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Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dem absoluten Fehler bei der Multiplikation zweier Zahlen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] im Zusammenhang mit Fehlerfortpflanzung.
Für diesen gilt ja [mm] \varepsilon_1 x_2 [/mm] + [mm] \varepsilon_2 x_1 [/mm] + [mm] \varepsilon_1 \varepsilon_2
[/mm]
[mm] (\varepsilon_k [/mm] ist der absolute Fehler von [mm] x_k)
[/mm]
Nun steht in meinem Script, dass das Produkt [mm] \varepsilon_1 \varepsilon_2 [/mm] in der Regel gegenüber den anderen Summanden klein sein wird und daher vernachlässigbar ist. (Das kann man so sagen, weil der absolute Fehler in der Regel kleiner sein wird als der Wert ansich und dementsprechend dieses Produkt daher kleiner sein wird als die beiden anderen?)
Noch eine weitere Frage, denn es steht nun, dass mit dieser Vernachlässigung der absolute Fehler des Produkts in erster Näherung
[mm] \varepsilon_1 x_2 [/mm] + [mm] \varepsilon_2 x_1
[/mm]
ist .
Mit erster Näherung ist gemeint: "Das Ersetzen der Funktion f durch die lineare Taylor-Näherung in [mm] (x_1,x_2)".
[/mm]
Könnte mir jemand diesen Schritt erkären?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 Mi 16.01.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
schau mal hier: ![[]](/images/popup.gif) Regeln zur Fehlerfortpflanzung
Ich finde dort ist das recht gut erklärt. Wenn nicht, kannst Du ja nochmal fragen.
Gruß,
notinX
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Hallo notinX,
danke für Deine Antwort. Wikipedia bringt mir gerade nicht wirklich die Antwort, die ich suche.
In meinem Script steht, dass das Produkt $ [mm] \varepsilon_1 \varepsilon_2 [/mm] $ in der Regel gegenüber den anderen Summanden klein sein wird und daher vernachlässigbar ist. Und dass mit dieser Vernachlässigung der absolute Fehler des Produkts in erster Näherung erster Näherung
$ [mm] \varepsilon_1 x_2 [/mm] $ + $ [mm] \varepsilon_2 x_1 [/mm] $
ist .
Mit erster Näherung ist gemeint: "Das Ersetzen der Funktion f durch die lineare Taylor-Näherung in $ [mm] (x_1,x_2)". [/mm] $
Ich verstehe nicht, warum sie sagen "unter der Vernachlässigung des Produktes $ [mm] \varepsilon_1 \varepsilon_2 [/mm] $. Denn mit der Taylorentwicklung erhalte ich doch für [mm] f(x_1+\varepsilon_1,x_2+\varepsilon_2) [/mm] = [mm] x_1x_2+\varepsilon_1 x_1 +\varepsilon_2 x_2 [/mm] und somit für den absoluten Fehler dann $ [mm] \varepsilon_1 x_2 [/mm] $ + $ [mm] \varepsilon_2 x_1 [/mm] $
Wieso sagen sie das mit der Vernachlässigung?
Danke
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Fr 18.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Aussage heißt einfach: die Vernachlässigung von [mm] \epsilon_1*\epsilon_2 [/mm] ist dasselbe wie von f nur die 1. Term der Taylorentw. zu nehmen.
du kannst allso entweder sagen du nimmst Taylor 1 oder du vernachlaessigst das Produkt.
$ [mm] f(x_1+\varepsilon_1,x_2+\varepsilon_2) [/mm] $ = $ [mm] x_1x_2+\varepsilon_1 x_1 +\varepsilon_2 x_2 [/mm] $ ist falsch , richtig ist $ [mm] ((x_1+\varepsilon_1)*(x_2+\varepsilon_2)) [/mm] $ = $ [mm] x_1x_2+\varepsilon_1 x_2 +\varepsilon_2 x_1 [/mm] $
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo leduart,
DANKE für Deine schnelle Anwort!
> die Aussage heißt einfach: die Vernachlässigung von
> [mm]\epsilon_1*\epsilon_2[/mm] ist dasselbe wie von f nur die 1.
> Term der Taylorentw. zu nehmen.
> du kannst allso entweder sagen du nimmst Taylor 1 oder du
> vernachlaessigst das Produkt.
Gerade hatte ich mir auch gedacht, ob das vielleicht damit gemeint ist. Also ist es so zu verstehen - DANKE 
> [mm]f(x_1+\varepsilon_1,x_2+\varepsilon_2)[/mm] =
> [mm]x_1x_2+\varepsilon_1 x_1 +\varepsilon_2 x_2[/mm] ist falsch ,
> richtig ist [mm]((x_1+\varepsilon_1)*(x_2+\varepsilon_2))[/mm] =
> [mm]x_1x_2+\varepsilon_1 x_2 +\varepsilon_2 x_1[/mm]
Ups, ja natürlich - so habe ich es auch in meiner Rechnung hier auf meinem Blatt. Tippfehler.
Danke,
Anna
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