matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenKapitel 1: Elementare GruppentheorieAbschnitt 5.1, Aufgabe 4
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Kapitel 1: Elementare Gruppentheorie" - Abschnitt 5.1, Aufgabe 4
Abschnitt 5.1, Aufgabe 4 < Kap 1: El. Gruppenth < Algebra-Kurs 2006 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Kapitel 1: Elementare Gruppentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Abschnitt 5.1, Aufgabe 4: Aufgabe (korr.)
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 11:59 Fr 22.09.2006
Autor: felixf

Aufgabe

Sei $G$ eine endliche Gruppe, $U [mm] \subseteq [/mm] G$ eine Untergruppe und [mm] $N_U$ [/mm] der Normalisator von $U$ in $G$. Setze $M := [mm] \bigcup_{g\in G} [/mm] g U [mm] g^{-1}$. [/mm]

(i) Beweise $|M| [mm] \le [/mm] (G : [mm] N_U) \cdot [/mm] |U|$.

(ii) Sei $U [mm] \neq [/mm] G$. Zeige, dass dann auch $M [mm] \neq [/mm] G$ ist.


        
Bezug
Abschnitt 5.1, Aufgabe 4: Was ist es H ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:31 Fr 29.09.2006
Autor: just-math

Hola,

was ist H ? Kann ich nicht finden Definicion von dieses Objekt in Aufgabe.

Wenn ich selber wählen darf dann Aufgabe wird es einfach.

Liebe Gruss

just-math

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 5.1, Aufgabe 4: geklärt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:56 Fr 29.09.2006
Autor: statler

Hallo just-math!

> was ist H ? Kann ich nicht finden Definicion von dieses
> Objekt in Aufgabe.

Sehr aufmerksam, Fehler unsererseits, es ist H = U, Aufg. ist korrigiert.

> Wenn ich selber wählen darf dann Aufgabe wird es einfach.

Liebe Grüße aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
        
Bezug
Abschnitt 5.1, Aufgabe 4: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:20 Fr 29.09.2006
Autor: just-math

Hola e muchos gracias Dieter,

ok, dann ist für alle [mm] g\in [/mm] G   [mm] |gUg^{-1}|=|U|, [/mm] weil nämlich [mm] \varphi_g(x)=gxg^{-1} [/mm] definiert eine innere Automorphismus von G.

Also mussen wir zeigen dass Anzahl von verschiedene Konjugacionsklassen ist es hóchstens [mm] (G\colon N_U). [/mm]

Sei also Menge von Linksnebenklassen in G von [mm] N_U [/mm] gleich [mm] \{[g_1],\ldots ,[g_n]\}. [/mm]

Also  [mm] [g_i] [/mm] = [mm] \{g\in G|\:\: g_iN_U=gN_U\}=\{g\in G|g^{-1}g_i\in N_U\} [/mm]

Behauptung: wenn [mm] g\in [g_i], [/mm] dann folgt es  [mm] gUg^{-1}=g_iUg_i^{-1}. [/mm]

Beweis von dieses Behauptung: Ist es [mm] g^{-1}g_iUg_i^{-1}g=U, [/mm] also [mm] g_iUg_i^{-1}=gUg^{-1}. [/mm]

Damit wenn zwei Elemente von das Gruppe G liegen in selbes Linksnebenklasse von [mm] N_U, [/mm] sie auch definieren selbes Konjugacionsklasse
von U.

Also ist es gezeigt (i).

Zu (ii): Sei also M=G. Die Mengen [mm] gUg^{-1} [/mm] sind es Gruppen, und sie alle enthalten das neutrale Element e von das Gruppe G.

Wenn M=G, dann also

[mm] 1+\sharp(Konjugacionsklassen\:\: von\:\: U)\cdot [/mm] (|U|-1) [mm] \geq [/mm] |G|

und aus (i) wir haben schon es gelernt dass [mm] \sharp(Konjugacionsklassen\:\: von\:\: [/mm] U)  ist [mm] \leq (G\colon N_U), [/mm] also

1+ [mm] (G\colon N_U)\cdot [/mm] (|U|-1) [mm] \geq [/mm] |G|

Aber [mm] U\subseteq N_U, [/mm] somit [mm] (G\colon U)\geq (G\colon N_U) [/mm] und das wir setzen ein und erhalten wir es

1+ [mm] (G\colon U)\cdot (|U|-1)\geq [/mm] |G|

aber es gilt ja   [mm] (G\colon U)\cdot [/mm] |U|=|G| und dann ist es Widerspruch wenn [mm] (G\colon U)\geq [/mm] 2.

Liebe Gruss

just-math




Bezug
                
Bezug
Abschnitt 5.1, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:25 So 08.10.2006
Autor: felixf

Hi just-math!

> ok, dann ist für alle [mm]g\in[/mm] G   [mm]|gUg^{-1}|=|U|,[/mm] weil nämlich
> [mm]\varphi_g(x)=gxg^{-1}[/mm] definiert eine innere Automorphismus
> von G.
>  
> Also mussen wir zeigen dass Anzahl von verschiedene
> Konjugacionsklassen ist es hóchstens [mm](G\colon N_U).[/mm]
>  
> Sei also Menge von Linksnebenklassen in G von [mm]N_U[/mm] gleich
> [mm]\{[g_1],\ldots ,[g_n]\}.[/mm]
>  
> Also  [mm][g_i][/mm] = [mm]\{g\in G|\:\: g_iN_U=gN_U\}=\{g\in G|g^{-1}g_i\in N_U\}[/mm]
>  
> Behauptung: wenn [mm]g\in [g_i],[/mm] dann folgt es  
> [mm]gUg^{-1}=g_iUg_i^{-1}.[/mm]
>  
> Beweis von dieses Behauptung: Ist es [mm]g^{-1}g_iUg_i^{-1}g=U,[/mm]
> also [mm]g_iUg_i^{-1}=gUg^{-1}.[/mm]
>  
> Damit wenn zwei Elemente von das Gruppe G liegen in selbes
> Linksnebenklasse von [mm]N_U,[/mm] sie auch definieren selbes
> Konjugacionsklasse
>  von U.
>  
> Also ist es gezeigt (i).

[ok]

> Zu (ii): Sei also M=G. Die Mengen [mm]gUg^{-1}[/mm] sind es Gruppen,
> und sie alle enthalten das neutrale Element e von das
> Gruppe G.
>  
> Wenn M=G, dann also
>
> [mm]1+\sharp(Konjugacionsklassen\:\: von\:\: U)\cdot[/mm] (|U|-1)
> [mm]\geq[/mm] |G|
>  
> und aus (i) wir haben schon es gelernt dass
> [mm]\sharp(Konjugacionsklassen\:\: von\:\:[/mm] U)  ist [mm]\leq (G\colon N_U),[/mm]
> also
>
> 1+ [mm](G\colon N_U)\cdot[/mm] (|U|-1) [mm]\geq[/mm] |G|
>  
> Aber [mm]U\subseteq N_U,[/mm] somit [mm](G\colon U)\geq (G\colon N_U)[/mm]
> und das wir setzen ein und erhalten wir es
>  
> 1+ [mm](G\colon U)\cdot (|U|-1)\geq[/mm] |G|
>  
> aber es gilt ja   [mm](G\colon U)\cdot[/mm] |U|=|G| und dann ist es
> Widerspruch wenn [mm](G\colon U)\geq[/mm] 2.

Genau :)

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Kapitel 1: Elementare Gruppentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]