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Forum "Kapitel 1: Elementare Gruppentheorie" - Abschnitt 5.1, Aufgabe 4
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Abschnitt 5.1, Aufgabe 4: Aufgabe (korr.)
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Date: 11:59 Fr 22/09/2006
Author: felixf

Aufgabe

Sei $G$ eine endliche Gruppe, $U [mm] \subseteq [/mm] G$ eine Untergruppe und [mm] $N_U$ [/mm] der Normalisator von $U$ in $G$. Setze $M := [mm] \bigcup_{g\in G} [/mm] g U [mm] g^{-1}$. [/mm]

(i) Beweise $|M| [mm] \le [/mm] (G : [mm] N_U) \cdot [/mm] |U|$.

(ii) Sei $U [mm] \neq [/mm] G$. Zeige, dass dann auch $M [mm] \neq [/mm] G$ ist.


        
Bezug
Abschnitt 5.1, Aufgabe 4: Was ist es H ?
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 08:31 Fr 29/09/2006
Author: just-math

Hola,

was ist H ? Kann ich nicht finden Definicion von dieses Objekt in Aufgabe.

Wenn ich selber wählen darf dann Aufgabe wird es einfach.

Liebe Gruss

just-math

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 5.1, Aufgabe 4: geklärt
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 09:56 Fr 29/09/2006
Author: statler

Hallo just-math!

> was ist H ? Kann ich nicht finden Definicion von dieses
> Objekt in Aufgabe.

Sehr aufmerksam, Fehler unsererseits, es ist H = U, Aufg. ist korrigiert.

> Wenn ich selber wählen darf dann Aufgabe wird es einfach.

Liebe Grüße aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
        
Bezug
Abschnitt 5.1, Aufgabe 4: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:20 Fr 29/09/2006
Author: just-math

Hola e muchos gracias Dieter,

ok, dann ist für alle [mm] g\in [/mm] G   [mm] |gUg^{-1}|=|U|, [/mm] weil nämlich [mm] \varphi_g(x)=gxg^{-1} [/mm] definiert eine innere Automorphismus von G.

Also mussen wir zeigen dass Anzahl von verschiedene Konjugacionsklassen ist es hóchstens [mm] (G\colon N_U). [/mm]

Sei also Menge von Linksnebenklassen in G von [mm] N_U [/mm] gleich [mm] \{[g_1],\ldots ,[g_n]\}. [/mm]

Also  [mm] [g_i] [/mm] = [mm] \{g\in G|\:\: g_iN_U=gN_U\}=\{g\in G|g^{-1}g_i\in N_U\} [/mm]

Behauptung: wenn [mm] g\in [g_i], [/mm] dann folgt es  [mm] gUg^{-1}=g_iUg_i^{-1}. [/mm]

Beweis von dieses Behauptung: Ist es [mm] g^{-1}g_iUg_i^{-1}g=U, [/mm] also [mm] g_iUg_i^{-1}=gUg^{-1}. [/mm]

Damit wenn zwei Elemente von das Gruppe G liegen in selbes Linksnebenklasse von [mm] N_U, [/mm] sie auch definieren selbes Konjugacionsklasse
von U.

Also ist es gezeigt (i).

Zu (ii): Sei also M=G. Die Mengen [mm] gUg^{-1} [/mm] sind es Gruppen, und sie alle enthalten das neutrale Element e von das Gruppe G.

Wenn M=G, dann also

[mm] 1+\sharp(Konjugacionsklassen\:\: von\:\: U)\cdot [/mm] (|U|-1) [mm] \geq [/mm] |G|

und aus (i) wir haben schon es gelernt dass [mm] \sharp(Konjugacionsklassen\:\: von\:\: [/mm] U)  ist [mm] \leq (G\colon N_U), [/mm] also

1+ [mm] (G\colon N_U)\cdot [/mm] (|U|-1) [mm] \geq [/mm] |G|

Aber [mm] U\subseteq N_U, [/mm] somit [mm] (G\colon U)\geq (G\colon N_U) [/mm] und das wir setzen ein und erhalten wir es

1+ [mm] (G\colon U)\cdot (|U|-1)\geq [/mm] |G|

aber es gilt ja   [mm] (G\colon U)\cdot [/mm] |U|=|G| und dann ist es Widerspruch wenn [mm] (G\colon U)\geq [/mm] 2.

Liebe Gruss

just-math




Bezug
                
Bezug
Abschnitt 5.1, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 04:25 So 08/10/2006
Author: felixf

Hi just-math!

> ok, dann ist für alle [mm]g\in[/mm] G   [mm]|gUg^{-1}|=|U|,[/mm] weil nämlich
> [mm]\varphi_g(x)=gxg^{-1}[/mm] definiert eine innere Automorphismus
> von G.
>  
> Also mussen wir zeigen dass Anzahl von verschiedene
> Konjugacionsklassen ist es hóchstens [mm](G\colon N_U).[/mm]
>  
> Sei also Menge von Linksnebenklassen in G von [mm]N_U[/mm] gleich
> [mm]\{[g_1],\ldots ,[g_n]\}.[/mm]
>  
> Also  [mm][g_i][/mm] = [mm]\{g\in G|\:\: g_iN_U=gN_U\}=\{g\in G|g^{-1}g_i\in N_U\}[/mm]
>  
> Behauptung: wenn [mm]g\in [g_i],[/mm] dann folgt es  
> [mm]gUg^{-1}=g_iUg_i^{-1}.[/mm]
>  
> Beweis von dieses Behauptung: Ist es [mm]g^{-1}g_iUg_i^{-1}g=U,[/mm]
> also [mm]g_iUg_i^{-1}=gUg^{-1}.[/mm]
>  
> Damit wenn zwei Elemente von das Gruppe G liegen in selbes
> Linksnebenklasse von [mm]N_U,[/mm] sie auch definieren selbes
> Konjugacionsklasse
>  von U.
>  
> Also ist es gezeigt (i).

[ok]

> Zu (ii): Sei also M=G. Die Mengen [mm]gUg^{-1}[/mm] sind es Gruppen,
> und sie alle enthalten das neutrale Element e von das
> Gruppe G.
>  
> Wenn M=G, dann also
>
> [mm]1+\sharp(Konjugacionsklassen\:\: von\:\: U)\cdot[/mm] (|U|-1)
> [mm]\geq[/mm] |G|
>  
> und aus (i) wir haben schon es gelernt dass
> [mm]\sharp(Konjugacionsklassen\:\: von\:\:[/mm] U)  ist [mm]\leq (G\colon N_U),[/mm]
> also
>
> 1+ [mm](G\colon N_U)\cdot[/mm] (|U|-1) [mm]\geq[/mm] |G|
>  
> Aber [mm]U\subseteq N_U,[/mm] somit [mm](G\colon U)\geq (G\colon N_U)[/mm]
> und das wir setzen ein und erhalten wir es
>  
> 1+ [mm](G\colon U)\cdot (|U|-1)\geq[/mm] |G|
>  
> aber es gilt ja   [mm](G\colon U)\cdot[/mm] |U|=|G| und dann ist es
> Widerspruch wenn [mm](G\colon U)\geq[/mm] 2.

Genau :)

LG Felix


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