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Abschnitt 1.1, Aufgabe 8: Aufgabe
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:59 Fr 01/09/2006
Author: felixf

Aufgabe
Sei $G$ eine Gruppe und seien [mm] $H_i \subseteq [/mm] G$, $i = 1, 2$ Untergruppen. Zeige, dass folgende beiden Aussagen äquivalent sind:
(i) [mm] $H_1 \cup H_2$ [/mm] ist eine Untergruppe von $G$;
(ii) [mm] $H_1 \subseteq H_2$ [/mm] oder [mm] $H_2 \subseteq H_1$. [/mm]


        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 8: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:23 Di 05/09/2006
Author: Bastiane

Hallo ihr alle! ;-)

Noch eine Lösung von mir - kann das so stimmen?

Damit [mm] $H_1\cup H_2$ [/mm] eine Untergruppe von G ist, muss folgendes gelten:
(a) [mm] $e\in H_1\cup H_2$ [/mm]
(b) [mm] $a,b\in H_1\cup H_2 \Rightarrow ab\in H_1\cup H_2$ [/mm]
(c) [mm] $a\in H_1\cup H_2 \Rightarrow a^{-1}\in H_1\cup H_2$ [/mm]

Beweis:
zu (a): Da [mm] H_1 [/mm] und [mm] H_2 [/mm] Untergruppen von G sind, also [mm] e\in H_1 [/mm] und [mm] e\in H_2 [/mm] gilt, gilt auch [mm] e\in H_1\cup H_2 [/mm] (unabhängig davon, ob [mm] H_1 \subseteq H_2 [/mm] oder [mm] H_2 \subseteq H_1). [/mm] Damit gilt (a) auf jeden Fall immer. :-)
zu (b): Für [mm] $a\in H_1\cup H_2$ [/mm] gilt entweder [mm] $a\in H_1$ [/mm] oder [mm] $a\in H_2$. [/mm] Da [mm] H_1 [/mm] und [mm] H_2 [/mm] Untergruppen sind, gilt also auch [mm] $a^{-1}\in H_1$ [/mm] bzw. [mm] $a^{-1}\in H_2$ [/mm] und somit auch auf jeden Fall [mm] $a^{-1}\in H_1\cup H_2$. [/mm]

zu (c): Betrachten wir nun [mm] $a,b\in H_1\cup H_2$. [/mm] Hierfür gibt es folgende Möglichkeiten, wie a und b "liegen können":
1.) [mm] $a\in H_1, b\in H_1$ [/mm]
2.) [mm] $a\in H_1, b\in H_2$ [/mm]
3.) [mm] $a\in H_2, b\in H_1$ [/mm]
4.) [mm] $a\in H_2, b\in H_2$ [/mm]
In den Fällen 1.) und 4.) gilt [mm] $ab\in H_1$ [/mm] bzw. [mm] $ab\in H_2$ [/mm] und somit gilt immer: [mm] $ab\in H_1\cup H_2$. [/mm] :-)
Es bleibt also nur zu zeigen: [mm] $(a,b\in H_1\cup H_2 \Rightarrow ab\in H_1\cup H_2) \gdw (H_1 \subseteq H_2 \mbox{ oder } H_2 \subseteq H_1)$ [/mm] für die Fälle 2.) und 3.).
Beweis zu [mm] "\Leftarrow": [/mm] Ich betrachte Fall 2.) und [mm] $H_1\subseteq H_2$ [/mm] - Fall 3.) und die jeweiligen Fälle [mm] $H_2\subseteq H_1$ [/mm] gehen analog.
Gilt also [mm] $H_1\subseteq H_2$ [/mm] so gilt [mm] $a\in H_2$. [/mm] Demnach haben wir wieder Fall 4.) für den wir schon alles gezeigt haben.
Beweis zu [mm] "\Rightarrow": [/mm] ist das trivial? Oder wie kann man das zeigen?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 8: Korrektur
Status: (Answer) finished Status 
Date: 02:43 Sa 09/09/2006
Author: statler

Hallo Christiane!

> Noch eine Lösung von mir - kann das so stimmen?
>  
> Damit [mm]H_1\cup H_2[/mm] eine Untergruppe von G ist, muss
> folgendes gelten:
>  (a) [mm]e\in H_1\cup H_2[/mm]
> (b) [mm]a,b\in H_1\cup H_2 \Rightarrow ab\in H_1\cup H_2[/mm]
> (c) [mm]a\in H_1\cup H_2 \Rightarrow a^{-1}\in H_1\cup H_2[/mm]
>
> Beweis:
>  zu (a): Da [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] Untergruppen von G sind, also [mm]e\in H_1[/mm]
> und [mm]e\in H_2[/mm] gilt, gilt auch [mm]e\in H_1\cup H_2[/mm] (unabhängig
> davon, ob [mm]H_1 \subseteq H_2[/mm] oder [mm]H_2 \subseteq H_1).[/mm] Damit
> gilt (a) auf jeden Fall immer. :-)
>  zu (b): Für [mm]a\in H_1\cup H_2[/mm] gilt entweder [mm]a\in H_1[/mm] oder

Sprachkritik: Das mathematische 'oder' ist nicht das umgangssprachliche 'entweder - oder', sondern bedeutet 'dies oder das oder beides'.

> [mm]a\in H_2[/mm]. Da [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] Untergruppen sind, gilt also auch
> [mm]a^{-1}\in H_1[/mm] bzw. [mm]a^{-1}\in H_2[/mm] und somit auch auf jeden
> Fall [mm]a^{-1}\in H_1\cup H_2[/mm].

Obiges bezieht sich wohl auf c). Und das folgende dann auf b).

> zu (c): Betrachten wir nun [mm]a,b\in H_1\cup H_2[/mm]. Hierfür gibt
> es folgende Möglichkeiten, wie a und b "liegen können":
>  1.) [mm]a\in H_1, b\in H_1[/mm]
>  2.) [mm]a\in H_1, b\in H_2[/mm]
>  3.) [mm]a\in H_2, b\in H_1[/mm]
>  
> 4.) [mm]a\in H_2, b\in H_2[/mm]
>  In den Fällen 1.) und 4.) gilt
> [mm]ab\in H_1[/mm] bzw. [mm]ab\in H_2[/mm] und somit gilt immer: [mm]ab\in H_1\cup H_2[/mm].
> :-)
>  Es bleibt also nur zu zeigen: [mm](a,b\in H_1\cup H_2 \Rightarrow ab\in H_1\cup H_2) \gdw (H_1 \subseteq H_2 \mbox{ oder } H_2 \subseteq H_1)[/mm]
> für die Fälle 2.) und 3.).
>  Beweis zu [mm]"\Leftarrow":[/mm] Ich betrachte Fall 2.) und
> [mm]H_1\subseteq H_2[/mm] - Fall 3.) und die jeweiligen Fälle
> [mm]H_2\subseteq H_1[/mm] gehen analog.
>  Gilt also [mm]H_1\subseteq H_2[/mm] so gilt [mm]a\in H_2[/mm]. Demnach haben
> wir wieder Fall 4.) für den wir schon alles gezeigt haben.
>  Beweis zu [mm]"\Rightarrow":[/mm] ist das trivial? Oder wie kann
> man das zeigen?

Nee, auf unserem jetztigen Niveau ist das nicht trivial, sondern gerade der Knackpunkt. Wir können das z. B. zeigen, indem wir zeigen, daß aus der Verneinung der rechten Seiten die Verneinung der linken Seite folgt.

(nach (A [mm] \Rightarrow [/mm] B) [mm] \gdw (\neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A))

Was ist die Verneinung der rechten Seite?
[mm] \neg (H_{1} \subseteq H_{2}) \wedge \neg (H_{2} \subseteq H_{1}) [/mm]
Aber dann gibt es [mm] h_{1} \in H_{1} [/mm] \ [mm] H_{2} [/mm] und [mm] h_{2} \in H_{2} [/mm] \ [mm] H_{1}. [/mm]
Jetzt betrachte mal [mm] h_{1}h_{2} [/mm] und überleg dir, daß dieses Produkt weder in [mm] H_{1} [/mm] noch in [mm] H_{2} [/mm] liegen kann.

Die andere Richtung würde ich so abhandeln:
Sei oBdA [mm] H_{1} \subseteq H_{2}. [/mm] Dann ist die Vereinigung [mm] H_{1} \cup H_{2} [/mm] = [mm] H_{2} [/mm] und damit nach Voraussetzung eine Untergruppe.

Schönes Wochenende schon mal
Dieter


Bezug
        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 8: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 13:54 Fr 08/09/2006
Author: phrygian

Hallo zusammen,

hat jemand einen Tip zu dieser Aufgabe?

Gruß, phrygian

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 8: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:27 Fr 08/09/2006
Author: felixf

Hallo phrygian,

> hat jemand einen Tip zu dieser Aufgabe?

schau dir doch mal einen Vektorraum (von Dimension [mm] $\ge [/mm] 2$) an. Diese Aufgabe gilt analog fuer Vektorraeume und Untervektorraeume.

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 8: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 01:00 Sa 09/09/2006
Author: phrygian

Hoi Felix,

das habe ich gemacht; zwar habe ich dadurch gesehen, daß die Abgeschlossenheit von [mm] H_1\cup H_2 [/mm] nicht gewährleistet ist, wenn weder [mm] H_1\subseteq H_2 [/mm] noch [mm] H_2\subseteq H_1 [/mm] gilt, aber beweisen konnte ich es nicht. Ich versuche es noch einmal. Danke für den Hinweis!

Gruß, phrygian

Bezug
        
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 8: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 02:28 Sa 09/09/2006
Author: phrygian

Beweis:

[mm] $(i)\Rightarrow [/mm] (ii)$:
Seien [mm] H_1\cup H_2 [/mm] eine Untergruppe von $G$ und [mm] $H_1\not \subseteq H_2$. [/mm] Zu zeigen ist, daß dann [mm] H_2\subseteq H_1 [/mm] ist.
Sei dazu [mm] $h\in H_2$ [/mm] beliebig. Da [mm] $H_1\not \subseteq H_2$, [/mm] gibt es ein [mm] $g\in H_1$ [/mm] mit [mm] $g\not\in H_2$. [/mm]
Da [mm] $h,g\in H_1\cup H_2$ [/mm] sind und [mm] $H_1\cup H_2$ [/mm] eine Untergruppe von $G$ ist, ist [mm] $hg\in H_1\cup H_2$. [/mm]
$hg$ kann nicht Element von [mm] $H_2$ [/mm] sein, denn sonst wäre [mm] $g=\underbrace{h^{-1}}_{\in H_2} \underbrace{hg}_{\in H_2} \in H_2$, [/mm] was im Widerspruch zur Voraussetzung steht.
Also ist [mm] $hg\in H_1$. [/mm]
Daraus folgt, daß [mm] $h=\underbrace{hg}_{\in H_1} \underbrace{g^{-1}}_{\in H_1} \in H_1$ [/mm] ist, was zu zeigen war.


[mm] $(ii)\Rightarrow [/mm] (i)$:
Wenn [mm] $H_1\subseteq H_2$ [/mm] ist, dann ist [mm] $H_1\cup H_2=H_2$. [/mm] Und da [mm] $H_2$ [/mm] nach Voraussetzung eine Untergruppe von $G$ ist, gilt dies auch für [mm] $H_1\cup H_2$. [/mm]
Wenn [mm] $H_2\subseteq H_1$ [/mm] ist, folgt analog, daß [mm] $H_1\cup H_2$ [/mm] wieder eine Untergruppe von $G$ ist.

[mm] \Box [/mm]

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.1, Aufgabe 8: Korrektur
Status: (Answer) finished Status 
Date: 02:50 Sa 09/09/2006
Author: statler

Hallo!

> Wenn [mm]H_2\subseteq H_1[/mm] ist, folgt analog, daß [mm]H_1\cup H_2[/mm]
> wieder eine Untergruppe von [mm]G[/mm] ist.
>  [mm]\Box[/mm]  

Für solche Fälle liebe ich ja den Einsatz der Floskel 'oBdA', der allerdings wohlüberlegt geschehen sollte.

Schön, kann als Musterlösung genommen werden.

Gruß und schönes Wochenende
Dieter



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