matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenVK 29: OberstufenmathematikAbschnitt 1.1, Aufgabe 7
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "VK 29: Oberstufenmathematik" - Abschnitt 1.1, Aufgabe 7
Abschnitt 1.1, Aufgabe 7 < VK 29: Oberstufe < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "VK 29: Oberstufenmathematik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Abschnitt 1.1, Aufgabe 7: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:59 Fr 01.09.2006
Autor: felixf

Aufgabe
Sei $G$ eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass für jedes Element $g [mm] \in [/mm] G$ gilt [mm] $g^2 [/mm] = 1$ (dabei sei $1$ das neutrale Element der Gruppe).
Zeige, dass $G$ abelsch ist.


        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 7: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Di 05.09.2006
Autor: phrygian

Beweis: Seien [mm]a,b\in G[/mm] beliebig. Zu zeigen ist, daß [mm]ab=ba[/mm] ist.
Da für alle [mm]g\in G[/mm] gilt, daß [mm]g^2=1[/mm] ist, gilt insbesondere [mm](ab)^2=1[/mm], d.h. [mm]abab=1[/mm]. Durch Rechtsmultiplikation beider Terme dieser Gleichung mit [mm]b^{-1}[/mm] erhält man [mm]aba=b^{-1}[/mm]; und durch Rechtsmultiplikation mit [mm]a^{-1}[/mm] erhält man daraus [mm]ab=b^{-1}a^{-1}[/mm] (*).
Andererseits folgt aus [mm]b^2=1[/mm] auch [mm]b=b^{-1}[/mm] (wiederum durch Rechtsmultiplikation mit [mm]b^{-1}[/mm]), und analog folgt aus [mm]a^2=1[/mm], daß [mm]a=a^{-1}[/mm] ist.
Durch Einsetzen in (*) erhält man daraus die gewünschte Gleichung [mm]ab=ba[/mm].


Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 7: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:11 Sa 09.09.2006
Autor: felixf

Hallo phrygian!

> Beweis: Seien [mm]a,b\in G[/mm] beliebig. Zu zeigen ist, daß [mm]ab=ba[/mm]
> ist.
>  Da für alle [mm]g\in G[/mm] gilt, daß [mm]g^2=1[/mm] ist, gilt insbesondere
> [mm](ab)^2=1[/mm], d.h. [mm]abab=1[/mm]. Durch Rechtsmultiplikation beider
> Terme dieser Gleichung mit [mm]b^{-1}[/mm] erhält man [mm]aba=b^{-1}[/mm];
> und durch Rechtsmultiplikation mit [mm]a^{-1}[/mm] erhält man daraus
> [mm]ab=b^{-1}a^{-1}[/mm] (*).
>  Andererseits folgt aus [mm]b^2=1[/mm] auch [mm]b=b^{-1}[/mm] (wiederum durch
> Rechtsmultiplikation mit [mm]b^{-1}[/mm]), und analog folgt aus
> [mm]a^2=1[/mm], daß [mm]a=a^{-1}[/mm] ist.
> Durch Einsetzen in (*) erhält man daraus die gewünschte
> Gleichung [mm]ab=ba[/mm].

Genau! [ok]

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 7: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 Di 05.09.2006
Autor: Bastiane

Hallo zusammen!

Hier nochmal eine Lösung von mir. Ist das so richtig? Was kann/sollte ich ändern/verbessern?

Sei [mm] $x,y\in [/mm] G$, damit ist auch die Verknüpfung [mm] $g=xy\in [/mm] G$ (oder nicht???). Da [mm] g^2=1 [/mm] und [mm] g^2=(xy)(xy)=xyxy [/mm] folgt $xyxy=1$. Multiplikation von rechts mit y ergibt: [mm] $\gdw xyx\overbrace{yy}^{=1}=y \gdw [/mm] xyx=y$ Multiplikation von rechts mit x ergibt: [mm] $\gdw xy\overbrace{xx}^{=1}=yx \gdw [/mm] xy=yx$. Es gilt also xy=yx für beliebige [mm] $x,y\in [/mm] G$ und somit ist die Behauptung gezeigt. :-)

Irgendwie gefällt mir das Schriftbild überhaupt nicht. Kann man da irgendwas ändern, ohne jedes Wort "einzeln" in eine [mm] "\backslash\mbox{mbox}" [/mm] zu setzen???


Viele Grüße
Bastiane
[cap]



Da ich nichts löschen möchte, was mir einmal im Kopf war, hier noch (nur für mich! ;-)) mein erster Ansatz: Seien [mm] $x,y\in [/mm] G$ invers zueinander, es gilt also: [mm] x^2=1, y^2=1, [/mm] xy=1=yx
es folgt: [mm] 1=1*1=x^2y^2=xxyy=x(xy)y=x(yx)y=xyxy=(xy)(xy)=(yx)(yx)=y(xy)x=y(yx)x=yyxx=y^2x^2 [/mm]
Also gilt [mm] x^2y^2=y^2x^2. [/mm]
und wenn x und y nicht invers???

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 7: gefällt mir
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:57 Fr 08.09.2006
Autor: Frusciante

Hallo Bastiane,

> Sei [mm]x,y\in G[/mm], damit ist auch die Verknüpfung [mm]g=xy\in G[/mm]
> (oder nicht???). Da [mm]g^2=1[/mm] und [mm]g^2=(xy)(xy)=xyxy[/mm] folgt
> [mm]xyxy=1[/mm]. Multiplikation von rechts mit y ergibt: [mm]\gdw xyx\overbrace{yy}^{=1}=y \gdw xyx=y[/mm]
> Multiplikation von rechts mit x ergibt: [mm]\gdw xy\overbrace{xx}^{=1}=yx \gdw xy=yx[/mm].
> Es gilt also xy=yx für beliebige [mm]x,y\in G[/mm] und somit ist die
> Behauptung gezeigt. :-)

Hey, die Lösung gefällt mir, da gar nicht auf die "Selbstinversität" der Elemente zurückgegriffen werden muss... Ich ärgere mich gerade, dass ich das nicht auch gesehen habe... :-)

Gruß, Frusciante

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 7: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:09 Sa 09.09.2006
Autor: felixf

Hallo Bastiane!

> Hier nochmal eine Lösung von mir. Ist das so richtig? Was
> kann/sollte ich ändern/verbessern?
>  
> Sei [mm]x,y\in G[/mm], damit ist auch die Verknüpfung [mm]g=xy\in G[/mm]
> (oder nicht???).

Ja, das ist so. Das liegt daran, dass es eine Verknuepfung ist.

> Da [mm]g^2=1[/mm] und [mm]g^2=(xy)(xy)=xyxy[/mm] folgt
> [mm]xyxy=1[/mm]. Multiplikation von rechts mit y ergibt: [mm]\gdw xyx\overbrace{yy}^{=1}=y \gdw xyx=y[/mm]

Die [mm] $\gdw$s [/mm] gehoeren da nicht hin, finde ich. Insbesondere das erste; das zweite kann man noch tolerieren :)

> Multiplikation von rechts mit x ergibt: [mm]\gdw xy\overbrace{xx}^{=1}=yx \gdw xy=yx[/mm].

Hier ebenso.

> Es gilt also xy=yx für beliebige [mm]x,y\in G[/mm] und somit ist die
> Behauptung gezeigt. :-)
>  
> Irgendwie gefällt mir das Schriftbild überhaupt nicht. Kann

Ja, das ist ein Problem mit Bildern in Text in Browsern...

> man da irgendwas ändern, ohne jedes Wort "einzeln" in eine
> [mm]"\backslash\mbox{mbox}"[/mm] zu setzen???

Ich denke nicht... Die einzige Loesung waere, den kompletten Beitrag zu TeXen (das muesste dann das System machen). Aber das ist halt nicht so angenehm, allein schon da kein copy'n'paste mehr geht etc.

Vielleicht wird das mal besser, wenn sich MathML durchsetzt (sprich: die meisten Browser das auch unterstuetzen)...

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 7: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:02 Di 05.09.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo Felix,

ich würde es so machen:

Das Entscheidende ist hier wohl, dass [mm] g^{2}=e [/mm] gilt. Übersetzt heißt das g ist zu sich selbst invers, also [mm] g=g^{-1}. [/mm] Nehmen wir uns also zwei bel. [mm]g,h\in G[/mm]. Dann folgt [mm] g*h=g^{-1}*h^{-1}=(h*g)^{-1}=h*g. [/mm]

Die Eigenschaft [mm] (hg)^{-1}=g^{-1}*h^{-1} [/mm] müsste man evtl. noch zeigen. Das ist aber auch nur ein Einzeiler. Dazu zeigt man zunächst, dass [mm] (g^{-1})^{-1}=g [/mm] und dann die Behauptung. Wegen e*e=e ist [mm] e^{-1}=e. [/mm] Dann zeigt die Gleichung [mm] g^{-1}*g=g*g^{-1}=e, [/mm] dass auch [mm] g^{-1} [/mm] invertierbar ist mit Inversem g. Wegen der Eindeutigkeit der Inversen folgt also [mm] (g^{-1})^{-1}=g. [/mm] Ebenso folgert man dann [mm] g^{-1}*h^{-1}*h*g=e=h*g*g^{-1}*h^{-1}. [/mm] Damit ist das auch gezeigt.

Viele Grüße
Daniel

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 7: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:05 Sa 09.09.2006
Autor: felixf

Hallo Daniel!

> ich würde es so machen:
>
> Das Entscheidende ist hier wohl, dass [mm]g^{2}=e[/mm] gilt.
> Übersetzt heißt das g ist zu sich selbst invers, also
> [mm]g=g^{-1}.[/mm] Nehmen wir uns also zwei bel. [mm]g,h\in G[/mm]. Dann
> folgt [mm]g*h=g^{-1}*h^{-1}=(h*g)^{-1}=h*g.[/mm]

Genau! So ist es auch schoen aufgeschrieben: Man faengt mit $g * h$ an und hoert mit $h * g$ auf, und alles in einer Gleichung ;-)

> Die Eigenschaft [mm](hg)^{-1}=g^{-1}*h^{-1}[/mm] müsste man evtl.
> noch zeigen. Das ist aber auch nur ein Einzeiler.

Exakt: $(h g) [mm] (g^{-1} h^{-1}) [/mm] = h g [mm] g^{-1} h^{-1} [/mm] = h [mm] h^{-1} [/mm] = e = (h g) (h [mm] g)^{-1}$. [/mm] Jetzt auf beiden Seiten mit $(h [mm] g)^{-1}$ [/mm] von links multiplizieren, und schon steht's da.

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 7: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:42 Fr 08.09.2006
Autor: Frusciante

Hallo Algebra-Kurs,

hier meine erste Lösung:

> Sei [mm]G[/mm] eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass fuer jedes
> Element [mm]g \in G[/mm] gilt [mm]g^2 = 1[/mm] (dabei sei [mm]1[/mm] das neutrale
> Element der Gruppe). Zeige, dass [mm]G[/mm] abelsch ist.

Zu zeigen ist: [mm] $a,b\in [/mm] G\ [mm] \Rightarrow\ [/mm] a*b=b*a$

Sei [mm] $a,b\in [/mm] G$

$a*a=1\ [mm] \Rightarrow\ a=a^{-1}$ [/mm] (durch Multiplikation mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] auf beiden Seiten)

Ebenso folgt

$b*b=1\ [mm] \Rightarrow\ b=b^{-1}$ [/mm] (durch Multiplikation mit [mm] $b^{-1}$ [/mm] auf beiden Seiten)

Nun gilt auch für das Element $a*b$ nach Voraussetzung

$(a*b)*(a*b)=1$

(Assoziativgesetz gilt in $G$)

[mm] $\Rightarrow\ [/mm] a*b*a*b=1$

(Multiplikation mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] und [mm] $b^{-1}$ [/mm] von links in dieser Reihenfolge)

[mm] $\Rightarrow\ a*b=b^{-1}*a^{-1}$ [/mm]

Wegen [mm] $a=a^{-1}$ [/mm] und [mm] $b=b^{-1}$ [/mm] folgt nun die Behauptung

[mm] $\Rightarrow\ [/mm] a*b=b*a$

Wenn die anderen Aufgaben auch mal so einfach wären...

Gruß, Frusciante

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 7: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:01 Sa 09.09.2006
Autor: felixf

Hallo Frusciante!

> hier meine erste Lösung:
>  
> > Sei [mm]G[/mm] eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass fuer jedes
> > Element [mm]g \in G[/mm] gilt [mm]g^2 = 1[/mm] (dabei sei [mm]1[/mm] das neutrale
> > Element der Gruppe). Zeige, dass [mm]G[/mm] abelsch ist.
>
> Zu zeigen ist: [mm]a,b\in G\ \Rightarrow\ a*b=b*a[/mm]
>  
> Sei [mm]a,b\in G[/mm]
>  
> [mm]a*a=1\ \Rightarrow\ a=a^{-1}[/mm] (durch Multiplikation mit
> [mm]a^{-1}[/mm] auf beiden Seiten)
>  
> Ebenso folgt
>  
> [mm]b*b=1\ \Rightarrow\ b=b^{-1}[/mm] (durch Multiplikation mit
> [mm]b^{-1}[/mm] auf beiden Seiten)

Hier koenntest du auch sagen: Da $a [mm] \in [/mm] G$ beliebig war, gilt auch $b = [mm] b^{-1}$. [/mm]

> Nun gilt auch für das Element [mm]a*b[/mm] nach Voraussetzung
>  
> [mm](a*b)*(a*b)=1[/mm]
>  
> (Assoziativgesetz gilt in [mm]G[/mm])
>  
> [mm]\Rightarrow\ a*b*a*b=1[/mm]
>
> (Multiplikation mit [mm]a^{-1}[/mm] und [mm]b^{-1}[/mm] von links in dieser
> Reihenfolge)
>  
> [mm]\Rightarrow\ a*b=b^{-1}*a^{-1}[/mm]
>
> Wegen [mm]a=a^{-1}[/mm] und [mm]b=b^{-1}[/mm] folgt nun die Behauptung
>  
> [mm]\Rightarrow\ a*b=b*a[/mm]

Genau! [ok]

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 7: Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:53 Fr 08.09.2006
Autor: Docy

G sei eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass für alle g [mm] \in [/mm] G gilt g²=1(dabei sei 1 das neutral e Element der Gruppe).Zeige, dass G abelsch ist.

Beweis:
Für alle a, b [mm] \in [/mm] G gilt: a*a=1 bzw. b*b=1. Z.z.: ab=ba
Aus aa=1 und bb=1folgt [mm] a=a^{-1} [/mm] bzw. [mm] b=b^{-1}. [/mm]
Aus

aa=1 und bb=1

folgt

aa=bb.

Durch Umformen ergibt sich zunächst

[mm] aab^{-1}=b [/mm]

und anschließend

[mm] ab^{-1}=ba^{-1}. [/mm]

Da [mm] a^{-1}=a [/mm] bzw. [mm] b^{-1}=b [/mm] folgt

ab=ba.

Das ist das Kriterium für kommutative bzw. abelsche Gruppen, damit ist G abelsch.

PS: Ich hoffe, man kann das so machen ;-)

Gruß
Docy

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 7: geht leider so nicht
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:07 Di 12.09.2006
Autor: felixf

Hallo Docy!

> G sei eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass für alle g [mm]\in[/mm]
> G gilt g²=1(dabei sei 1 das neutral e Element der
> Gruppe).Zeige, dass G abelsch ist.
>  
> Beweis:
>  Für alle a, b [mm]\in[/mm] G gilt: a*a=1 bzw. b*b=1. Z.z.: ab=ba
>  Aus aa=1 und bb=1folgt [mm]a=a^{-1}[/mm] bzw. [mm]b=b^{-1}.[/mm]
>  Aus
>
> aa=1 und bb=1
>
> folgt
>
> aa=bb.
>
> Durch Umformen ergibt sich zunächst
>
> [mm]aab^{-1}=b[/mm]
>
> und anschließend
>
> [mm]ab^{-1}=ba^{-1}.[/mm]

Das geht nicht: Auf der linken Seite hast du von Links mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] multipliziert, auf der rechten Seite aber von Rechts!  Damit folgt diese Gleichung nicht aus der vorherigen! Aus der vorherigen bekommst du erstmal nur $a [mm] b^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1} [/mm] b$, aber damit kommst du nicht weiter... Sorry.

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 7: to whom it may concern
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:16 Mo 11.09.2006
Autor: statler

Hallo Teilnehmer,

ich sehe hier noch eine nicht freigegebene Frage, die ich folglich auch nicht beantworten kann.

Gruß
Dieter


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "VK 29: Oberstufenmathematik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]