[/mm] - wie schreibt man nochmal
> dieses "Häkchen" (Gauß-Klammer)?): [mm]g_{2i}g_{2i+1}=1 \; (g_{2i}[/mm]
> ist invers zu [mm]g_{2i+1})[/mm] (gilt diese "Reihenfolge" nicht, so
> darf ich aufgrund der Kommutativität (und Assoziativität)
> der Gruppe die Elemente so anordnen, dass diese Reihenfolge
> gegeben ist), dann gilt:
>  
> [mm]\produkt_{g\in G}g^2=\produkt_{g\in G}gg=g_1g_1g_2g_2g_3g_3...g_ng_n=g_1g_2g_3...g_ng_1g_2g_3...g_n \overbrace{=}^{g_1=1} g_2g_3...g_ng_2g_3...g_n \overbrace{=}^{g_2g_3=1 usw.} 1[/mm]

Ansatz [ok] Ausführung [notok]
(Einen Smiley für halbOK hab ich nicht gefunden)

Gruß
Dieter


Bezug
        
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Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:08 Do 07.09.2006
Autor: Docy

Hallo alle zusammen,
hab da eine kleine Frage, und zwar:
sei a, b, ..., n [mm] \in [/mm] G, muss man das Produkt [mm] \produkt_{g \in G}^{}g²=1 [/mm] so lesen:

aa*bb*...*nn=1?

Vielen Dank für die Hilfe

Gruß
Docy

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:14 Do 07.09.2006
Autor: phrygian

Hi Docy,

ja, genau so muss man es lesen.

Gruß, phrygian

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:56 Do 07.09.2006
Autor: Bastiane

Hallo zusammen!

> Hallo alle zusammen,
> hab da eine kleine Frage, und zwar:
>  sei a, b, ..., n [mm]\in[/mm] G, muss man das Produkt [mm]\produkt_{g \in G}^{}g²=1[/mm]
> so lesen:
>  
> aa*bb*...*nn=1?

Naja, der Stern steht aber nicht unbedingt für die normale Multiplikation, abgesehen davon könntest du auch noch mehr Sterne setzen, nämlich so: a*a*b*b*...*n*n=1. Hilft dir das jetzt, oder verwirrt es dich eher? Mich hat es anfangs etwas verwirrt, weil ich dann als Beispiel mal eine Gruppe mit einer additiven Verknüpfung genommen habe, das ist dann aber natürlich die normale 1 nicht das neutrale Element...

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


Bezug
        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:37 Fr 08.09.2006
Autor: Frusciante

Hallo,

> Sei [mm]G[/mm] eine endliche abelsche Gruppe (multiplikativ
> geschrieben). Dann gilt [mm]\prod_{g\in G} g^2 = 1[/mm].

Es seien [mm] $g_1,\ldots,g_n$ [/mm] die n verschiedenen Elemente von G.

In der Liste der zugehörigen inversen Elemente [mm] $g_1^{-1},\ldots,g_n^{-1}$ [/mm] kann kein Element doppelt auftauchen, denn:
Angenommen, es gäbe [mm] $i,j\in\{1,\ldots,n\}, i\not=j$ [/mm] mit [mm] $g_i^{-1}=g_j^{-1}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow\ 1=g_j^{-1}*g_i$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow\ g_j=g_i$ [/mm]
Dies ist ein Widerspruch, da alle [mm] $g_1,\ldots,g_n$ [/mm] als verschieden vorausgesetzt sind.

Also sind auch alle [mm] $g_1^{-1},\ldots,g_n^{-1}$ [/mm] verschieden. Da G nur n Elemente besitzt, müssen es gerade diese sein, man könnte schreiben: [mm] $\{g_1^{-1},\ldots,g_n^{-1}\}=\{g_1,\ldots,g_n\}$ [/mm]

Aus der Kommutativität von G folgt nun [mm] $g_1^{-1}*\ldots*g_n^{-1}=g_1*\ldots*g_n$ [/mm] (*)

Damit haben wir schlussendlich

[mm] $\prod_{g\in G} g^2$ [/mm]

[mm] $=g_1*g_1*\ldots*g_n*g_n$ [/mm]

Kommutativität:

[mm] $=g_1*\ldots*g_n*g_1*\ldots*g_n$ [/mm]

Wegen (*) nun:

[mm] $=g_1*\ldots*g_n*g_1^{-1}*\ldots*g_n^{-1}$ [/mm]

Zurücksortieren:

[mm] $=g_1*g_1^{-1}*\ldots*g_n*g_n^{-1}$ [/mm]

"Peng!":

$=1$

Gruß, Frusciante

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Frage/Kommentar zur Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:59 Fr 08.09.2006
Autor: Bastiane

Hallo zusammen!

Es soll doch über die Lösungen diskutiert werden, oder? Oder erst nachdem die Abgabe komplett vorbei ist? Jedenfalls habe ich mal eine kleine Frage:

> Es seien [mm]g_1,\ldots,g_n[/mm] die n verschiedenen Elemente von
> G.

Dass es n verschiedene Elemente sind, habe ich einfach mal so intuitiv vorausgesetzt... Also, ich habe mir da gar keine Gedanken drüber gemacht, aber wenn ich das getan hätte, dann wäre mir das eigentlich auch klar gewesen, da man ja jedes Element nur einmal zählt. Muss man dann so etwas hier erwähnen?
  

> In der Liste der zugehörigen inversen Elemente
> [mm]g_1^{-1},\ldots,g_n^{-1}[/mm] kann kein Element doppelt
> auftauchen, denn:
>  Angenommen, es gäbe [mm]i,j\in\{1,\ldots,n\}, i\not=j[/mm] mit
> [mm]g_i^{-1}=g_j^{-1}[/mm]
>  [mm]\Rightarrow\ 1=g_j^{-1}*g_i[/mm]
>  [mm]\Rightarrow\ g_j=g_i[/mm]
>  Dies
> ist ein Widerspruch, da alle [mm]g_1,\ldots,g_n[/mm] als verschieden
> vorausgesetzt sind.

>

> Also sind auch alle [mm]g_1^{-1},\ldots,g_n^{-1}[/mm] verschieden.
> Da G nur n Elemente besitzt, müssen es gerade diese sein,
> man könnte schreiben:
> [mm]\{g_1^{-1},\ldots,g_n^{-1}\}=\{g_1,\ldots,g_n\}[/mm]


Auch über so etwas habe ich mir keine Gedanken gemacht. Für mich war klar, dass wenn das Ganze eine Gruppe ist, dass dann inverse Elemente einfach existieren. Und somit sind sie halt einfach vorhanden. Deswegen auch hier die Frage: muss man so etwas erwähnen?

Den Rest habe ich dann wohl genauso gemacht -> es besteht eine Chance, dass es richtig war. ;-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


Bezug
                        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:52 Fr 08.09.2006
Autor: Frusciante

Hallo Bastiane,

> Es soll doch über die Lösungen diskutiert werden, oder?

Gerne :-)

> Oder erst nachdem die Abgabe komplett vorbei ist?

Nein, warum nicht jetzt schon?

> Jedenfalls habe ich mal eine kleine Frage:
>  
> > Es seien [mm]g_1,\ldots,g_n[/mm] die n verschiedenen Elemente von
> > G.
>  
> Dass es n verschiedene Elemente sind, habe ich einfach mal
> so intuitiv vorausgesetzt... Also, ich habe mir da gar
> keine Gedanken drüber gemacht, aber wenn ich das getan
> hätte, dann wäre mir das eigentlich auch klar gewesen, da
> man ja jedes Element nur einmal zählt. Muss man dann so
> etwas hier erwähnen?

Mir kam es darauf an, dass meine Aufzählung der Elemente nur verschiedene enthält, weil ich ja später daraus den Widerspruch konstruiere.

> > In der Liste der zugehörigen inversen Elemente
> > [mm]g_1^{-1},\ldots,g_n^{-1}[/mm] kann kein Element doppelt
> > auftauchen, denn:
>  >  Angenommen, es gäbe [mm]i,j\in\{1,\ldots,n\}, i\not=j[/mm] mit
> > [mm]g_i^{-1}=g_j^{-1}[/mm]
>  >  [mm]\Rightarrow\ 1=g_j^{-1}*g_i[/mm]
>  >  [mm]\Rightarrow\ g_j=g_i[/mm]
>  >

>  Dies
> > ist ein Widerspruch, da alle [mm]g_1,\ldots,g_n[/mm] als verschieden
> > vorausgesetzt sind.
>  >
>  > Also sind auch alle [mm]g_1^{-1},\ldots,g_n^{-1}[/mm]

> verschieden.
> > Da G nur n Elemente besitzt, müssen es gerade diese sein,
> > man könnte schreiben:
> > [mm]\{g_1^{-1},\ldots,g_n^{-1}\}=\{g_1,\ldots,g_n\}[/mm]
>  
>
> Auch über so etwas habe ich mir keine Gedanken gemacht. Für
> mich war klar, dass wenn das Ganze eine Gruppe ist, dass
> dann inverse Elemente einfach existieren. Und somit sind
> sie halt einfach vorhanden. Deswegen auch hier die Frage:
> muss man so etwas erwähnen?

Die Existenz inverser Elemente habe ich auch einfach benutzt, nicht ganz so selbstverständlich finde ich aber die Eindeutigkeit. Nur so kann man ja dann in dem Produkt zu jedem Element einen Partner finden, mit dem zusammen es sich zu 1 kürzt und nur so bleibt kein Single-Element übrig.

Gruß, Frusciante

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Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:36 Fr 08.09.2006
Autor: Bastiane

Hallo Frusciante!

Das macht ja Spaß, hier zu diskutieren. :-)
Und was ich noch fragen wollte: woher kommt der Name "Frusciante"? Hat der etwas zu bedeuten?
Und ich habe gerade festgestellt, dass du auch aus Bonn kommst - in welchem Semester bist du denn?

> Mir kam es darauf an, dass meine Aufzählung der Elemente
> nur verschiedene enthält, weil ich ja später daraus den
> Widerspruch konstruiere.

Ok. :-)

> > Auch über so etwas habe ich mir keine Gedanken gemacht. Für
> > mich war klar, dass wenn das Ganze eine Gruppe ist, dass
> > dann inverse Elemente einfach existieren. Und somit sind
> > sie halt einfach vorhanden. Deswegen auch hier die Frage:
> > muss man so etwas erwähnen?
>  
> Die Existenz inverser Elemente habe ich auch einfach
> benutzt, nicht ganz so selbstverständlich finde ich aber
> die Eindeutigkeit.

Ist eine Gruppe nicht so definiert, dass es zu jedem a ein eindeutig bestimmtes Inverses gibt? Hatte ich jetzt irgendwie so im Kopf, aber vielleicht verwechsel ich das ja auch mit dem neutralen Element, finde es nämlich auch im Buch nicht. Dann hast du natürlich Recht und ich habe das übersehen bzw. nicht bedacht. [mm] \to [/mm] Wie gut, dass wir darüber diskutieren. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


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Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:43 Fr 08.09.2006
Autor: Frusciante

Hallo Bastiane!

> Das macht ja Spaß, hier zu diskutieren. :-)

Ja, finde ich auch :-)

>  Und was ich noch fragen wollte: woher kommt der Name
> "Frusciante"? Hat der etwas zu bedeuten?

Nun, es kommt von John Frusciante, siehe []http://de.wikipedia.org/wiki/Frusciante. Einige seiner Stücke mag ich, aber bei weitem nicht alles :-)

>  Und ich habe gerade festgestellt, dass du auch aus Bonn
> kommst - in welchem Semester bist du denn?

Ja, ich komme zwar aus Bonn, wohne aber mittlerweile in Mülheim und studiere in Düsseldorf im 6. Semester.
  

> > Mir kam es darauf an, dass meine Aufzählung der Elemente
> > nur verschiedene enthält, weil ich ja später daraus den
> > Widerspruch konstruiere.
>  
> Ok. :-)
>  
> > > Auch über so etwas habe ich mir keine Gedanken gemacht. Für
> > > mich war klar, dass wenn das Ganze eine Gruppe ist, dass
> > > dann inverse Elemente einfach existieren. Und somit sind
> > > sie halt einfach vorhanden. Deswegen auch hier die Frage:
> > > muss man so etwas erwähnen?
>  >  
> > Die Existenz inverser Elemente habe ich auch einfach
> > benutzt, nicht ganz so selbstverständlich finde ich aber
> > die Eindeutigkeit.
>
> Ist eine Gruppe nicht so definiert, dass es zu jedem a ein
> eindeutig bestimmtes Inverses gibt?

Die Eindeutigkeit muss nicht extra gefordert werden, sie ergibt sich bereits aus der Existenz.

> Hatte ich jetzt
> irgendwie so im Kopf, aber vielleicht verwechsel ich das ja
> auch mit dem neutralen Element, finde es nämlich auch im
> Buch nicht.

Doch, in meiner 5. Auflage steht es auf Seite 11, direkt vor der Definition 1 der Gruppe.

> Dann hast du natürlich Recht und ich habe das
> übersehen bzw. nicht bedacht. [mm]\to[/mm] Wie gut, dass wir darüber
> diskutieren. :-)

Viele Grüße,
Frusciante

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:30 Sa 09.09.2006
Autor: statler

Hallo!

> > Sei [mm]G[/mm] eine endliche abelsche Gruppe (multiplikativ
> > geschrieben). Dann gilt [mm]\prod_{g\in G} g^2 = 1[/mm].
> Da G nur n Elemente besitzt, müssen es gerade diese sein,
> man könnte schreiben:

Was heißt 'man könnte', man kann!

> Damit haben wir schlussendlich
>  
> [mm]\prod_{g\in G} g^2[/mm]
>  
> [mm]=g_1*g_1*\ldots*g_n*g_n[/mm]
>  
> Kommutativität:
>  
> [mm]=g_1*\ldots*g_n*g_1*\ldots*g_n[/mm]
>  
> Wegen (*) nun:
>  
> [mm]=g_1*\ldots*g_n*g_1^{-1}*\ldots*g_n^{-1}[/mm]
>  
> Zurücksortieren:

möglich wg. Komm.

>  
> [mm]=g_1*g_1^{-1}*\ldots*g_n*g_n^{-1}[/mm]
>  
> "Peng!":
>  
> [mm]=1[/mm]

Paletti!
Dieter


Bezug
        
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Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Überarbeitete Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 Fr 08.09.2006
Autor: Docy

Hallo felixf,
stimmt, hab deshalb meine Lösung überarbeitet. Hab noch nicht in die Lösungen der Anderen geguckt, deshalb bitte die neue Lösung checken.

Sei G eine endliche abelsche Gruppe (multiplikativ geschrieben). Dann gilt [mm] \prod_{g\in G} g^2 [/mm] = 1.

Z.z: [mm] a_{1}*a_{1}*a_{2}*a_{2}*...*a_{n}*a_{n}=1 [/mm]
Da [mm] a_{i} [/mm] alle Elemente aus G durchläuft, dann auch die inversen. Und da G abelsch ist kann man schreiben:

[mm] a_{1}*a_{1}*a^{-1}*a^{-1}*...*a_{n'}*a_{n'}*a^{-n'}*a^{-n'} [/mm]
= e*e*....*e=e.

Je nachdem, ob G additiv bzw. multiplikativ ist, ist e 0 bzw. 1.

Ist das jetzt richtig?

Gruß
Docy

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Kommentar zur alten Loesung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 Fr 08.09.2006
Autor: felixf

Hallo!

Da Docy noch keine wirkliche Beweiserfahrung hat und deswegen sicher Kommentare gebrauchen kann, werde ich mal von meiner Regel, erst ab morgen Mittag eure Loesungen zu kommentieren, in diesem Fall abweichen.

> Sei G eine endliche abelsche Gruppe (multiplikativ
> geschrieben). Dann gilt [mm]\prod_{g\in G} g^2[/mm] = 1.

Einmal macht es mehr Sinn, wenn du die Elemente von $G$ nicht mit $a, b, [mm] \dots, [/mm] n$ bezeichnest, sondern mit [mm] $a_1, a_2, \dots, a_n$, [/mm] $n [mm] \in \IN$. [/mm] Nicht nur das es gleich viel komplizierter aussieht, du hast dann auch den Fall mit drinnen, das es eine andere Anzahl von Elementen als 14 gibt :-)

> Z.z: a*a*b*b*...*n*n=1
>  Da G abelsch ist, gilt: a*a*b*b*....*n*n=n*n*....*b*b*a*a.
> Und daraus
>  
> [mm]a*a*b*b*....*n*n*a^{-1}*a^{-1}*b^{-1}*b^{-1}*....*n^{-1}*n^{-1}=e,[/mm]
>
> weil man dadurch, dass G abelsch ist, umstellen kann nach:
>  
> [mm]a*a^{-1}*a*a^{-1}*....*n*n^{-1}=e*e*....*e=e.[/mm]

Soweit so gut. Aber damit hast du bisher noch nichts gezeigt: Du hast nur gezeigt, dass du aus einer wahren Aussage (naemlich $a * a * b * b * [mm] \cdots [/mm] * n * n = n * n * [mm] \cdots [/mm] * b * b * a * a$) eine weitere wahre Aussage (naemlich $a * [mm] a^{-1} [/mm] * a * [mm] a^{-1} [/mm] * [mm] \dots [/mm] * n * [mm] n^{-1} [/mm] * n * [mm] n^{-1} [/mm] = e$) gefolgert hast. Jedoch hat keine dieser beiden Aussagen etwas mit der eigentlichen Aufgabe zu tun, naemlich dass $a * a * b * b * [mm] \cdots [/mm] * n * n = e$ ist.

Insofern: Dein Beweis ist inhaltlich korrekt, aber er beweist die Aussage nicht.

Schau dir mal die anderen Loesungen an, und versuch es nochmal selber aufzuschreiben.

LG Felix


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Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Kommentar zur neuen Loesung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Sa 09.09.2006
Autor: felixf

Hallo Docy!

> stimmt, hab deshalb meine Lösung überarbeitet. Hab noch
> nicht in die Lösungen der Anderen geguckt, deshalb bitte
> die neue Lösung checken.

Es ist wahrscheinlich besser, wenn du demnaechst die neue Loesung separat postest, deine Aenderung hier haette ich fast uebersehen :-)

> Sei G eine endliche abelsche Gruppe (multiplikativ
> geschrieben). Dann gilt [mm]\prod_{g\in G} g^2[/mm] = 1.
>
> Z.z: [mm]a_{1}*a_{1}*a_{2}*a_{2}*...*a_{n}*a_{n}=1[/mm]
>  Da [mm]a_{i}[/mm] alle Elemente aus G durchläuft, dann auch die
> inversen. Und da G abelsch ist kann man schreiben:
>  
> [mm]a_{1}*a_{1}*a^{-1}*a^{-1}*...*a_{n'}*a_{n'}*a^{-n'}*a^{-n'}[/mm]
>  = e*e*....*e=e.

Du verwechelst was mit Index und Exponent! Und $n' = n$? Du meinst wohl [mm] $a_1 [/mm] * [mm] a_1 [/mm] * [mm] a_1^{-1} [/mm] * [mm] a_1^{-1} [/mm] * [mm] \cdots [/mm] * [mm] a_{n'} [/mm] * [mm] a_{n'} [/mm] * [mm] a_{n'}^{-1} a_{n'}^{-1}$? [/mm] Aber warum folgt aus dieser Gleichung die Behauptung?

Oder meinst du, dass $n'$ die Haelfte von $n$ ist, also [mm] $a_1, \dots, a_{n'}$ [/mm] einmal Elemente sind und [mm] $a_{n'+1}, \dots, a_n$ [/mm] die Inversen der ersten $n'$ Elemente? Da bekommst du allerdings das Problem, dass es Elemente gibt, die zu sich selber invers sind, deswegen kannst du es nicht einfach so umordnen.

Was du zeigen kannst, ist, dass die Abbildung $x [mm] \mapsto x^{-1}$, [/mm] die jedem Element sein Inverses zuordnet, eine Permutation der Elemente ist (also eine bijektive Abbildung). Daraus folgt, dass wegen der Kommutativitaet [mm] $a_1 \cdot \dots \cdot a_n [/mm] = [mm] a_1^{-1} \cdot \dots \cdot a_n^{-1}$ [/mm] ist. Wenn du diese Gleichung jetzt mit [mm] $a_1 \cdots a_n$ [/mm] auf beiden Seiten multiplizierst, bekommst du die gesuchte Aussage.

> Je nachdem, ob G additiv bzw. multiplikativ ist, ist e 0
> bzw. 1.

Wenn die Gruppe additiv waere, haettest du die ganze Zeit $+$ und nicht [mm] $\cdot$ [/mm] schreiben muessen!

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:22 Di 12.09.2006
Autor: Docy

Hallo felixf,
ich war über das Wochenende weg, daher konnte ich die Antworten erst gestern abend lesen. Ich verstehe da leider einen Schritt nicht so ganz. Könntest du es mir eventuell noch erklären?

> Was du zeigen kannst, ist, dass die Abbildung [mm]x \mapsto x^{-1}[/mm],
> die jedem Element sein Inverses zuordnet, eine Permutation
> der Elemente ist (also eine bijektive Abbildung). Daraus
> folgt, dass wegen der Kommutativitaet [mm]a_1 \cdot \dots \cdot a_n = a_1^{-1} \cdot \dots \cdot a_n^{-1}[/mm]
> ist.

Das verstehe ich leider nicht. Wie kommst du auf diese Gleichung? Hier bräuchte ich Hilfe.

Gruß
Docy

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Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:45 Di 12.09.2006
Autor: statler

Hallo Docy,

wenn ich jedem Gruppenelement sein Inverses zuordne, dann habe ich zunächst einmal eine vernünftig definierte Abbildung von G nach G, weil in einer Gruppe jedes Element höchstens ein Inverses hat. Das folgt aus 1.1 Satz 3 im Bosch (Kürzungsregel in Gruppen). Da nach der Gruppendefinition auch jedes Element mindestens ein Inverses hat, gibt es genau ein Inverses.

Jetzt kann ich mir überlegen: Was ist das Inverse des Inversen, also [mm] (a^{-1}){-1}? [/mm] Das ist wieder a, weil sowohl a als auch [mm] (a^{-1}){-1} [/mm] beide zu [mm] a^{-1} [/mm] invers sind.

Aber dann ist die betrachtete Abbildung selbst-invers, d. h. sie ergibt, wenn man sie mit sich selbst verkettet, die Identität. Daraus folgt, daß sie bijektiv ist. Aber eine bijektive Abb. einer endlichen Menge gibt mir einfach die Elemente "in anderer Reihenfolge". Das nennt man eine Permutation.

Die einfachsten Beispiele endlicher kommutativer Gruppen sind die teilerfremden Restklassen einer Zahl. Für 5 sind das z. B. {1, 2, 3, 4}, für 8 entsprechend {1, 3, 5, 7}. Die bilden bei Multiplikation eine Gruppe, und du könnstest mal die Gruppentafel aufstellen und die Untergruppen suchen (und die Struktur der Gruppe als Diagramm zeichnen?).

Versuch mal, unsere Aufgaben daran zu verdeutlichen. Man braucht ein paar Beispiele, finde ich.

Gruß
Dieter


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Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:16 Di 12.09.2006
Autor: Docy

Hallo Dieter,
danke für deine Erklärung, allerdings verstehe ich immer noch nicht, wie felix in seiner Antwort auf diese Gleichung gekommen ist:

[mm] a_1 \cdot \dots \cdot a_n [/mm] = [mm] a_1^{-1} \cdot \dots \cdot a_n^{-1} [/mm]

Gruß
Docy

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Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:22 Di 12.09.2006
Autor: statler

Hi Docy!

> danke für deine Erklärung, allerdings verstehe ich immer
> noch nicht, wie felix in seiner Antwort auf diese Gleichung
> gekommen ist:
>  
> [mm]a_1 \cdot \dots \cdot a_n[/mm] = [mm]a_1^{-1} \cdot \dots \cdot a_n^{-1}[/mm]

Ich antworte laienhaft:

Lies die Gleichung von rechts nach links. Wegen des vorher Gesagten ist ja z. B. [mm] a_1^{-1} [/mm] = [mm] a_{3}, a_2^{-1} [/mm] = [mm] a_7, a_3^{-1} [/mm] = [mm] a_4 [/mm] usw., und weil die Gruppe kommutativ ist, kann ich die linke Seite wieder umsortieren bzw. in beliebiger Reihenfolge hinschreiben.

Mach mal die beiden Beispiele ....

Gruß
Dieter

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Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Fr 08.09.2006
Autor: phrygian

Beweis: Da G eine Gruppe ist, existiert zu jedem [mm] $g\in [/mm] G$ genau ein Inverses [mm] $g^{-1}$, [/mm] so daß man folgende Abbildung definieren kann:

[mm] [center]$\phi: G\to [/mm] G: [mm] g\mapsto g^{-1}$.[/center] [/mm]

Da für jedes [m]g\in G[/m] gilt, daß [mm] $(g^{-1})^{-1}=g$ [/mm] ist, ist [mm] \phi [/mm] surjektiv; und da zudem G endlich ist, ist [mm] \phi [/mm] sogar bijektiv. Mit der Kommutativität von G folgt daraus

[mm] [center]$\produkt_{g\in G} g^2= \produkt_{g\in G}g \produkt_{g\in G}g=\produkt_{g\in G}g \produkt_{g\in G}\phi(g)=\produkt_{g\in G}g \produkt_{g\in G}g^{-1}=\produkt_{g\in G}(gg^{-1})=\produkt_{g\in G}1=1$.[/center] [/mm]
[mm] \Box [/mm]

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Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:47 Fr 08.09.2006
Autor: Frusciante

Hallo phrygian,

ich hätte nicht gedacht, dass es so elegant geht [ok][respekt]

Gruß, Frusciante

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Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:01 Fr 08.09.2006
Autor: phrygian

Hallo Frusciante,

danke für das Kompliment! :-)

Gruß, phrygian

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Abschnitt 1.1, Aufgabe 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:24 Sa 09.09.2006
Autor: statler

Hallo!

> [mm]\produkt_{g\in G} g^2= \produkt_{g\in G}g \produkt_{g\in G}g=\produkt_{g\in G}g \produkt_{g\in G}\phi(g)=\produkt_{g\in G}g \produkt_{g\in G}g^{-1}=\produkt_{g\in G}(gg^{-1})=\produkt_{g\in G}1=1[/mm].

Man hätte allenfalls noch jedes Gleichheitszeichen einzeln begründen können, z. B. die beiden Stellen, an denen die Komm. eingeht.
Aber so ist es auch rund. [ok]

Gruß
Dieter


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