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Abschnittsweise Funktion: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:07 Di 23.08.2011
Autor: RWBK

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion

[mm] f(x)=\begin{cases} x^{3}, & \mbox{für } x <1 \\ -x^{2}+ax+b, & \mbox{für } x \ge 1 \end{cases} [/mm]





a)Man bestimme die Werte von a und b so, dass f stetig differenzierbar auf ganz [mm] \IR [/mm] ist.

b)Skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall [-1,2]


Hallo,

hier einmal meine Lösung zu a:

[mm] \limes_{x\rightarrow1-}x^{3}=1 [/mm]
somit muss für
[mm] \limes_{x\rightarrow1}-x^{2}+a*x+b [/mm] auch gleich 1 gelten
[mm] \limes_{x\rightarrow1-}3x^{2}=3 [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1}-2x+a [/mm]
a=2x
a=2

[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow1-}x^{3}=\limes_{x\rightarrow1}-x^{2}+a*x+b [/mm]

[mm] x^{3}=-x^{2}+a*x+b [/mm]
[mm] x^{3}=-x^{2}+2x*x+b [/mm]
[mm] x^{3}=-x^{2}+2x^{2}+b [/mm]
[mm] x^{3}=x^{2}+b [/mm]
[mm] b=x^{3}-x^{2} [/mm]
Hab ich alles richtig gemacht? Gibt es Verbesserungsvorschläg?

zu b) Hier muss ich doch dann eigentlich nur den graphen von [mm] x^{3} [/mm] im Intervall von [-1,2] zeichen oder?

mfg

        
Bezug
Abschnittsweise Funktion: keine Lösung ermittelt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 Di 23.08.2011
Autor: Roadrunner

Hallo RWBK!


Hast Du konkrete Zahlenwerte für $a_$ und $b_$ erhalten? Nein! Damit hast Du auch keine Lösung ermittelt.

Wie kann bei einer Grenzwertbetrachtung [mm] $x\rightarrow [/mm] 1$ anschließend im Term immer noch ein $x_$ vorhanden sein.

Du müsstest mit den beiden Grenzwerten aus Stetigkeit und Differenzierbarkeit ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten $a_$ und $b_$ erhalten.


Gruß vom
Roadrunner

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Abschnittsweise Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:24 Di 23.08.2011
Autor: RWBK

Stimmt hab da ganz schönen Käse gemacht! werde es nochmal korriegeren und neu hochladen.

mfg

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Bezug
Abschnittsweise Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:09 Di 23.08.2011
Autor: RWBK

Hallo unf guten abend,

kann es sein das die richtigen Lösungen
für a=5 und für b=-5 lauten ?

Mit freundlichen Grüßen
RWBK

Bezug
                                
Bezug
Abschnittsweise Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Di 23.08.2011
Autor: schachuzipus

Hallo RWBK,


> Hallo unf guten abend,
>  
> kann es sein das die richtigen Lösungen
>  für a=5 und für b=-5 lauten ?

Also [mm]f(x)=\begin{cases} x^3, & \mbox{fuer } x<1 \\ -x^2+5x-5, & \mbox{fuer } x\ge 1 \end{cases}[/mm]

Das ist doch in [mm]x=1[/mm] nicht einmal stetig, kann also auch nicht differenzierbar sein ...

[mm]\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=1[/mm], aber [mm]\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=-1[/mm]

Zeige mal deine Rechnung, da scheint irgendwas im Argen zu liegen ...

>  
> Mit freundlichen Grüßen
>  RWBK

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                        
Bezug
Abschnittsweise Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Di 23.08.2011
Autor: RWBK

[mm] \limes_{x\rightarrow1-}=x^{3} [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1}=-x^{2}+ax+b [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow1-}=3x^{2} [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1}=-2x+a [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow1-}=3x^{2} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow1}=-2x+a [/mm]

3=-2+a
a=5

[mm] \limes_{x\rightarrow1}=-x^{2}+ax+b [/mm]
[mm] -1^{2}+5*1+b=1 [/mm]
b =-5

mfg

Bezug
                                                
Bezug
Abschnittsweise Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Di 23.08.2011
Autor: MathePower

Hallo RWBK,

> [mm]\limes_{x\rightarrow1-}=x^{3}[/mm]
>  [mm]\limes_{x\rightarrow1}=-x^{2}+ax+b[/mm]
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow1-}=3x^{2}[/mm]
>  [mm]\limes_{x\rightarrow1}=-2x+a[/mm]
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow1-}=3x^{2}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow1}=-2x+a[/mm]
>  
> 3=-2+a
>  a=5


[ok]


>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow1}=-x^{2}+ax+b[/mm]
>  [mm]-1^{2}+5*1+b=1[/mm]


Hier muss es doch lauten:

[mm]\blue{-}\left(1\right)^{2}+5*1+b=1[/mm]

Du hast gerechnet:

[mm]\left(\blue{-}1\right)^{2}+5*1+b=1[/mm]


>  b =-5
>  
> mfg


Gruss
MathePower

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