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Forum "Kapitel 1: Elementare Gruppentheorie" - Abschnitt 5.1, Aufgabe 5
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Abschnitt 5.1, Aufgabe 5: Aufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 11:59 Fr 22.09.2006
Autor: felixf

Aufgabe

Sei $G$ eine Gruppe, $U [mm] \subseteq [/mm] G$ eine Untergruppe und [mm] $N_U$ [/mm] bzw. [mm] $Z_U$ [/mm] der Normalisator bzw. Zentralisator von $U$ in $G$. Zeige, dass [mm] $Z_U$ [/mm] ein Normalteiler in [mm] $N_U$ [/mm] ist und dass [mm] $N_U/Z_U$ [/mm] isomorph zu einer Untergruppe von der Automorphismengruppe $Aut(U) = [mm] \{ \varphi : U \to U \mid \varphi \text{ Automorphismus } \}$ [/mm] ist.


Nachtrag: Hier hatte sich ein Fehler eingeschlichen. Gemeint war unten die Automorphismengruppe von $U$ und nicht die von $G$! Sorry!

        
Bezug
Abschnitt 5.1, Aufgabe 5: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Do 28.09.2006
Autor: just-math

Hola zusammen,

ist es klar dass  [mm] Z_U\leq N_U [/mm] (das soll Zeichen für Untergruppe-Beziehung sein, und [mm] \lhd [/mm] ist Zeichen fur Normalteiler-Beziehung.

Nun zeigen wir [mm] Z_U\lhd N_U: [/mm]

Sei [mm] n\in N_U [/mm] und [mm] z\in Z_U, [/mm] dann wollen wir zeigen [mm] nzn^{-1}\in Z_U. [/mm]

Sei sich also [mm] u\in [/mm] U, Dann ist

[mm] nzn^{-1}unz^{-1}n^{-1}=nn^{-1}unn^{-1} [/mm]  (wegen Zentrum-Eigenschaft von z angewandt auf den Element [mm] n^{-1}un\in [/mm] U)
=u

Nun haben wir ja: [mm] N_U [/mm] ist isomorph zu Untergruppe von Aut(G)) von innere Automorphismen was bilden U auf U ab.

Was ist dann [mm] N_U\slash Z_U [/mm] ?

Nun, werden zwei innere Automorphismen  [mm] \varphi_n [/mm] und [mm] \varphi_m (m,n\in N_U,\:\: \varphi_n(u)=nun^{-1} [/mm] und so)
identifiziert wenn ihre Restriktionen auf U sind gleich.

Nehmen wir Vertreter von Klassen von [mm] N_U\slash Z_U, [/mm] dh. sei es sich

[mm] N_U\slash Z_U=\{\: [m_1],\ldots , [m_h] \} [/mm]    ;-)

Dann wäre schön wenn wir könnten so wählen dass Menge [mm] \{m_1,\ldots , m_h\} [/mm] wieder ist Gruppe denn dann wir sind fertig.

Dachte ich auch schon wir können nehmen innere Automorphismus von U und dann erweitern zu Automorphismus von G was ist Identität auf
[mm] G\setminus [/mm] U, aber so es scheint keine Automorphismus von G zu sein.

Liebe Gruss

just-math

just-math

Bezug
                
Bezug
Abschnitt 5.1, Aufgabe 5: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:20 So 08.10.2006
Autor: felixf

Hallo just-math!

> ist es klar dass  [mm]Z_U\leq N_U[/mm] (das soll Zeichen für
> Untergruppe-Beziehung sein, und [mm]\lhd[/mm] ist Zeichen fur
> Normalteiler-Beziehung.
>  
> Nun zeigen wir [mm]Z_U\lhd N_U:[/mm]
>  
> Sei [mm]n\in N_U[/mm] und [mm]z\in Z_U,[/mm] dann wollen wir zeigen
> [mm]nzn^{-1}\in Z_U.[/mm]
>  
> Sei sich also [mm]u\in[/mm] U, Dann ist
>  
> [mm]nzn^{-1}unz^{-1}n^{-1}=nn^{-1}unn^{-1}[/mm]  (wegen
> Zentrum-Eigenschaft von z angewandt auf den Element
> [mm]n^{-1}un\in[/mm] U)
>  =u

[ok]

> Nun haben wir ja: [mm]N_U[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

ist isomorph zu Untergruppe von

> Aut(G)) von innere Automorphismen was bilden U auf U ab.

Sicher? Ist $G$ beliebige Gruppe und $U = \{ e \}$, so ist $N_U = G$. Aber $G$ ist ja nicht immer eine Untergruppe von inneren Automorpismen, etwa wenn $G$ kommutativ ist sind alle inneren Automorphismen trivial.

(In diesem Fall ist allerdings auch $N_U/Z_U$ trivial.)

Ok, ich merke gerade, da war ein fataler Tippfehler in der Aufgabenstellung, es soll naemlich $Aut(U)$ sein und nicht $Aut(G)$.

Mach das doch am besten so, dass du die Funktion $\Phi : N_U \to Aut(U)$, $g \mapsto \{ x \mapsto g x g^{-1}$ (innere Automorphismen). Dies ist wohldefiniert, da $g x g^{-1}$ fuer $x \in U$ wieder in $U$ liegt.

Du musst jetzt zeigen, dass $\ker\Phi = Z_U$ ist. Nach dem Homomorhpiesatz folgt dann, dass $N_U/Z_U$ isomorph zur Untergruppe $\Phi(N_U)$ von $Aut(H)$ ist.

LG Felix


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