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Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Aufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Date: 11:59 Fr 08/09/2006
Author: statler

Aufgabe
Sei [mm] $\phi: [/mm] G [mm] \to [/mm] G'$ ein Gruppenhomomorphismus. Man zeige:

(i) Ist $H [mm] \subset [/mm] G$ Untergruppe, so ist [mm] $\phi(H)$ [/mm] Untergruppe in $G'$. Die entsprechende Aussage für Normalteiler ist allgemein nur dann richtig, wenn [mm] $\phi$ [/mm] surjektiv ist.

(ii) Ist $H' [mm] \subset [/mm] G'$ Untergruppe (bzw. Normalteiler) in $G'$, so gilt dasselbe für [mm] $\phi^{-1}(H') \subset [/mm] G$.



        
Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Frage (offen)
Status: (Question) answered Status 
Date: 23:36 So 10/09/2006
Author: phrygian

Zur Aufgabe 4.(i)

1. Behauptung:
Ist [mm] $H\subset [/mm] G$ Untergruppe, so ist [mm] $\phi(H)$ [/mm] Untergruppe in $G'$.

Beweis:
Sei [mm] $H\subset [/mm] G$ Untergruppe.

(i) Existenz des Neutralen:
Seien $e$ und $e'$ die neutralen Elemente von $G$ bzw. $G'$. Nach Definition eines Gruppenhomomorphismus gilt [mm] $e'=\phi(e)\in \phi(H)$.
[/mm]
(ii) Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation:
Seien $g',h' [mm] \in \phi(H)$ [/mm] beliebig. Dann existieren [mm] $g,h\in [/mm] H$ mit [mm] $\phi(g)=g'$ [/mm] und [mm] $\phi(h)=h'$. [/mm] Es folgt

[mm] [center]$g'h'=\phi(g) \phi(h)=\phi(gh) \in \phi(H)$.[/center] [/mm]


(iii) Abeschlossenheit bzgl. der Inversenbildung:
Sei [mm] $g'\in \phi(H)$ [/mm] beliebig. Dann gibt es ein [mm] $g\in [/mm] H$ mit [mm] $\phi(g)=g'$. [/mm] Da [mm] $\phi(a^{-1})=(\phi(a))^{-1}$ [/mm] für alle [mm] $a\in [/mm] G$ gilt (Bemerkung 6 auf Seite 13), folgt

[mm] [center]$g'^{-1}=(\phi(g))^{-1}=\phi(g^{-1})\in \phi(H)$.[/center] [/mm]

[mm] \Box [/mm]

2. Behauptung:
Wenn $H$ Normalteiler in $G$ und [mm] \phi [/mm] surjektiv ist, dann ist [mm] \phi(H) [/mm] Normalteiler in $G'$.

Beweis:
Sei $H$ Normalteiler in $G$ und [mm] \phi [/mm] surjektiv. Insbesondere ist $H$ Untergruppe, und nach der 1. Behauptung ist dann [mm] \phi(H) [/mm] auch Untergruppe in $G'$.
Gemäß der Bemerkung nach der Definition 4 auf S. 17 reicht es zu zeigen, daß [mm] $g'\phi(H)g'^{-1}\subset \phi(H)$ [/mm] für alle [mm] $g'\in [/mm] G'$ gilt.
Seien also [mm] $g'\in [/mm] G'$ und [mm] $x\in g'\phi(H)g'^{-1}$ [/mm] beliebig. Dann gibt es ein [mm] $h\in [/mm] H$ mit [mm] $x=g'\phi(h)g'^{-1}$. [/mm] Und da [mm] \phi [/mm] surjektiv ist, gibt es ein [mm] $g\in [/mm] G$ mit [mm] $\phi(g)=g'$. [/mm] Es folgt mit der Homomorphie von [mm] \phi [/mm]

[mm] [center]$x=\phi(g) \phi(h) \phi(g)^{-1}=\phi(\underbrace{ghg^{-1}}_{\in gHg^{-1}\subset H})\in \phi(H)$.[/center] [/mm]
[mm] \Box [/mm]


Zur Aufgabe 4.(ii)

1. Behauptung:
Wenn [mm] $H'\subset [/mm] G'$ Untergruppe in $G'$ ist, dann ist [mm] $\phi^{-1}(H')\subset [/mm] G$ Untergruppe in $G$.

Beweis:
Sei [mm] $H'\subset [/mm] G'$ Untergruppe in $G'$.

(i) Existenz des Neutralen:
Da $H'$ Untergruppe in $G'$ ist, ist [mm] $e'\in [/mm] H'$. Und da [mm] \phi [/mm] ein Homomorphismus ist, gilt [mm] $\phi(e)=e'$. [/mm] Daher ist [mm] $e\in \phi^{-1}(H')$. [/mm]


(ii) Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation:
Seien [mm] $a,b\in \phi^{-1}(H')$ [/mm] beliebig. Dann sind [mm] $\phi(a), \phi(b)\in [/mm] H'$, und da [mm] \phi [/mm] ein Homomorphismus und $H'$ eine Untergruppe ist, folgt

[mm] [center]$\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\in [/mm] H'$.[/center]

Daher ist [mm] $ab\in \phi^{-1}(H')$. [/mm]


(iii) Abeschlossenheit bzgl. der Inversenbildung:
Sei [mm] $a\in \phi^{-1}(H')$ [/mm] beliebig. Dann ist [mm] $\phi(a)\in [/mm] H'$. Es folgt

[mm] [center]$\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}\in [/mm] H'$[/center]

und daraus [mm] $a^{-1}\in \phi^{-1}(H')$. [/mm]

[mm] \Box [/mm]

2. Behauptung:
Ist [mm] $H'\subset [/mm] G'$ Normalteiler in $G'$, so ist [mm] $\phi^{-1}(H')\subset [/mm] G$ Normalteiler in $G$.

Beweis:
Sei [mm] $H'\subset [/mm] G'$ Normalteiler in $G'$. Insbesondere ist $H'$ Untergruppe in $G'$. Also ist nach der 1. Behauptung [mm] $\phi^{-1}(H')\subset [/mm] G$ Untergruppe in $G$. Noch zu zeigen ist, daß [mm] $g\phi^{-1}(H')g^{-1}\subset \phi^{-1}(H')$ [/mm] für alle [mm] $g\in [/mm] G$ gilt.
Seien dazu [mm] $g\in [/mm] G$ und [mm] $x\in g\phi^{-1}(H')g^{-1}$ [/mm] beliebig. Dann gibt es [mm] $h\in [/mm] G$ mit [mm] $\phi(h)\in [/mm] H'$ und [mm] $x=ghg^{-1}$. [/mm] Es folgt

[mm] [center]$\phi(x)=\phi(ghg^{-1})=\underbrace{\phi(g)\phi(h)\phi(g)^{-1}}_{\in \phi(g)H'\phi(g)^{-1}\subset H'}\in [/mm] H'$[/center]

und daher [mm] $x\in \phi^{-1}(H')$. [/mm]

[mm] \Box [/mm]


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Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 05:45 Sa 16/09/2006
Author: felixf

Hallo phrygian,

ist alles richtig! [ok] Super! :)

LG Felix



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Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Zweite Behauptung in (i)
Status: (Question) answered Status 
Date: 13:16 Mo 11/09/2006
Author: phrygian

Hallo!

> Die entsprechende Aussage für Normalteiler ist allgemein nur dann richtig, wenn [mm] \phi [/mm] surjektiv ist.

Ist das so zu verstehen: "Wenn $H$ Normalteiler in $G$ und [mm] $\phi(H)$ [/mm] Normalteiler in $G'$ sind, dann ist [mm] \phi [/mm] surjektiv"?

Danke im Voraus!

Gruß, phrygian


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Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: andersrum
Status: (Answer) finished Status 
Date: 13:30 Mo 11/09/2006
Author: statler

Hi!

> > Die entsprechende Aussage für Normalteiler ist allgemein
> nur dann richtig, wenn [mm]\phi[/mm] surjektiv ist.
>
> Ist das so zu verstehen: "Wenn [mm]H[/mm] Normalteiler in [mm]G[/mm] und
> [mm]\phi(H)[/mm] Normalteiler in [mm]G'[/mm] sind, dann ist [mm]\phi[/mm] surjektiv"?

Nee, vllt findest du selbst ein Gegenbsp. (mit G' abelsch).

"Wenn [mm]H[/mm] Normalteiler in [mm]G[/mm] und [mm] \phi [/mm] surjektiv,
dann ist [mm]\phi(H)[/mm] Normalteiler in [mm]G'[/mm]."
ist richtig.

Gruß
Dieter


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Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:14 Mo 11/09/2006
Author: phrygian

Hallo Dieter!

Zuerst mal danke für Deine Antwort!
Ich bin jetzt aber doch etwas verwirrt. Es steht ja "... nur dann richtig, wenn [mm] \phi [/mm] surjektiv ist", und ich dachte, eine Aussage der Form "P nur dann, wenn Q" sei äquivalent zu "wenn P, dann Q"!? [verwirrt]

Gruß, phrygian

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Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 19:43 Mo 11/09/2006
Author: felixf

Hallo phrygian!

> Zuerst mal danke für Deine Antwort!
>  Ich bin jetzt aber doch etwas verwirrt. Es steht ja "...
> nur dann richtig, wenn [mm]\phi[/mm] surjektiv ist", und ich dachte,
> eine Aussage der Form "P nur dann, wenn Q" sei äquivalent
> zu "wenn P, dann Q"!? [verwirrt]

Ja, das ist schon so. Allerdings steht in der Aufgabenstellung noch das Woertchen `allgemein'.  Du hast hier ja einmal die Aussage `Ist [mm] $\phi [/mm] : G to G'$ ein Gruppenhomomorphismus und $U [mm] \subseteq [/mm] G$ ein Normalteiler, dann ist [mm] $\phi(U) \subseteq [/mm] G'$ ein Normalteiler'. Diese stimmt im Allgemeinen nicht, da man $G$, $G'$, [mm] $\phi$ [/mm] und $U$ so waehlen kann, dass [mm] $\phi(U)$ [/mm] kein Normalteiler in $G'$ ist.
Wenn man die Aussage allerdings so veraendert, dass [mm] $\phi$ [/mm] surjektiv sein muss, dann stimmt sie, egal wie man $G$, $G'$ und $U$ waehlt.

LG Felix


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Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:46 Mi 13/09/2006
Author: Docy

Hallo,
hab (i) nicht so ganz verstanden! Muss ich hier zeigen, dass wenn H [mm] \subset [/mm] G Untergruppe ist, dass ich dann ein [mm] \phi(H) [/mm] (das surjektiv sein soll) finden kann, so dass H auf eine Untergruppe von G' abbgebildet wird?

Gruß
Docy

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Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Vorklärung
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:03 Mi 13/09/2006
Author: statler

Hallo Docy!

> hab (i) nicht so ganz verstanden! Muss ich hier zeigen,
> dass wenn H [mm]\subset[/mm] G Untergruppe ist, dass ich dann ein
> [mm]\phi(H)[/mm] (das surjektiv sein soll) finden kann, so dass H
> auf eine Untergruppe von G' abbgebildet wird?

H, G, G' und [mm] \phi [/mm] sind gegeben und damit fest. [mm] \phi(H) [/mm] ist zunächst nur eine Untermenge von G', nämlich
[mm] \phi(H) [/mm] := [mm] \{\phi(h) | h \in H \} [/mm]
Zeigen sollst du, daß das Gebilde sogar eine Untergruppe (von G') ist.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

PS: [mm] \phi(H) [/mm] kann nicht surjektiv sein, weil es eine Menge ist; surjektiv zu sein ist eine Eigenschaft von Abbildungen. Wenn man ein [mm] \phi [/mm] suchen sollte, was noch irgendwie von H abhinge, dann schriebe man wahrscheinlich [mm] \phi_{H}. [/mm] Laß dich nicht bange machen :-)!


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Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 11:13 Mi 13/09/2006
Author: Docy

Hallo Dieter,
ok, hab's verstanden, danke!
Kann das einfach nicht als Mitteilung markieren...

Gruß
Docy

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Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:12 Do 14/09/2006
Author: Docy

Hallo,
hier ist ein Versuch:

Sei [mm] \phi: [/mm] G [mm] \to [/mm] G' ein Gruppenhomomorphismus. Man zeige:

(i) Ist H [mm] \subset [/mm] G Untergruppe, so ist [mm] \phi(H) [/mm] Untergruppe in G'. Die entsprechende Aussage für Normalteiler ist allgemein nur dann richtig, wenn [mm] \phi [/mm] surjektiv ist.

(ii) Ist H' [mm] \subset [/mm] G' Untergruppe (bzw. Normalteiler) in G', so gilt dasselbe für [mm] \phi^{-1}(H') \subset [/mm] G.

Beweis:
Zu (i):
Man muss für [mm] \phi(H) [/mm] die Gruppeneigenschaften nachweisen.
(1) Assoziativgesetz:
Für a, b, c [mm] \in [/mm] G und wegen [mm] \phi(a\circ b)=\phi(a)\circ\phi(b) [/mm] (weil Homomorphismus) gilt:
[mm] \phi(a)\circ(\phi(b)\circ\phi(c))=\phi(a)\circ(\phi(b\circ c)=\phi(a\circ b\circ c)=\phi(a\circ b)\circ\phi(c) [/mm]
[mm] =(\phi(a)\circ\phi(b))\circ\phi(c). [/mm]
(2) Neutrales Element:
wegen Homomorphismus gilt:
[mm] \phi(e)=e' [/mm]
(3) Inverses Element:
Zu jedem [mm] \phi(a) [/mm] existiert ein inverses Element, nämlich [mm] \phi(a^{-1}), [/mm] denn [mm] \phi(a)\circ\phi(a^{-1})=\phi(a)\circ\phi(a)^{-1}= [/mm] e,
das folgt aus der Eigenschaft des Homomorphismus.

Somit ist [mm] \phi(H) [/mm] eine Untergruppe in G'.

Beweis zu (i) 2. Behauptung:
Z.z.: Wenn H [mm] \in [/mm] G Normalteiler ist und [mm] \phi [/mm] surjektiv ist, dann ist [mm] \phi(H) [/mm] Normalteiler in G'.
Z.z: [mm] g'\phi(H)=\phi(H)g' [/mm] mit g' [mm] \in [/mm] G.
Da [mm] \phi [/mm] surjektiv ist, folgt mit a [mm] \in [/mm] G [mm] \phi(a)=g' [/mm] und damit wird aus [mm] g'\phi(H)=\phi(a)\phi(H)=\phi(aH) [/mm]
nun gilt aber aH=Ha, da H Normalteiler ist und somit:
[mm] \phi(aH)=\phi(Ha)=\phi(H)\phi(a) [/mm]
und somit ist auch [mm] \phi(H) [/mm] Normalteiler.

Beweis (ii):
Z.z: Ist H' [mm] \subset [/mm] G' Untergruppe, so ist [mm] \phi^{-1}(H') \subset [/mm] G ebenfalls eine Untergruppe.
(1)   Assoziativgesetz:
Für a, b, c [mm] \in [/mm] G' und wegen [mm] \phi^{-1}(a)=\phi(a^{-1}) [/mm] gilt:
[mm] \phi(a^{-1})\circ(\phi(b^{-1})\circ\phi(c^{-1}))=\phi(a^{-1})\circ(\phi(b^{-1}\circ c^{-1})=\phi(a^{-1}\circ b^{-1}\circ c^{-1})=\phi(a^{-1}\circ b^{-1})\circ\phi(c^{-1}) [/mm]
[mm] =(\phi(a^{-1})\circ\phi(b^{-1}))\circ\phi(c^{-1}). [/mm]
(2)   Neutrales Element:
[mm] \phi^{-1}(e')=e. [/mm]
(3)   Inverses Element:
zu jedem [mm] \phi^{-1}(a) [/mm] existiert das inverse Element [mm] \phi^{-1}(a^{-1}), [/mm] denn es gilt [mm] \phi^{-1}(a)\phi^{-1}(a^{-1})=\phi^{-1}(a)\phi^{-1}^{-1}(a)=\phi^{-1}(a)\phi(a)=e. [/mm]

Somit ist [mm] \phi^{-1}(H') [/mm] Untergruppe von G.

Beweis zu 2. Behauptung (ii):
Hier weiß ich leider nicht weiter, denn ich glaube, man darf die Eigenschaft, dass [mm] \phi [/mm] surjektiv ist aus (i) nicht verwenden.

Gruß
Docy

Bezug
                
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Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 06:02 Sa 16/09/2006
Author: felixf

Hallo Docy!

> Hallo,
> hier ist ein Versuch:
>  
> Sei [mm]\phi:[/mm] G [mm]\to[/mm] G' ein Gruppenhomomorphismus. Man zeige:
>  
> (i) Ist H [mm]\subset[/mm] G Untergruppe, so ist [mm]\phi(H)[/mm] Untergruppe
> in G'. Die entsprechende Aussage für Normalteiler ist
> allgemein nur dann richtig, wenn [mm]\phi[/mm] surjektiv ist.
>  
> (ii) Ist H' [mm]\subset[/mm] G' Untergruppe (bzw. Normalteiler) in
> G', so gilt dasselbe für [mm]\phi^{-1}(H') \subset[/mm] G.
>  
> Beweis:
>  Zu (i):
>  Man muss für [mm]\phi(H)[/mm] die Gruppeneigenschaften nachweisen.

Es reicht, das Untergruppenkriterium zu verwenden, also zu zeigen, dass [mm] $\phi(H) \neq \emptyset$ [/mm] ist und dass $g [mm] h^{-1} \in \phi(H)$ [/mm] ist fuer alle $g, h [mm] \in \phi(H)$. [/mm]

>  (1) Assoziativgesetz:
>  Für a, b, c [mm]\in[/mm] G und wegen [mm]\phi(a\circ b)=\phi(a)\circ\phi(b)[/mm]
> (weil Homomorphismus) gilt:
>  [mm]\phi(a)\circ(\phi(b)\circ\phi(c))=\phi(a)\circ(\phi(b\circ c)=\phi(a\circ b\circ c)=\phi(a\circ b)\circ\phi(c)[/mm]

Es gilt auch schon, da $G'$ auch eine Gruppe ist.

> [mm]=(\phi(a)\circ\phi(b))\circ\phi(c).[/mm]
>  (2) Neutrales Element:
>  wegen Homomorphismus gilt:
>  [mm]\phi(e)=e'[/mm]

...und $e$ liegt in $H$, womit [mm] $\phi(e) [/mm] = e'$ in [mm] $\phi(H)$ [/mm] liegt.

>  (3) Inverses Element:
>  Zu jedem [mm]\phi(a)[/mm] existiert ein inverses Element, nämlich
> [mm]\phi(a^{-1}),[/mm] denn
> [mm]\phi(a)\circ\phi(a^{-1})=\phi(a)\circ\phi(a)^{-1}=[/mm] e,

$e'$ meinst du

>  das folgt aus der Eigenschaft des Homomorphismus.
>  
> Somit ist [mm]\phi(H)[/mm] eine Untergruppe in G'.
>
> Beweis zu (i) 2. Behauptung:
>  Z.z.: Wenn H [mm]\in[/mm] G Normalteiler ist und [mm]\phi[/mm] surjektiv
> ist, dann ist [mm]\phi(H)[/mm] Normalteiler in G'.
>  Z.z: [mm]g'\phi(H)=\phi(H)g'[/mm] mit g' [mm]\in[/mm] G.
>  Da [mm]\phi[/mm] surjektiv ist, folgt mit a [mm]\in[/mm] G [mm]\phi(a)=g'[/mm] und
> damit wird aus [mm]g'\phi(H)=\phi(a)\phi(H)=\phi(aH)[/mm]
>  nun gilt aber aH=Ha, da H Normalteiler ist und somit:
>  [mm]\phi(aH)=\phi(Ha)=\phi(H)\phi(a)[/mm]
>  und somit ist auch [mm]\phi(H)[/mm] Normalteiler.

Genau.

> Beweis (ii):
>  Z.z: Ist H' [mm]\subset[/mm] G' Untergruppe, so ist [mm]\phi^{-1}(H') \subset[/mm]
> G ebenfalls eine Untergruppe.
>  (1)   Assoziativgesetz:
>  Für a, b, c [mm]\in[/mm] G' und wegen [mm]\phi^{-1}(a)=\phi(a^{-1})[/mm]

Vorsicht! [mm] $\phi^{-1}(a)$ [/mm] ist nicht [mm] $\phi(a)^{-1} [/mm] = [mm] \phi(a^{-1})$!!! [/mm] Die Definition von [mm] $\phi^{-1}(A)$ [/mm] ist [mm] $\{ g \in G \mid \phi(g) \in A \}$, [/mm] wobei $A$ eine beliebige Teilmenge von $G'$ ist! Das ganze ist also eine Menge von Elementen aus $G$, die sowohl leer sein kann als auch beliebig gross! (Das ganze nennt sich dann das Urbild von $A$ unter [mm] $\phi$.) [/mm]

> gilt:
>  
> [mm]\phi(a^{-1})\circ(\phi(b^{-1})\circ\phi(c^{-1}))=\phi(a^{-1})\circ(\phi(b^{-1}\circ c^{-1})=\phi(a^{-1}\circ b^{-1}\circ c^{-1})=\phi(a^{-1}\circ b^{-1})\circ\phi(c^{-1})[/mm]

Das gilt auch ohne das vorherige. Nur hat es nichts mit der Aufgabenstellung zu tun und gilt allein schon deshalb, weil $G'$ eine Gruppe ist.

> [mm]=(\phi(a^{-1})\circ\phi(b^{-1}))\circ\phi(c^{-1}).[/mm]
>  (2)   Neutrales Element:
>  [mm]\phi^{-1}(e')=e.[/mm]

Das ist im Allgemeinen falsch. [mm] $\phi^{-1}(e')$ [/mm] ist gerade der Kern von [mm] $\phi$. [/mm]

>  (3)   Inverses Element:
>  zu jedem [mm]\phi^{-1}(a)[/mm] existiert das inverse Element
> [mm]\phi^{-1}(a^{-1}),[/mm] denn es gilt
> [mm]\phi^{-1}(a)\phi^{-1}(a^{-1})=\phi^{-1}(a)\phi^{-1}^{-1}(a)=\phi^{-1}(a)\phi(a)=e.[/mm]

...dito...

Schau dir mal das Posting von phrygian an, wie er das bei (ii) macht. Da du das Urbild wohl noch nicht oft (falls ueberhaupt) gesehen hast siehst du da, wie man damit umgeht und wie man damit diese Aufgabe loest. Versuch das mal nachzuvollziehen, und wenn du etwas nicht verstehst, frag an der entsprechenden Stelle nach!

LG Felix


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Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:13 Do 14/09/2006
Author: Docy

Hallo,
soll ich bei dieser Aufgabe bei (i) die Gruppeneigenschaften von [mm] \phi(H) [/mm] nachweisen?

Gruß
Docy

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Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 14:40 Do 14/09/2006
Author: phrygian

Hallo Docy!

>  soll ich bei dieser Aufgabe bei (i) die
> Gruppeneigenschaften von [mm]\phi(H)[/mm] nachweisen?

Ja, wobei in (i) zwei Aussagen gemacht werden:
1. Behauptung:
Ist  [mm] $H\subset [/mm] G$ Untergruppe, so ist [mm] $\phi(H)$ [/mm] Untergruppe in $G'$.

2. Behauptung: Siehe Antwort von Dieter auf meine Frage.


Für den Beweis der ersten Behauptung reicht es, die Gruppeneigenschaften von [mm]\phi(H)[/mm] nachzuweisen.
Ist Dir klar, was Du für den Beweis der zweiten Behauptung zeigen musst?

Gruß, phrygian

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Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:52 Do 14/09/2006
Author: Docy

Hallo phrygian,
die 2. Behauptung lautet dann: Wenn H Normalteiler von G ist und [mm] \phi [/mm] surjektiv ist, dann ist [mm] \phi(H) [/mm] Normalteiler von G'. So wie Dieter das halt formuliert hat, oder?.

Gruß
Docy

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Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 14:56 Do 14/09/2006
Author: felixf

Hallo Docy!

>  die 2. Behauptung lautet dann: Wenn H Normalteiler von G
> ist und [mm]\phi[/mm] surjektiv ist, dann ist [mm]\phi(H)[/mm] Normalteiler
> von G'. So wie Dieter das halt formuliert hat, oder?.

Genau.

Wobei ein Gegenbeispiel auch nicht schaden wuerde, wo [mm] $\phi$ [/mm] nicht surjektiv ist und [mm] $\phi(H)$ [/mm] kein Normalteiler ist, obwohl $H$ ein Normalteiler ist. (Hinweis: Inklusionsabbildungen koennen hier sehr hilfreich sein :-) )

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 21:28 Do 14/09/2006
Author: Docy

Hallo,
ich komme bei der 2. Behauptung von (i) irgendwie auf keinen Ansatz. Muss jetzt gelten, dass [mm] g'\phi(H)=\phi(H)g' [/mm] mit g' [mm] \in [/mm] G'? Wie hilft mir hier die Surjektivität von [mm] \phi [/mm] weiter? Ich hoffe, ich nerve euch nicht mit meinen unendlichen Fragen.

Gruß
Docy

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Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:00 Do 14/09/2006
Author: felixf

Hallo Docy!

>  ich komme bei der 2. Behauptung von (i) irgendwie auf
> keinen Ansatz. Muss jetzt gelten, dass [mm]g'\phi(H)=\phi(H)g'[/mm]
> mit g' [mm]\in[/mm] G'?

Genau.

> Wie hilft mir hier die Surjektivität von [mm]\phi[/mm] weiter?

Mit der Surjektivitaet kannst du $g'$ durch ein Element aus $G$ ausdruecken.

> Ich hoffe, ich nerve euch nicht mit meinen
> unendlichen Fragen.

Nein, das tust du nicht!

LG Felix


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Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:32 Do 14/09/2006
Author: Bastiane

Hallo zusammen!

> Sei [mm]\phi:[/mm] G [mm]\to[/mm] G' ein Gruppenhomomorphismus. Man zeige:
>  
> (i) Ist H [mm]\subset[/mm] G Untergruppe, so ist [mm]\phi(H)[/mm] Untergruppe
> in G'. Die entsprechende Aussage für Normalteiler ist
> allgemein nur dann richtig, wenn [mm]\phi[/mm] surjektiv ist.
>  
> (ii) Ist H' [mm]\subset[/mm] G' Untergruppe (bzw. Normalteiler) in
> G', so gilt dasselbe für [mm]\phi^{-1}(H') \subset[/mm] G.

Beweis von (i):
1. Teil:
zz: [mm] $H\subset [/mm] G$ Untergruppe [mm] \Rightarrow \varphi(H) [/mm] ist Untergruppe von G'

für Gruppenhomomorphismen gilt:
1. [mm] \varphi(e)=e' [/mm]
2. [mm] \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) [/mm]
3. [mm] \varphi(a^{-1})=(\varphi(a))^{-1} [/mm]

für Untergruppen gilt:
a) [mm] $e\in [/mm] H$
b) $a,b [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow ab\in [/mm] H$
c) [mm] $a\in [/mm] H [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] H$

zu zeigen ist also:
[mm] $\varphi(e)\in [/mm] G'$, dies gilt, da [mm] \varphi(e)=e' [/mm] wegen 1. und [mm] $e'\in [/mm] G'$
[mm] $\varphi(a), \varphi(b)\in [/mm] G' [mm] \Rightarrow \varphi(a)\varphi(b)\in [/mm] G'$, dies gilt, da [mm] \varphi(a)\varphi(b)=\varphi(ab) [/mm] wegen 2. und [mm] $\varphi(ab)\in [/mm] G'$
[mm] $\varphi(a)\in [/mm] G' [mm] \Rightarrow (\varphi(a))^{-1}\in [/mm] G'$, dies gilt auch:
sei [mm] $\varphi(a)\in [/mm] G'$, wegen 3. gilt: [mm] $(\varphi(a))^{-1}=\varphi(a^{-1})\in [/mm] G'$
da [mm] \varphi(a)\varphi(a^{-1})=\varphi(aa^{-1})=\varphi(e)=e' [/mm] gilt, ist [mm] \varphi(a^{-1}) [/mm] das Inverse zu [mm] \varphi(a) [/mm]

2. Teil:
zz: Ist [mm] $H\subset [/mm] G$ Normalteiler, so ist [mm] \varphi(H) [/mm] Normalteiler in G' nur dann, wenn [mm] \varphi [/mm] surjektiv ist.

Da nach oben Gezeigtem [mm] \varphi(H) [/mm] auf jeden Fall eine Untergruppe von G' ist, bleibt zu zeigen: [mm] g'\varphi(H)=\varphi(H)g' [/mm] für alle [mm] $g'\in [/mm] G'$, falls [mm] \varphi [/mm] surjektiv ist.

Beweis:

Annahme: [mm] \varphi [/mm] ist surjektiv
zz: [mm] $g'\varphi(H)=\varphi(H)g'\; \forall g'\in [/mm] G$
da [mm] \varphi [/mm] surjektiv gilt: [mm] $\exists g\in [/mm] G$ mit [mm] \varphi(g)=g' [/mm]

also gilt:
[mm] g'\varphi(H)=\varphi(g)\varphi(H)=\varphi(gH)=\varphi(Hg)=\varphi(H)\varphi(g)=\varphi(H)g' [/mm]

wobei das mittlere Gleichheitszeichen gilt, weil H Normalteiler von G ist und die beiden direkt daneben, weil [mm] \varphi [/mm] ein Homomorphismus ist.

Zu (ii) habe ich jetzt keine Lust mehr [verlegen] [kopfschuettel]. Aber geht der erste Teil davon nicht exakt genauso wie bei (i)?

Ach ja, und sorry, falls ich hier irgendwie Blödsinn geschrieben habe. Irgendwie war heute gestern nicht so mein Tag und jetzt ist es eh schon viel zu spät, als dass ich was Gescheites auf die Reihe bekomme... Hab's mir jetzt leider nicht mehr alles durchgelesen. [sorry]

Viele Grüße
Bastiane
[cap]




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Abschnitt 1.2, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 05:54 Sa 16/09/2006
Author: felixf

Hallo Bastiane!

> > Sei [mm]\phi:[/mm] G [mm]\to[/mm] G' ein Gruppenhomomorphismus. Man zeige:
>  >  
> > (i) Ist H [mm]\subset[/mm] G Untergruppe, so ist [mm]\phi(H)[/mm] Untergruppe
> > in G'. Die entsprechende Aussage für Normalteiler ist
> > allgemein nur dann richtig, wenn [mm]\phi[/mm] surjektiv ist.
>  >  
> > (ii) Ist H' [mm]\subset[/mm] G' Untergruppe (bzw. Normalteiler) in
> > G', so gilt dasselbe für [mm]\phi^{-1}(H') \subset[/mm] G.
>  
> Beweis von (i):
>  1. Teil:
>  zz: [mm]H\subset G[/mm] Untergruppe [mm]\Rightarrow \varphi(H)[/mm] ist
> Untergruppe von G'
>  
> für Gruppenhomomorphismen gilt:
>  1. [mm]\varphi(e)=e'[/mm]
>  2. [mm]\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)[/mm]
>  3. [mm]\varphi(a^{-1})=(\varphi(a))^{-1}[/mm]
>  
> für Untergruppen gilt:
>  a) [mm]e\in H[/mm]
>  b) [mm]a,b \in H \Rightarrow ab\in H[/mm]
>  c) [mm]a\in H \Rightarrow a^{-1} \in H[/mm]
>  
> zu zeigen ist also:
>  [mm]\varphi(e)\in G'[/mm], dies gilt, da [mm]\varphi(e)=e'[/mm] wegen 1. und
> [mm]e'\in G'[/mm]

Nein, das ist nicht zu zeigen, dass gilt immer, da [mm] $\varphi$ [/mm] nach $G'$ abbildet. Du musst zeigen, dass $e' [mm] \in \varphi(H)$ [/mm] liegt.

>  [mm]\varphi(a), \varphi(b)\in G' \Rightarrow \varphi(a)\varphi(b)\in G'[/mm],

Du musst [mm] $\varphi(a), \varphi(b) \in \varphi(H) \Rightarrow \varphi(a) \varphi(b) \in \varphi(H)$ [/mm] zeigen.

> dies gilt, da [mm]\varphi(a)\varphi(b)=\varphi(ab)[/mm] wegen 2. und
> [mm]\varphi(ab)\in G'[/mm]

[mm] ...$\in \varphi(H)$. [/mm]

>  [mm]\varphi(a)\in G' \Rightarrow (\varphi(a))^{-1}\in G'[/mm],

Auch hier ebenso [mm] $\varphi(H)$ [/mm] anstatt $G'$.

> dies gilt auch:
>  sei [mm]\varphi(a)\in G'[/mm], wegen 3. gilt:
> [mm](\varphi(a))^{-1}=\varphi(a^{-1})\in G'[/mm]
>  da
> [mm]\varphi(a)\varphi(a^{-1})=\varphi(aa^{-1})=\varphi(e)=e'[/mm]
> gilt, ist [mm]\varphi(a^{-1})[/mm] das Inverse zu [mm]\varphi(a)[/mm]

...dito...

> 2. Teil:
>  zz: Ist [mm]H\subset G[/mm] Normalteiler, so ist [mm]\varphi(H)[/mm]
> Normalteiler in G' nur dann, wenn [mm]\varphi[/mm] surjektiv ist.

Das stimmt so nicht: Es kann auch vorkommen, dass [mm] $\varphi(H)$ [/mm] NT in $G'$ ist, wenn [mm] $\varphi$ [/mm] surjektiv ist! Wenn du da noch ein `im Allgemeinen' oder so einfuegst, stimmt es.

> Da nach oben Gezeigtem [mm]\varphi(H)[/mm] auf jeden Fall eine
> Untergruppe von G' ist, bleibt zu zeigen:
> [mm]g'\varphi(H)=\varphi(H)g'[/mm] für alle [mm]g'\in G'[/mm], falls [mm]\varphi[/mm]
> surjektiv ist.

Und ein Gegenbeispiel, wenn [mm] $\varphi$ [/mm] nicht surjektiv ist.

> Beweis:
>  
> Annahme: [mm]\varphi[/mm] ist surjektiv
>  zz: [mm]g'\varphi(H)=\varphi(H)g'\; \forall g'\in G[/mm]
>  da
> [mm]\varphi[/mm] surjektiv gilt: [mm]\exists g\in G[/mm] mit [mm]\varphi(g)=g'[/mm]
>  
> also gilt:
>  
> [mm]g'\varphi(H)=\varphi(g)\varphi(H)=\varphi(gH)=\varphi(Hg)=\varphi(H)\varphi(g)=\varphi(H)g'[/mm]
>  
> wobei das mittlere Gleichheitszeichen gilt, weil H
> Normalteiler von G ist und die beiden direkt daneben, weil
> [mm]\varphi[/mm] ein Homomorphismus ist.

Genau.

> Zu (ii) habe ich jetzt keine Lust mehr [verlegen]
> [kopfschuettel]. Aber geht der erste Teil davon nicht exakt
> genauso wie bei (i)?

Nicht ganz, aber sehr aehnlich. Du musst halt mit dem Urbild arbeiten und nicht mit dem Bild...

> Ach ja, und sorry, falls ich hier irgendwie Blödsinn
> geschrieben habe. Irgendwie war heute gestern nicht so mein
> Tag und jetzt ist es eh schon viel zu spät, als dass ich
> was Gescheites auf die Reihe bekomme... Hab's mir jetzt
> leider nicht mehr alles durchgelesen. [sorry]

Ok :-)

LG Felix


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