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Forum "Kapitel 1: Elementare Gruppentheorie" - Abschnitt 1.3, Aufgabe 5
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Abschnitt 1.3, Aufgabe 5: Aufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 11:59 Fr 15.09.2006
Autor: statler

Aufgabe
Es sei [mm] $\phi: \IZ^{n} \to \IZ^{n}$ [/mm] ein Endomorphismus des $n$-fachen Produkts der additiven Gruppe [mm] $\IZ$. [/mm] Man zeige: [mm] $\phi$ [/mm] ist genau dann injektiv, wenn [mm] $\IZ^{n}/im(\phi)$ [/mm] eine endliche Gruppe ist.

(Hinweis: Man betrachte den zu [mm] \phi [/mm] gehörigen Homomorphismus von [mm]\IQ[/mm]-Vektorräumen [mm]\phi_{\IQ}: \IQ^{n} \to \IQ^{n}[/mm].)



        
Bezug
Abschnitt 1.3, Aufgabe 5: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:19 Mi 20.09.2006
Autor: just-math

Hola Dieter und Felix und alle die andere,

probiere ich mal das Aufgabe:

wenn [mm] \phi\colon\IZ^n\to\IZ^n [/mm] Gruppenendomorphismus, wir argumentieren entlang von das Anleitung von Dieter folgendemassen:

(1) Zeigen wir: [mm] \phi [/mm]  können wir erweitern zu Vektorraumendomorphismus [mm] \phi' [/mm] von [mm] \IQ^n [/mm] nach [mm] \IQ^n. [/mm]

(2) Zeigen wir: [mm] \phi [/mm] ist sich injektiv genau dann wenn sich [mm] \phi' [/mm] injektiv ist

(3) Wissen wir: [mm] \phi' [/mm] injektiv genau dann wenn  kern [mm] (\phi') =\{0\}, [/mm] also genau dann wenn [mm] im(\phi')=\IQ^n [/mm]

Beweis von (1):

Setzen wir  [mm] \phi'(a_1\slash b_1,\ldots [/mm] , [mm] a_n\slash b_n):= [/mm]
[mm] \frac{1}{\prod_{i=1}^nb_i}\cdot \phi(a_1\cdot\prod_{i\neq 1}b_i,\ldots [/mm] , [mm] a_n\cdot\prod_{i\neq n}b_i) [/mm]

Rechnen wir leicht nach, das es wirklich eine Endomorphismus von [mm] \IQ^n [/mm] nach [mm] \IQ^n [/mm] ist.

Beweis von (2):  Falls [mm] \phi' [/mm] injektiv, so muss es wegen [mm] \pi'|\IZ^n=\phi [/mm] auch das Endomorphismus [mm] \phi [/mm] injektiv sein.

Wenn andererum [mm] \phi [/mm] injektiv ist, so nehmen wir an, dass

[mm] \phi'(a_1\slash b_1,\ldots [/mm] , [mm] a_n\slash b_n)=\phi'(c_1\slash d_1,\ldots [/mm] , [mm] c_n\slash d_n) [/mm]

Multiplizieren wir alle Komponenten mit [mm] \prod_{i=1}^n(b_i\cdot d_i), [/mm] und dieses ist [mm] \neq [/mm] 0.
Bezeichnen [mm] \phi_j,1\leq j\leq [/mm] n die Komponenten von [mm] \phi, [/mm] also [mm] \phi(q_1,\ldots [/mm] , [mm] q_n)=(\phi_1(q_1)),\ldots [/mm] )
Dann erhalten wir also [mm] \phi'(a_i\cdot d_i\cdot \prod_{j\neq i}(b_j\cdot d_j))=\phi'(c_i\cdot b_i\cdot \prod_{j\neq i}(b_j\cdot d_j)), [/mm] wenden wir auf beide Seiten Homomorphismus-Eigenschaft an, um  das Produkt auszuziehen  (allgemein: [mm] \phi_i\colon \IZ\to\IZ [/mm] ist Gruppenendo und es gilt sich daher
[mm] \phi_i(a\cdot [/mm] b) [mm] =\phi_i(\underbrace{a+a+\ldots +a}_{b\:\: mal})=b\cdot \phi(a)) [/mm] und wegzukurzen, erhalten wir also
[mm] \phi_i(a_i \cdot d_i)=\phi_i(c_i\cdot b_i) [/mm] und somit aus das Injektivität von [mm] \phi [/mm] endlich  [mm] a_i\cdot d_i=c_i\cdot b_i [/mm] und das war zu zeigen.

Ok., das waren (1)-(3).

Bin ich nur nicht sicher, was jetzt ich tun soll damit.

Würde ich so argumentieren:

Ist es [mm] \IZ^n\slash im(\phi) \:\: =\prod_{i=1}^n\IZ\slash \phi_i(1)\cdot\IZ [/mm]

und  - ok, da benutzen wir es sich schon - ist nach obige [mm] \phi [/mm] injektiv genau wenn dann [mm] \phi_i(1)\neq 0\: (1\leq i\leq [/mm] n) und dann steht es da.

Liebes Gruss

just-math




Bezug
                
Bezug
Abschnitt 1.3, Aufgabe 5: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:09 Di 26.09.2006
Autor: felixf

Hola just-math!

> probiere ich mal das Aufgabe:
>  
> wenn [mm]\phi\colon\IZ^n\to\IZ^n[/mm] Gruppenendomorphismus, wir
> argumentieren entlang von das Anleitung von Dieter
> folgendemassen:
>  
> (1) Zeigen wir: [mm]\phi[/mm]  können wir erweitern zu
> Vektorraumendomorphismus [mm]\phi'[/mm] von [mm]\IQ^n[/mm] nach [mm]\IQ^n.[/mm]
>  
> (2) Zeigen wir: [mm]\phi[/mm] ist sich injektiv genau dann wenn sich
> [mm]\phi'[/mm] injektiv ist
>  
> (3) Wissen wir: [mm]\phi'[/mm] injektiv genau dann wenn  kern
> [mm](\phi') =\{0\},[/mm] also genau dann wenn [mm]im(\phi')=\IQ^n[/mm]
>
> Beweis von (1):
>
> Setzen wir  [mm]\phi'(a_1\slash b_1,\ldots[/mm] , [mm]a_n\slash b_n):=[/mm]
>  
> [mm]\frac{1}{\prod_{i=1}^nb_i}\cdot \phi(a_1\cdot\prod_{i\neq 1}b_i,\ldots[/mm]
> , [mm]a_n\cdot\prod_{i\neq n}b_i)[/mm]
>  
> Rechnen wir leicht nach, das es wirklich eine
> Endomorphismus von [mm]\IQ^n[/mm] nach [mm]\IQ^n[/mm] ist.

[ok]

> Beweis von (2):  Falls [mm]\phi'[/mm] injektiv, so muss es wegen
> [mm]\pi'|\IZ^n=\phi[/mm] auch das Endomorphismus [mm]\phi[/mm] injektiv
> sein.
>  
> Wenn andererum [mm]\phi[/mm] injektiv ist, so nehmen wir an, dass
>  
> [mm]\phi'(a_1\slash b_1,\ldots[/mm] , [mm]a_n\slash b_n)=\phi'(c_1\slash d_1,\ldots[/mm]
> , [mm]c_n\slash d_n)[/mm]

Du kannst dir das Leben auch etwas einfacher machen, indem du direkt den Kern anschaust :-)

> Multiplizieren wir alle Komponenten mit
> [mm]\prod_{i=1}^n(b_i\cdot d_i),[/mm] und dieses ist [mm]\neq[/mm] 0.
>  Bezeichnen [mm]\phi_j,1\leq j\leq[/mm] n die Komponenten von [mm]\phi,[/mm]
> also [mm]\phi(q_1,\ldots[/mm] , [mm]q_n)=(\phi_1(q_1)),\ldots[/mm] )
>  Dann erhalten wir also [mm]\phi'(a_i\cdot d_i\cdot \prod_{j\neq i}(b_j\cdot d_j))=\phi'(c_i\cdot b_i\cdot \prod_{j\neq i}(b_j\cdot d_j)),[/mm]
> wenden wir auf beide Seiten Homomorphismus-Eigenschaft an,
> um  das Produkt auszuziehen  (allgemein: [mm]\phi_i\colon \IZ\to\IZ[/mm]
> ist Gruppenendo und es gilt sich daher
>  [mm]\phi_i(a\cdot[/mm] b) [mm]=\phi_i(\underbrace{a+a+\ldots +a}_{b\:\: mal})=b\cdot \phi(a))[/mm]
> und wegzukurzen, erhalten wir also
> [mm]\phi_i(a_i \cdot d_i)=\phi_i(c_i\cdot b_i)[/mm] und somit aus
> das Injektivität von [mm]\phi[/mm] endlich  [mm]a_i\cdot d_i=c_i\cdot b_i[/mm]
> und das war zu zeigen.
>  
> Ok., das waren (1)-(3).

[ok]

> Bin ich nur nicht sicher, was jetzt ich tun soll damit.
>  
> Würde ich so argumentieren:
>  
> Ist es [mm]\IZ^n\slash im(\phi) \:\: =\prod_{i=1}^n\IZ\slash \phi_i(1)\cdot\IZ[/mm]

Ich denke nicht dass das stimmt (hab aber grad keine Lust, explizit ein Gegenbeispiel anzugeben). Das waer zumindest eine Aussage, die du erstmal beweisen muesstest.

> und  - ok, da benutzen wir es sich schon - ist nach obige
> [mm]\phi[/mm] injektiv genau wenn dann [mm]\phi_i(1)\neq 0\: (1\leq i\leq[/mm]
> n) und dann steht es da.

Mach es doch so:

Wenn [mm] $\phi$ [/mm] injekiv ist, dann ist [mm] $\phi_\IQ$ [/mm] injektiv, womit es auch surjektiv ist. Also gibt es zu [mm] $e_i$ [/mm] ($i$-ter Standardeinheitsvektor) ein Urbild [mm] $w_i \in \IQ^n$ [/mm] unter [mm] $\phi_\IQ$. [/mm] Und es gibt ein [mm] $b_i \in \IN$, $b_i [/mm] > 0$ mit [mm] $b_i w_i \in \IZ^n$. [/mm] Damit liegt [mm] $b_i e_i \in \phi(\IZ^n)$ [/mm] fuer jedes $i$, und damit laesst sich jedes Element aus [mm] $\IZ^n/\phi(\IZ^n)$ [/mm] durch ein Element von der Form [mm] $\{ a_i e_i \mid 0 \le a_i < b_i \}$ [/mm] repraesentieren. Und diese Menge ist offensichtlich endlich.

Und wenn [mm] $\phi$ [/mm] nicht injektiv ist, so ist ebenso [mm] $\phi_\IQ$ [/mm] nicht surjektiv und damit kannst du ein Element in [mm] $\IZ^n/\phi(\IZ^n)$ [/mm] von unendlicher Ordnung konstruieren.

LG Felix


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