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Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Aufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 11:59 Fr 08.09.2006
Autor: statler

Aufgabe
Eine Gruppe $G$ enthalte einen Normalteiler $N$ mit der folgenden Maximalitätseigenschaft: Ist $H [mm] \subset [/mm] G$ Untergruppe mit $H [mm] \supset [/mm] N$, so gilt bereits $H = G$ oder $H = N$. Man zeige, daß je zwei Untergruppen [mm] $H_{1}, H_{2} \subset [/mm] G$ mit [mm] $H_{1} \not= [/mm] {1} [mm] \not= H_{2}$ [/mm] und [mm] $H_{1} \cap [/mm] N = [mm] H_{2} \cap [/mm] N = [mm] \{1\}$ [/mm] zueinander isomorph sind.


        
Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Aufgbenverständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Do 14.09.2006
Autor: Bastiane

Hallo zusammen!

Muss gleich weg, habe aber schnell noch eine Frage zu dieser Aufgabe:

> Eine Gruppe G enthalte einen Normalteiler N mit der
> folgenden Maximalitätseigenschaft: Ist [mm]H \subset G[/mm]
> Untergruppe mit [mm]H \supset N[/mm], so gilt bereits [mm]H = G[/mm] oder [mm]H = N[/mm].
> Man zeige, daß je zwei Untergruppen [mm]H_{1}, H_{2} \subset G[/mm]
> mit [mm]H_{1} \not= {1} \not= H_{2}[/mm] und [mm]H_{1} \cap N = H_{2} \cap N = \{1\}[/mm]
> zueinander isomorph sind.

Die Untergruppen [mm] H_1 [/mm] und [mm] H_2 [/mm] - enthalten die N oder muss ich das als einen Fall einer Fallunterscheidung nehmen?

Liege ich hier mit einer Fallunterscheidung überhaupt richtig oder muss ich ganz anders vorgehen?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


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Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 Do 14.09.2006
Autor: felixf

Hallo Bastiane!

> > Eine Gruppe G enthalte einen Normalteiler N mit der
> > folgenden Maximalitätseigenschaft: Ist [mm]H \subset G[/mm]
> > Untergruppe mit [mm]H \supset N[/mm], so gilt bereits [mm]H = G[/mm] oder [mm]H = N[/mm].
> > Man zeige, daß je zwei Untergruppen [mm]H_{1}, H_{2} \subset G[/mm]
> > mit [mm]H_{1} \not= {1} \not= H_{2}[/mm] und [mm]H_{1} \cap N = H_{2} \cap N = \{1\}[/mm]
> > zueinander isomorph sind.
>
> Die Untergruppen [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] - enthalten die N oder muss

Nein, sie enthalten $N$ nicht, es sei denn, $N$ besteht nur aus einem Element! (Beachte [mm]H_{1} \cap N = H_{2} \cap N = \{1\}[/mm]!)

> Liege ich hier mit einer Fallunterscheidung überhaupt
> richtig oder muss ich ganz anders vorgehen?

Ich glaube eine Fallunterscheidung bringt dir nichts. Du brauchst ein paar Saetze aus dem Abschnitt (Stichwort: Isomorphiesaetze).

LG Felix


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Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Tipp?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:26 Do 14.09.2006
Autor: Bastiane

Hallo zusammen!

Könnte mir hier jemand noch einen Tipp geben? Hab' jetzt mal mit dem ersten Isomorphiesatz angefangen, weiß allerdings nicht, wie ich hier die Maximalitätseigenschaft irgendwie unterbringen könnte...
Und muss ich überhaupt keine Fallunterscheidung machen? Muss ich auch nicht den Fall [mm] N=\{1\} [/mm] betrachten?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


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Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Achtung, kleiner Lösungstipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:02 Fr 15.09.2006
Autor: Frusciante

Hallo Bastiane,

> Könnte mir hier jemand noch einen Tipp geben? Hab' jetzt
> mal mit dem ersten Isomorphiesatz angefangen, weiß
> allerdings nicht, wie ich hier die Maximalitätseigenschaft
> irgendwie unterbringen könnte...

Schau' Dir doch mal an, welche Gruppe $H_iN$ eigentlich ist. Dafür brauchst Du die Maximalitätseigenschaft von N.

>  Und muss ich überhaupt keine Fallunterscheidung machen?
> Muss ich auch nicht den Fall [mm]N=\{1\}[/mm] betrachten?

Ich meine nicht, aber bisher habe ich ja auch bei jeder Aufgabe etwas übersehen :-)

Mein Beweis müsste auch für diesen Fall durchgehen, jedenfalls musste ich nicht auf weitere Elemente von N zurückgreifen.

Aber separat untersucht wird die Behauptung ja ganz einfach:

Falls [mm] $N=\{1\}$, [/mm] dann bleibt für [mm] $H_i$ [/mm] ja nur noch die Möglichkeit [mm] $H_i=G$, [/mm] und dann ist natürlich [mm] $H_1\cong H_2$. [/mm]

Gruß, Frusciante

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Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:23 Fr 15.09.2006
Autor: Bastiane

Hallo Frusciante!

> > Könnte mir hier jemand noch einen Tipp geben? Hab' jetzt
> > mal mit dem ersten Isomorphiesatz angefangen, weiß
> > allerdings nicht, wie ich hier die Maximalitätseigenschaft
> > irgendwie unterbringen könnte...
>  
> Schau' Dir doch mal an, welche Gruppe [mm]H_iN[/mm] eigentlich ist.
> Dafür brauchst Du die Maximalitätseigenschaft von N.

Danke, aber ich versteh's leider immer noch nicht! Woher weiß ich denn, was [mm] $H_i [/mm] N$ ist? Und was hat das mit der Maximalitätseigenschaft zu tun? Und muss ich da nicht wenigstens als Fallunterscheidung machen: Falls [mm] $H\supset [/mm] N$ ...? Ich versteh's irgendwie nicht. [wein]

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


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Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:53 Fr 15.09.2006
Autor: felixf

Hallo Bastiane!

> > > Könnte mir hier jemand noch einen Tipp geben? Hab' jetzt
> > > mal mit dem ersten Isomorphiesatz angefangen, weiß
> > > allerdings nicht, wie ich hier die Maximalitätseigenschaft
> > > irgendwie unterbringen könnte...
>  >  
> > Schau' Dir doch mal an, welche Gruppe [mm]H_iN[/mm] eigentlich ist.
> > Dafür brauchst Du die Maximalitätseigenschaft von N.
>  
> Danke, aber ich versteh's leider immer noch nicht! Woher
> weiß ich denn, was [mm]H_i N[/mm] ist?

Also [mm] $H_i [/mm] N$ enthaelt ja sowohl [mm] $H_i$ [/mm] als auch $N$.

> Und was hat das mit der Maximalitätseigenschaft zu tun?

Nach der bleiben nur noch zwei Moeglichkeiten :-) Und die eine davon kannst du ausschliessen, indem du andere Voraussetzungen benutzt.

Kommst du jetzt weiter?

LG Felix


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Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:53 Fr 15.09.2006
Autor: Frusciante


> Eine Gruppe G enthalte einen Normalteiler N mit der
> folgenden Maximalitätseigenschaft: Ist [mm]H \subset G[/mm]
> Untergruppe mit [mm]H \supset N[/mm], so gilt bereits [mm]H = G[/mm] oder [mm]H = N[/mm].
> Man zeige, daß je zwei Untergruppen [mm]H_{1}, H_{2} \subset G[/mm]
> mit [mm]H_{1} \not= {1} \not= H_{2}[/mm] und [mm]H_{1} \cap N = H_{2} \cap N = \{1\}[/mm]
> zueinander isomorph sind.

Ich versuche es mal:

Mit dem 1. Isomorphiesatz folgen ohne weiteres die beiden Isomorphien

[mm] $H_1/H_1\cap N\cong [/mm] H_1N/N$

[mm] $H_2/H_2\cap N\cong [/mm] H_2N/N$

Nun ist aber [mm] $H_1\cap N=H_2\cap N=\{1\}$, [/mm] und [mm] $H_1\cong H_1/\{1\}$, $H_2\cong H_2/\{1\}$. [/mm]

Außerdem sind $H_1N$ und $H_2N$ nach dem 1. Isomorphiesatz Untergruppen von G, mit Normalteiler N:

[mm] $\Rightarrow\ N\subset [/mm] H_1N\ [mm] \mbox{ bzw. }\ N\subset [/mm] H_2N$

Mit der über N vorausgesetzten Maximalitätseigenschaft folgt:

[mm] $\Rightarrow\ [/mm] (H_1N=G [mm] \mbox{ oder } [/mm] H_1N=N) [mm] \mbox{ und } [/mm] (H_2N=G [mm] \mbox{ oder } [/mm] H_2N=N)$

Die Möglichkeiten $H_iN=N$ sind aber nicht gegeben, denn dafür müsste [mm] $H_i\subset [/mm] N$ gelten, was wegen [mm] $H_i\cap N=\{1\}$ [/mm] ein Widerspruch zu [mm] $H_i\not\{1\}$ [/mm] wäre. Also:

[mm] $\Rightarrow\ [/mm] H_1N=G [mm] \mbox{ und } [/mm] H_2N=G$ (4)

Nun haben wir diese schöne Isomorphiekette:

[mm] $H_1\stackrel{(1)}{\cong} H_1/\{1\}\stackrel{(2)}{\cong} H_1/H_1\cap N\stackrel{(3)}{\cong} H_1N/N\stackrel{(4)}{\cong} G/N\stackrel{(4)}{\cong} H_2N/N\stackrel{(3)}{\cong} H_2/H_2\cap N\stackrel{(2)}{\cong} H_2/\{1\}\stackrel{(1)}{\cong} H_2$ [/mm]

(1): Trivial :-)
(2): Voraussetzung [mm] $H_i\cap N=\{1\}$ [/mm]
(3): 1. Isomorphiesatz
(4): Meine Vorüberlegungen oben.

Ich hoffe, das geht so durch.

Vielen Dank für's Nachsehen, Frusciante

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Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:14 So 17.09.2006
Autor: felixf

Hallo Frusciante!

> [...]

[ok]

:-)

LG Felix



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Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Achtung: Lösungshinweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:34 Fr 15.09.2006
Autor: phrygian

Hallo zusammen!

Wenn ich zeigen könnte, daß $H_1N=N=H_2N$ ist, wäre ich mit meinem Beweis fertig. Bin ich auf dem richtigen Weg? Und wie zeige ich diese Gleichungen (Tip)?

Danke!

Gruß, phrygian

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Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:21 Fr 15.09.2006
Autor: Bastiane

Hallo phrygian!

> Wenn ich zeigen könnte, daß [mm]H_1N=N=H_2N[/mm] ist, wäre ich mit
> meinem Beweis fertig. Bin ich auf dem richtigen Weg? Und
> wie zeige ich diese Gleichungen (Tip)?

Also ich habe jetzt eher gezeigt, dass $H_1N=G=H_2N$ gilt, und dann noch ein bisschen Isomorphiesatz (wobei ich da dummerweise anfangs auch einen dummen Fehler gemacht hatte...).
Hast du denn "unsere" anderen Lösungstipps mal gelesen? Damit müsste es doch eigentlich klappen. :-)

Viele Spaß noch
Bastiane
[cap]


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Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:30 Fr 15.09.2006
Autor: phrygian

Hallo Bastiane!

> Hallo phrygian!
>  
> Also ich habe jetzt eher gezeigt, dass [mm]H_1N=G=H_2N[/mm] gilt,

das habe ich auch schon versucht. Vielleicht bin ich jetzt einfach zu müde, habe die ganze Nacht nicht geschlafen...

Danke für Deinen Hinweis!

Gruß, phrygian

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Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: last minute hinweis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:56 Fr 15.09.2006
Autor: Frusciante

Hallo phrygian!

> > Also ich habe jetzt eher gezeigt, dass [mm]H_1N=G=H_2N[/mm] gilt,
>
> das habe ich auch schon versucht. Vielleicht bin ich jetzt
> einfach zu müde, habe die ganze Nacht nicht geschlafen...

Wegen der Maximalitätseigenschaft bleiben ja nur die Möglichkeiten $H_iN=N$ oder $H_iN=G$.
Aber $H_iN=N$ ist wegen [mm] $H_i\not=\{1\}$ [/mm] und [mm] $H_i\cap N=\{1\}$ [/mm] nicht möglich...

Vielleicht kannst Du ja jetzt ruhig schlafen :-)

Gruß Frusciante

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Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:02 Fr 15.09.2006
Autor: phrygian

Hallo Frusciante!

Alles klar. Ich schreibe jetzt den Beweis noch fertig und gehe dann endlich schlafen.
Danke!

Gruß, phrygian

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Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:01 Fr 15.09.2006
Autor: Bastiane

Hallo zusammen!

Das hier ging mal wieder nur mit vieeel Hilfe. Und ich bin mir nicht mal sicher, ob es jetzt so stimmt...

> Eine Gruppe G enthalte einen Normalteiler N mit der
> folgenden Maximalitätseigenschaft: Ist [mm]H \subset G[/mm]
> Untergruppe mit [mm]H \supset N[/mm], so gilt bereits [mm]H = G[/mm] oder [mm]H = N[/mm].
> Man zeige, daß je zwei Untergruppen [mm]H_{1}, H_{2} \subset G[/mm]
> mit [mm]H_{1} \not= {1} \not= H_{2}[/mm] und [mm]H_{1} \cap N = H_{2} \cap N = \{1\}[/mm]
> zueinander isomorph sind.

Beweis:
Seien [mm] H_1 [/mm] und [mm] H_2 [/mm] Untergruppen von G mit [mm] $H_{1} \not= \{1\} \not= H_{2}$ [/mm] und [mm] $H_{1} \cap [/mm] N = [mm] H_{2} \cap [/mm] N = [mm] \{1\}$ [/mm] und N ein Normalteiler von G. Nach dem ersten Isomporphiesatz folgt dann:

$H_1N$ ist Untergruppe von G mit Normalteiler N und $H_2N$ ist Untergruppe von G mit Normalteiler N. Das heißt, $H_iN$ sind Untergruppen, die den Normalteiler N enthalten und somit können nach der Maximalitätseigenschaft [mm] H_i [/mm] nur entweder =G oder =N sein. Da aber [mm] $H_i\cap N=\{1\}$ [/mm] gilt, folgt [mm] $H_iN\not= [/mm] N$ und somit bleibt nur noch die Möglichkeit, dass sowohl [mm] $H_1=G$ [/mm] als auch [mm] $H_2=G$ [/mm] sind. Und G ist wohl zu sich selbst isomorph, falls man so etwas so sagt. ;-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


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Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Ergänzung/Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:18 Fr 15.09.2006
Autor: Bastiane

Hallo nochmal!

Hab' gerade Frusciantes Lösung gesehen und festgestellt, dass ich ja doch noch einen Fehler gemacht habe. Mal sehen, ob ich es jetzt so wenigstens "aus dem Gedächtnis" aufschreiben kann.

Also, es folgt natürlich nicht, wie ich irrtümlicherweise geschrieben hatte, dass [mm] H_i=G [/mm] sind, sondern dass $H_iN=G$ sind.
Außerdem folgt aus dem ersten Isomorphiesatz auch noch, dass

[mm] $H_1/H_1\cap [/mm] N [mm] \to [/mm] H_1N/N$ und [mm] $H_2/H_2\cap [/mm] N [mm] \to [/mm] H_2N/N$ Isomorphismen sind. Da ja nun $H_iN=G$ gilt, gilt also:

[mm] $H_1/H_1\cap [/mm] N [mm] \to [/mm] G/N$ und [mm] $H_2/H_2\cap [/mm] N [mm] \to [/mm] G/N$ sind Isomorphismen

Damit kann ich doch einen Isomorphismus zwischen [mm] $H_1/H_1\cap [/mm] N$ und [mm] $H_2/H_2\cap [/mm] N$ angeben.

Ok, musste nochmal nachlesen, aber dann kann ich ja noch einen Isomorphismus zwischen [mm] H_i [/mm] und [mm] $H_i/\{1\}$ [/mm] angeben, und [mm] $H_i/\{1\}$ [/mm] ist ja [mm] $=H_i/H_i\cap [/mm] N$ da [mm] $H_i\cap N=\{1\}$ [/mm]

Und damit dürfte ich doch dann fertig sein, oder?

Ist zwar nicht ganz so elegant aufgeschrieben, aber ich wollte es ja jetzt auch nicht abschreiben...

Bezug
                        
Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:11 So 17.09.2006
Autor: felixf

Hallo Bastiane!

> Hab' gerade Frusciantes Lösung gesehen und festgestellt,
> dass ich ja doch noch einen Fehler gemacht habe. Mal sehen,
> ob ich es jetzt so wenigstens "aus dem Gedächtnis"
> aufschreiben kann.
>  
> Also, es folgt natürlich nicht, wie ich irrtümlicherweise
> geschrieben hatte, dass [mm]H_i=G[/mm] sind, sondern dass [mm]H_iN=G[/mm]
> sind.

Exakt :)

> Außerdem folgt aus dem ersten Isomorphiesatz auch noch,
> dass
>  
> [mm]H_1/H_1\cap N \to H_1N/N[/mm] und [mm]H_2/H_2\cap N \to H_2N/N[/mm]
> Isomorphismen sind. Da ja nun [mm]H_iN=G[/mm] gilt, gilt also:
>  
> [mm]H_1/H_1\cap N \to G/N[/mm] und [mm]H_2/H_2\cap N \to G/N[/mm] sind
> Isomorphismen
>  
> Damit kann ich doch einen Isomorphismus zwischen
> [mm]H_1/H_1\cap N[/mm] und [mm]H_2/H_2\cap N[/mm] angeben.
>  
> Ok, musste nochmal nachlesen, aber dann kann ich ja noch
> einen Isomorphismus zwischen [mm]H_i[/mm] und [mm]H_i/\{1\}[/mm] angeben, und
> [mm]H_i/\{1\}[/mm] ist ja [mm]=H_i/H_i\cap N[/mm] da [mm]H_i\cap N=\{1\}[/mm]
>  
> Und damit dürfte ich doch dann fertig sein, oder?

Ja, bist du.

> Ist zwar nicht ganz so elegant aufgeschrieben, aber ich
> wollte es ja jetzt auch nicht abschreiben...

:-)

LG Felix



Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:10 So 17.09.2006
Autor: felixf

Hallo Bastiane!

> Das hier ging mal wieder nur mit vieeel Hilfe. Und ich bin
> mir nicht mal sicher, ob es jetzt so stimmt...
>  
> > Eine Gruppe G enthalte einen Normalteiler N mit der
> > folgenden Maximalitätseigenschaft: Ist [mm]H \subset G[/mm]
> > Untergruppe mit [mm]H \supset N[/mm], so gilt bereits [mm]H = G[/mm] oder [mm]H = N[/mm].
> > Man zeige, daß je zwei Untergruppen [mm]H_{1}, H_{2} \subset G[/mm]
> > mit [mm]H_{1} \not= {1} \not= H_{2}[/mm] und [mm]H_{1} \cap N = H_{2} \cap N = \{1\}[/mm]
> > zueinander isomorph sind.
>
> Beweis:
>  Seien [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] Untergruppen von G mit [mm]H_{1} \not= \{1\} \not= H_{2}[/mm]
> und [mm]H_{1} \cap N = H_{2} \cap N = \{1\}[/mm] und N ein
> Normalteiler von G. Nach dem ersten Isomporphiesatz folgt
> dann:
>  
> [mm]H_1N[/mm] ist Untergruppe von G mit Normalteiler N und [mm]H_2N[/mm] ist
> Untergruppe von G mit Normalteiler N. Das heißt, [mm]H_iN[/mm] sind
> Untergruppen, die den Normalteiler N enthalten und somit
> können nach der Maximalitätseigenschaft [mm]H_i[/mm] nur entweder =G
> oder =N sein. Da aber [mm]H_i\cap N=\{1\}[/mm] gilt, folgt [mm]H_iN\not= N[/mm]
> und somit bleibt nur noch die Möglichkeit, dass sowohl

Bis hierhin ist alles perfekt.

> [mm]H_1=G[/mm] als auch [mm]H_2=G[/mm] sind. Und G ist wohl zu sich selbst

Nein, das folgt daraus nicht (und es gilt auch nur dann, wenn $N = [mm] \{ 1 \}$ [/mm] ist). Du weisst nur, dass [mm] $H_1 [/mm] N = G = [mm] H_2 [/mm] N$ ist.

LG Felix


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Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Fr 15.09.2006
Autor: just-math

Hallo, versuche ich mal dieses Aufgabe:

Sind ja [mm] H_1\slash [/mm] N und [mm] H_2\slash [/mm] N Untergruppen von [mm] G\slash [/mm] N.

Sind auch [mm] H_i\slash [/mm] N isomorph zu [mm] H_i: [/mm]

denn  wenn ich hN mit [mm] h\in H_i [/mm] auf  h abbilde, ist es wohldefiniert, denn falls hN=h'N mit [mm] h,h'\in H_i, [/mm] so gilt es [mm] hh'^{-1}\in [/mm] N, ausserdem [mm] \in [/mm] H, muss es also gleich 1 sein, also muss es h=h' sein. Ist es dann auch bijektiv.

Nun was ist Eigenschaft von [mm] G\slash [/mm] N ? Sei U Untergruppe davon und nicht einelementig.
Dann ist Urbild von U unter kanonisches Projektion [mm] \pi\colon G\to G\slash [/mm] N
eine Untergruppe U' von G, was N enthält. Dann ist es wegen [mm] U'\supseteq [/mm] N, [mm] U\neq [/mm] N gleich G.

Also Untergruppen von [mm] G\slash [/mm] N sind nur zwei: einelementiges und ganzes Gruppe. Dann [mm] H_i\slash N=G\slash [/mm] N [mm] \: (i=1,2)\:\:\: (\star). [/mm]
Nun Behauptung: Jedes Klasse gN enthält genau ein [mm] h_1\in H_1 [/mm] und ein [mm] h_2\in H_2. [/mm]

Das mindestens je eines solches sein muss, ist es klar wegen [mm] (\star). [/mm] Angenommen ist es [mm] h,h'\in gN\cap H_1, [/mm] dann ist das Widerspruch zu [mm] H_i [/mm] isomorph zu [mm] H_i\slash [/mm] N.

Nun bilden wir zu jedes [mm] gN\in G\slash [/mm] N das [mm] h\in gN\cap H_1 [/mm] auf das [mm] h'\in gN\cap H_2 [/mm] ab. Das ist bijektiv.
Ist es auch Isomorphismus, wegen Normalteilereigenschaft von N.

Damit ist Aufgabe gezeigt.

Liebes Gruss

just-math



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Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:08 So 17.09.2006
Autor: felixf

Hallo just-math!

> Hallo, versuche ich mal dieses Aufgabe:
>  
> Sind ja [mm]H_1\slash[/mm] N und [mm]H_2\slash[/mm] N Untergruppen von
> [mm]G\slash[/mm] N.

Vorsicht! [mm] $H_1/N$ [/mm] und [mm] $H_2/N$ [/mm] kannst du nur bilden, wenn $N [mm] \subseteq H_1$ [/mm] und $N [mm] \subseteq H_2$ [/mm] gilt! Aber das gilt hier nicht (es sei denn $N = [mm] \{ 1 \}$). [/mm]

> Sind auch [mm]H_i\slash[/mm] N isomorph zu [mm]H_i:[/mm]
>  
> denn  wenn ich hN mit [mm]h\in H_i[/mm] auf  h abbilde, ist es
> wohldefiniert, denn falls hN=h'N mit [mm]h,h'\in H_i,[/mm] so gilt
> es [mm]hh'^{-1}\in[/mm] N, ausserdem [mm]\in[/mm] H, muss es also gleich 1
> sein, also muss es h=h' sein. Ist es dann auch bijektiv.

Der Beweis funktioniert nur, wenn $N = [mm] \{ 1 \}$ [/mm] ist.

LG Felix


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Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 Fr 15.09.2006
Autor: phrygian

Beweis:

Seien [mm] $H_1, H_2\subset [/mm] G$ zwei Untergruppen mit den geforderten Eigenschaften.
Mit dem ersten Isomorphiesatz folgt, daß für $i=1,2$ folgendes gilt:
1. $H_iN$  ist Untergruppe von $G$ mit Normalteiler $N$;

2. [mm] $H_i\cap [/mm] N$ ist Normalteiler von [mm] $H_i$;
[/mm]
3. Der kanonische Homomorphismus

[mm] [center]$H_i/H_i\cap N\to [/mm] H_iN/N$[/center]
ist ein Isomorphismus.

Da nach Voraussetzung [mm] $H_i\cap N=\{1\}$ [/mm] und [mm] $H_i/\{1\}=H_i$ [/mm] ist, ist also die Abbildung

[mm] [center]$H_i\to [/mm] H_iN/N$[/center]
ein Isomorphismus.

Aus der Maximalitätseigenschaft von $N$ folgt für die Untergruppe [mm] $H_1$ [/mm] von $G$, daß $H_1N=G$ oder $H_1N=N$ gilt, da [mm] $H_1N\supset [/mm] N$ ist.
$H_1N=N$ kann jedoch nicht stimmen, denn: Aus [mm] $H_1\not= \{1\}$ [/mm] und [mm] $H_1\cap N=\{1\}$ [/mm] folgt, daß es ein [mm] $h\in H_1$ [/mm] gibt mit [mm] $h\not= [/mm] 1$ und [mm] $h\notin [/mm] N$; aber [mm] $h=he\in [/mm] H_1N$, so daß [mm] $H_1N\not \subset [/mm] N$.
Also ist $H_1N=G$.
Analog folgt, daß $H_2N=G$.
Somit sind [mm] $H_1$ [/mm] und [mm] $H_2$ [/mm] isomorph zu $G/N$; da die Komposition zweier Isomorphismen wieder ein Isomorphismus ist, folgt die Behauptung.

[mm] \Box [/mm]

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:56 So 17.09.2006
Autor: felixf

Hallo phrygian!

> Seien [mm]H_1, H_2\subset G[/mm] zwei Untergruppen mit den
> geforderten Eigenschaften.
>  Mit dem ersten Isomorphiesatz folgt, daß für [mm]i=1,2[/mm]
> folgendes gilt:
>  1. [mm]H_iN[/mm]  ist Untergruppe von [mm]G[/mm] mit Normalteiler [mm]N[/mm];
>  2. [mm]H_i\cap N[/mm] ist Normalteiler von [mm]H_i[/mm];
>  3. Der kanonische Homomorphismus
>  
> [mm]H_i/H_i\cap N\to H_iN/N[/mm]
>  ist ein Isomorphismus.
>  Da nach Voraussetzung [mm]H_i\cap N=\{1\}[/mm] und [mm]H_i/\{1\}=H_i[/mm]

Also [mm] $H_i/\{1\}$ [/mm] ist nicht gleich [mm] $H_i$, [/mm] aber die Dinger sind kanonisch isomorph und werden deshalb meistens identifiziert :)

> ist, ist also die Abbildung
>  
> [mm]H_i\to H_iN/N[/mm]
>  ein Isomorphismus.
>  
> Aus der Maximalitätseigenschaft von [mm]N[/mm] folgt für die
> Untergruppe [mm]H_1[/mm] von [mm]G[/mm], daß [mm]H_1N=G[/mm] oder [mm]H_1N=N[/mm] gilt, da
> [mm]H_1N\supset N[/mm] ist.
>  [mm]H_1N=N[/mm] kann jedoch nicht stimmen, denn: Aus [mm]H_1\not= \{1\}[/mm]
> und [mm]H_1\cap N=\{1\}[/mm] folgt, daß es ein [mm]h\in H_1[/mm] gibt mit
> [mm]h\not= 1[/mm] und [mm]h\notin N[/mm]; aber [mm]h=he\in H_1N[/mm], so daß [mm]H_1N\not \subset N[/mm].
>  
> Also ist [mm]H_1N=G[/mm].
>  Analog folgt, daß [mm]H_2N=G[/mm].
>  Somit sind [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] isomorph zu [mm]G/N[/mm]; da die Komposition
> zweier Isomorphismen wieder ein Isomorphismus ist, folgt
> die Behauptung.

Genau [ok]

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 So 17.09.2006
Autor: phrygian

Hallo Felix

> Also [mm]H_i/\{1\}[/mm] ist nicht gleich [mm]H_i[/mm], aber die Dinger sind
> kanonisch isomorph und werden deshalb meistens
> identifiziert :)

Ja klar, hab' da ein bisschen geschlampt. Wenn z.B. [mm] $H_1=\{h_1, h_2, h_3\}$ [/mm] ist, dann ist [mm] $H_1/\{1\}=\{\{h_1\}, \{h_2\}, \{h_3\}\}$, [/mm] oder?

Gruß, phrygian

Bezug
                                
Bezug
Abschnitt 1.2, Aufgabe 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 So 17.09.2006
Autor: felixf

Hallo phrygian!

> > Also [mm]H_i/\{1\}[/mm] ist nicht gleich [mm]H_i[/mm], aber die Dinger sind
> > kanonisch isomorph und werden deshalb meistens
> > identifiziert :)
>  
> Ja klar, hab' da ein bisschen geschlampt. Wenn z.B.
> [mm]H_1=\{h_1, h_2, h_3\}[/mm] ist, dann ist [mm]H_1/\{1\}=\{\{h_1\}, \{h_2\}, \{h_3\}\}[/mm],
> oder?

Genau, und das ist ja nicht [mm] $H_1$ [/mm] :-)

Diese Identifikation macht man aber sehr oft, also dass man da einfach = hinschreibt. Nur halt am Anfang muss man sich mal klarmachen, dass das eigentlich zwei verschiedene Mengen sind...

LG Felix


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