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Absolute Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:23 So 21.04.2019
Autor: hase-hh

Aufgabe
Prüfen Sie, ob die folgenden Reihen absolut konvergent sind:

a)  [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k!}{k^k} [/mm]

b)  [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2}{2^k} [/mm]

Moin Moin,

zunächst würde ich gerne wissen, was unter "absoluter Konvergenz" verstanden wird.

Ist absolute Konvergenz einfach, dass die Reihe einen Grenzwert hat, und die Folgenglieder für x -> [mm] \infty [/mm] gegen 0 gehen?


zu a) Hier würde ich die ersten Folgenglieder bilden...

[mm] \bruch{1!}{1^1}=1 [/mm]  ...  [mm] \bruch{2!}{2^2}=\bruch{1}{2} [/mm] ...    [mm] \bruch{3!}{3^3} =\bruch{2}{27} [/mm]

Daraus würde ich folgern, dass die Reihe monoton fallend ist und einen Grenzwert besitzt, als konvergiert.

Kann ich das, wenn es stimmt, noch mathematischer notieren?



zu b)  Auch hier würde mir nur einfallen, die ersten Folgenglieder zu bilden... und daraus hoffnungsvollerweise etwas zu erkennen...

[mm] \bruch{1^2}{2^1}=\bruch{1}{2} [/mm] ... [mm] \bruch{2^2}{2^2}= [/mm] 1 ...   [mm] \bruch{3^2}{2^3} =\bruch{9}{8} [/mm]  

bis hierhin würde ich die Reihe als monton wachsend und damit als divergent einstufen.

[mm] \bruch{4^2}{2^4}=1 [/mm] ... [mm] \bruch{5^2}{2^5}= \bruch{25}{32} [/mm] ...   [mm] \bruch{6^2}{2^6} =\bruch{9}{16} [/mm]  


ab hier würde ich die Reihe als monoton fallend einstufen, mit der Schlussfolgerung, dass diese Reihe konvergiert.


Irgendwie scheint meine Vorgehensweise nicht optimal zu sein.

Gibt es bessere Wege?

Ich rate mal ins Blaue. Könnte ich die Steigung der Folgenglieder berechnen. Also sowohl Zähler als auch Nenner ableiten und vielleicht sogra L' Hospital anwenden???? Wie gesagt, nur mal ins Blaue... ???


Danke für eure Hilfe!




        
Bezug
Absolute Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:12 So 21.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> zunächst würde ich gerne wissen, was unter "absoluter
> Konvergenz" verstanden wird.

zunächst ein Hinweis: Ihr werdet keine Aufgaben zu Themen bekommen, die ihr nicht bereits hattet. Ergo solltest du das selbst nachschlagen koennen.

Ich verrate es dir aber trotzdem mal: Eine Reihe ist absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge ihrer Sumamnden konvergiert.
Da deine Reihen nur positive Summanden haben, sind sie absolut konvergent, wenn sie konvergieren.


> Ist absolute Konvergenz einfach, dass die Reihe einen
> Grenzwert hat, und die Folgenglieder für x -> [mm]\infty[/mm] gegen 0 gehen?

Wie oben gesagt: in deinem konkreten Fall gerade, ja.
  

> Daraus würde ich folgern, dass die Reihe monoton fallend
> ist und einen Grenzwert besitzt, als konvergiert.

Diese Folgerung ist falsch, wie die harmonische Reihe [mm] $\summe_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$ [/mm] beweist. Dort sind die Folgenglieder ebenfalls monoton fallend, die Reihe divergiert jedoch.

Ebenso kann man sie verwenden, um dir die absolute Konvergenz klar zu machen.
Nehmen wir die alternierende harmonische Reihe:
[mm] $\summe_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k}$, [/mm] diese konvergiert gegen den Grenzwert [mm] $\ln(2)$, [/mm] ist also konvergent. Sie ist aber nicht absolut konvergent, weil die Reihe der Absolutbeträge wieder die harmonische Reihe ist, welche nicht konvergiert.

> Kann ich das, wenn es stimmt, noch mathematischer notieren?

Es stimmt leider nicht.


> zu b)  Auch hier würde mir nur einfallen, die ersten
> Folgenglieder zu bilden... und daraus hoffnungsvollerweise
> etwas zu erkennen...
>
> [mm]\bruch{1^2}{2^1}=\bruch{1}{2}[/mm] ... [mm]\bruch{2^2}{2^2}=[/mm] 1 ...  
> [mm]\bruch{3^2}{2^3} =\bruch{9}{8}[/mm]

Ein schoenes Beispiel, wieso eine Folge nicht durch die ersten Glieder charakterisiert wird.

Generell: Koenntest du zeigen, dass die der Reihe zugrunde liegende Folge immer weiter waechst, wuerde deine Aussage stimmen, denn ein notwendiges Kriterium der Reihenkonvergenz ist, dass die zugrunde liegende Folge eine Nullfolge ist.

> Irgendwie scheint meine Vorgehensweise nicht optimal zu sein.
>  
> Gibt es bessere Wege?

Ja.
[]Quotientenkriterum und []Wurzelkriterium

Gruss,
Gono

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Bezug
Absolute Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:42 So 21.04.2019
Autor: hase-hh

1. Quotientenkriterium

Ich bilde  [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm]

a)   [mm] \bruch{\bruch{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\bruch{k!}{k^k}} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}*\bruch{k^k}{k!} [/mm]

[mm] \bruch{(k+1)*k!}{(k+1)^{k+1}}*\bruch{k^k}{k!} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)}{(k+1)^{k+1}}*{k^k} [/mm]

[mm] \bruch{k^k}{(k+1)^{k}} [/mm] = [mm] (\bruch{k}{k+1})^k [/mm]


Hier kann ich abschätzen... [mm] (\bruch{k}{k+1})^k [/mm] < 1  

=> die Reihe ist absolut konvergent.  Richtig?


b) [mm] \bruch{\bruch{(k+1)^2}{2^{k+1}}}{\bruch{k^2}{2^k}} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)^2}{2^{k+1}}*\bruch{2^k}{k^2} [/mm]

[mm] \bruch{k^2+2k+1}{2*k^2} [/mm]  

... und hiervon müsste ich jetzt den Grenzwert bilden, richtig?


[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{k^2+2k+1}{2*k^2} [/mm]

[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}( \bruch{k^2}{2*k^2} [/mm]  + [mm] \bruch{2k}{2*k^2} [/mm]  + [mm] \bruch{1}{2*k^2} [/mm] )


[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}( \bruch{1}{2} [/mm]  + [mm] \bruch{1}{k} [/mm]  + [mm] \bruch{1}{2*k^2}) [/mm] =  [mm] \bruch{1}{2} [/mm]


=> auch diese Reihe konvergiert, richtig???




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Absolute Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:08 So 21.04.2019
Autor: fred97


> 1. Quotientenkriterium
>
> Ich bilde  [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm]
>  
> a)   [mm]\bruch{\bruch{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\bruch{k!}{k^k}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}*\bruch{k^k}{k!}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{(k+1)*k!}{(k+1)^{k+1}}*\bruch{k^k}{k!}[/mm] =
> [mm]\bruch{(k+1)}{(k+1)^{k+1}}*{k^k}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{k^k}{(k+1)^{k}}[/mm] = [mm](\bruch{k}{k+1})^k[/mm]
>  
>
> Hier kann ich abschätzen... [mm](\bruch{k}{k+1})^k[/mm] < 1  
>
> => die Reihe ist absolut konvergent.  Richtig?
>  

Deine Umformungen sind o.k..   "< 1" reicht nicht,  wie die harmonische Reihe zeigt. Zeige,  dass  der Grenzwert  <1 ist.


>
> b) [mm]\bruch{\bruch{(k+1)^2}{2^{k+1}}}{\bruch{k^2}{2^k}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(k+1)^2}{2^{k+1}}*\bruch{2^k}{k^2}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{k^2+2k+1}{2*k^2}[/mm]  
>
> ... und hiervon müsste ich jetzt den Grenzwert bilden,
> richtig?
>  
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{k^2+2k+1}{2*k^2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}( \bruch{k^2}{2*k^2}[/mm]  +
> [mm]\bruch{2k}{2*k^2}[/mm]  + [mm]\bruch{1}{2*k^2}[/mm] )
>  
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}( \bruch{1}{2}[/mm]  + [mm]\bruch{1}{k}[/mm]  
> + [mm]\bruch{1}{2*k^2})[/mm] =  [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  
>
> => auch diese Reihe konvergiert, richtig???

Richtig.

>  
>
>  


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Absolute Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:52 Mo 22.04.2019
Autor: hase-hh


> > 1. Quotientenkriterium
> >
> > Ich bilde  [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm]
>  >  
> > a)   [mm]\bruch{\bruch{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\bruch{k!}{k^k}}[/mm] =
> > [mm]\bruch{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}*\bruch{k^k}{k!}[/mm]
>  >  
> > [mm]\bruch{(k+1)*k!}{(k+1)^{k+1}}*\bruch{k^k}{k!}[/mm] =
> > [mm]\bruch{(k+1)}{(k+1)^{k+1}}*{k^k}[/mm]
>  >  
> > [mm]\bruch{k^k}{(k+1)^{k}}[/mm] = [mm](\bruch{k}{k+1})^k[/mm]
>  >  
> >
> > Hier kann ich abschätzen... [mm](\bruch{k}{k+1})^k[/mm] < 1  
> >
> > => die Reihe ist absolut konvergent.  Richtig?
>  >  
>
> Deine Umformungen sind o.k..   "< 1" reicht nicht,  wie die
> harmonische Reihe zeigt. Zeige,  dass  der Grenzwert  <1
> ist.

  
Ok, also:

[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{k}{k+1})^k [/mm]

Wie kann ich hier am besten weiterkommen?  Welche Kniffe gibt es?

Grob abgeschätzt wäre hier für mich das Ergebnis 1, aber wie soll ich da rechnerisch hinkommen? Keine Idee!  

Und wenn das so ist,m kann ich dann überhaupt eine Aussage über die Konvergenz treffen?


Danke & Ostermontagsgruß ^^



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Absolute Konvergenz: Grenzwert
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Mo 22.04.2019
Autor: Infinit

Hallo hase-hh,
Deine vorbereitende Rechnung ist soweit okay, mit der Grenzwertschätzung verschätzt Du Dich allerdings. Der Quotient ist immer kleiner als 1 und je häufiger Du diesen Quotienten mit sich selbst multiplizierst, umso kleiner wird das Ergebnis, es strebt allerdings nicht gegen Null, sondern gegen einen Grenzwert als Kehrwert einer recht bekannten Zahl. Das fällt jedoch nicht einfach so vom Himmel, man muss die Definition dieser Zahl kennen und dann kommt darauf, dass dieser Grenzwert $ [mm] \frac{1}{e} [/mm] $ ist, also deutlich kleiner als 1.
Wie man allerdings ohne dieses Vorwissen darauf kommen soll, das weiß ich auch beim besten Willen nicht.
Viele Grüße und noch einen schönen Ostermontag,
Infinit  

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Absolute Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Mo 22.04.2019
Autor: hase-hh

Ok, d.h.


[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{k}{k+1})^k [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{k}{k}*\bruch{1}{1+\bruch{1}{k}})^k [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{1}{1+\bruch{1}{k}})^k [/mm]

Ich muss wissen, dass die Eulersche Zahl  als Grenzwert von [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] definiert ist; d.h.

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] = e


=>  [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{1}{1+\bruch{1}{k}})^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{e} [/mm]



Alles klar?!



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Absolute Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Mo 22.04.2019
Autor: fred97


> Ok, d.h.
>
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{k}{k+1})^k[/mm] =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{k}{k}*\bruch{1}{1+\bruch{1}{k}})^k[/mm]
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{1}{1+\bruch{1}{k}})^k[/mm]
>  
> Ich muss wissen, dass die Eulersche Zahl  als Grenzwert von
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] definiert ist; d.h.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n[/mm] = e
>  
>
> =>  [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{1}{1+\bruch{1}{k}})^k[/mm]

> = [mm]\bruch{1}{e}[/mm]
>  
>
>
> Alles klar?!

Alles klar !

>
>  


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Absolute Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 Mo 22.04.2019
Autor: hase-hh

Moin Moin!

Ich wünsche allen Matheraumern einen sonnigen Ostermontag!

Ich würde gerne die Aufgabe noch einmal mithilfe des Wurzelkriteriums erörtern / lösen.


Zum einen ist eine Folge "absolut konvergent" nach dem Wurzelkriterium, wenn gilt:

[mm] \wurzel[n]{a_n} [/mm] < 1

richtig?



a)  [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n!}{n^n} [/mm]

[mm] \wurzel[n]{\bruch{n!}{n^n}} [/mm]  = [mm] \bruch{ \wurzel[n]{n!}}{n} [/mm]




b) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^2}{2^n} [/mm]

[mm] \wurzel[n]{\bruch{n^2}{2^n}} [/mm]  = [mm] \bruch{\wurzel[n]{n^2}}{2} [/mm]


Ist das soweit richtig?


Wie geht es dann weiter? Müsste ich dann den Grenzwert bilden?  

Und wie kann ich am einfachsten den Grenzwert [mm] \wurzel[n]{n!} [/mm]   bzw. [mm] \wurzel[n]{n^2} [/mm] bestimmen???

[Klar, der Taschenrechner liefert einen Anhaltspunkt... aber das ist mir zu wackelig; EXCEL würde im ersten Fall  <1 sein und vermutlich tendenziell gegen 0 gehen, im zweiten Fall ebenfalls aber schneller]

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Absolute Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:05 Di 23.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich würde gerne die Aufgabe noch einmal mithilfe des
> Wurzelkriteriums erörtern / lösen.

Sehr gut!


> Zum einen ist eine Folge "absolut konvergent" nach dem
> Wurzelkriterium, wenn gilt:
>
> [mm]\wurzel[n]{a_n}[/mm] < 1
>  
> richtig?

Nein, das allein reicht nicht.
Siehe wieder das Gegenbeispiel "Harmonische Reihe".

Entweder du zeigst:
[mm] $\limsup_{n\to\infty} \wurzel[n]{a_n} [/mm] < 1$ (wenn die Folge konvergiert, ist das gleichbedeutend mit [mm] $\lim_{n\to\infty} \wurzel[n]{a_n} [/mm] < 1$)

oder du zeigst:
[mm] $\wurzel[n]{a_n} [/mm] < C$ für ein $C < 1$ für fast alle [mm] $n\in\IN$ [/mm]

Mach dir klar, dass [mm] "$\wurzel[n]{a_n} [/mm] < C$ für ein $C < 1$" nicht dasselbe ist, wie [mm] "$\wurzel[n]{a_n} [/mm] < 1$"
Im ersten Fall haben fast alle Folgenglieder einen Abstand echt größer 0 von 1 (nämlich 1-C), im zweiten können die Folgenglieder beliebig nah an die 1 heranlaufen.

Fangen wir mal mit b) an, die ist einfacher:

Es ist [mm] $\sqrt[n]{n^2} [/mm] = [mm] \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{n}$ [/mm] und es gilt [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$, wie du hoffentlich weißt / zeigen kannst.

Damit ist [mm] $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm]

Zur a)

Es ist $ [mm] \bruch{ \wurzel[n]{n!}}{n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\bruch{ n!}{n^n}} [/mm] =  [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{n}\cdot \bruch{2}{n} \cdot \ldots \cdot \bruch{n}{n}}$ [/mm]

Verwende nun die []Abschätzung zwischen geometrischem und arithmetischen Mittel um das Gewünschte zu zeigen.

Gruß,
Gono

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Absolute Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 Mi 24.04.2019
Autor: hase-hh

Moin,
>  [mm]\limsup_{n\to\infty} \wurzel[n]{a_n} < 1[/mm] (wenn die Folge
> konvergiert, ist das gleichbedeutend mit [mm]\lim_{n\to\infty} \wurzel[n]{a_n} < 1[/mm])

ok

Also wäre zu zeigen, dass gilt

[mm] \lim_{n\to\infty} \wurzel[n]{a_n} [/mm] < 1

> Fangen wir mal mit b) an, die ist einfacher:
>  
> Es ist [mm]\sqrt[n]{n^2} = \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{n}[/mm]

klar

> und es gilt [mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm], wie du hoffentlich weißt / zeigen
> kannst.

Nein, das weiß ich nicht, deswegen frage ich!  

Ich habe dies nur mal für ein paar konkrete Zahlen n ausgerechnet, und daraus eine Schlussfolgerung getroffen?!??

> Zur a)
>  
> Es ist [mm]\bruch{ \wurzel[n]{n!}}{n} = \wurzel[n]{\bruch{ n!}{n^n}} = \wurzel[n]{\bruch{1}{n}\cdot \bruch{2}{n} \cdot \ldots \cdot \bruch{n}{n}}[/mm]
>
> Verwende nun die
> []Abschätzung zwischen geometrischem und arithmetischen Mittel
> um das Gewünschte zu zeigen.

Das kenne ich auch nicht, schaue mir dies aber gleich mal an. ^^

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Bezug
Absolute Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 Mi 24.04.2019
Autor: fred97

Die reihe  $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2}{2^k} [/mm] $ bekommst Du sehr einfach mit dem Quotientenkriterium in den Griff.

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Bezug
Absolute Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:03 Mi 24.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hallo fred,

> Die reihe  [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2}{2^k}[/mm] bekommst
> Du sehr einfach mit dem Quotientenkriterium in den Griff.

hat er doch schon, siehe hier.
Jetzt ging es drum, dass mal mit dem Wurzelkriterium zu versuchen, was ich als Übung im Übrigen echt begrüße.

Gruß,
Gono


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Bezug
Absolute Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Mi 24.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> > und es gilt [mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm], wie du hoffentlich weißt /
> zeigen
> > kannst.
>  
> Nein, das weiß ich nicht, deswegen frage ich!  

Da gibt es viele Wege, ich hatte gehofft du versuchst dich selbst mal dran.... zwei Möglichkeiten:

1: Betrachte mal [mm] $\lim_{n\to\infty} \ln(\sqrt[n]{n})$ [/mm] und verwende die Logarithmusgesetze
2: Zeige es elementar über die Definition des Grenzwerts! Diese Möglichkeit wird leider oft vergessen…

Gruß,
Gono

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Bezug
Absolute Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 Fr 26.04.2019
Autor: hase-hh

Moin,

> Da gibt es viele Wege, ich hatte gehofft du versuchst dich
> selbst mal dran.... zwei Möglichkeiten:
>  
> 1: Betrachte mal [mm]\lim_{n\to\infty} \ln(\sqrt[n]{n})[/mm] und
> verwende die Logarithmusgesetze
>  2: Zeige es elementar über die Definition des Grenzwerts!
> Diese Möglichkeit wird leider oft vergessen…

probieren wirs!

[mm]\lim_{n\to\infty} \ln(\sqrt[n]{n})[/mm]  =  [mm]\lim_{n\to\infty} \ln({n^{\bruch{1}{n}})[/mm]

=   [mm]\lim_{n\to\infty} \bruch{1}{n}*\ln({n})[/mm]


Hier würde ich denken (abschätzen?), da [mm] \bruch{1}{n} [/mm] sich schneller verändert als ln(n)... würde der Grenzwert  null sein.

?


Der zweite Weg sagt mir gerade nichts.

??


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Bezug
Absolute Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Fr 26.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\lim_{n\to\infty} \ln(\sqrt[n]{n})[/mm]  =  [mm]\lim_{n\to\infty} \ln({n^{\bruch{1}{n}})[/mm]
>  
> =   [mm]\lim_{n\to\infty} \bruch{1}{n}*\ln({n})[/mm]

[ok]  

>
> Hier würde ich denken (abschätzen?)

Oder: Gleich L'Hospital ohne Abschätzung verwenden.

> würde der Grenzwert  null sein.

Korrekt. Wenn nun [mm] $\ln(a_n) \to [/mm] 0$ gilt, was bedeutet das für [mm] $a_n$? [/mm]

> Der zweite Weg sagt mir gerade nichts.

Oh oh, Grundlagen!
Was sagt die Definition des Grenzwerts denn, wann [mm] $a_n \to [/mm] 1$ gilt?

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                
Bezug
Absolute Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:24 Fr 26.04.2019
Autor: hase-hh


> Hiho,
>  
> > [mm]\lim_{n\to\infty} \ln(\sqrt[n]{n})[/mm]  =  [mm]\lim_{n\to\infty} \ln({n^{\bruch{1}{n}})[/mm]
>  
> >  

> > =   [mm]\lim_{n\to\infty} \bruch{1}{n}*\ln({n})[/mm]
>  [ok]  
> >
> > Hier würde ich denken (abschätzen?)
>  Oder: Gleich L'Hospital ohne Abschätzung verwenden.

Ok, versuchen wir es mit L'Hospital


[mm]\lim_{n\to\infty} \bruch{1}{n}*\ln({n})[/mm] = [mm]\lim_{n\to\infty} \bruch{ln(n)}{n}[/mm]

= [mm]\bruch{\lim_{n\to\infty} (ln(n))} \bruch{\lim_{n\to\infty}{(n)}[/mm]

= [mm]\bruch{\lim_{n\to\infty} (\bruch{1}{n})} \bruch{\lim_{n\to\infty}{(1)}[/mm]  = 0


> Korrekt. Wenn nun [mm]\ln(a_n) \to 0[/mm] gilt, was bedeutet das
> für [mm]a_n[/mm]?

Möglicherweise, dass die [mm] a_n [/mm] -> 1 gehen ???

> > Der zweite Weg sagt mir gerade nichts.

>  Was sagt die Definition des Grenzwerts denn, wann [mm]a_n \to 1[/mm]
> gilt?

Keine Ahnung!
Sorry es bringt nichts, wenn ich irgendetwas rate.


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Absolute Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 Mo 29.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

es hat ein bisschen gedauert, bis ich antwortete, da ich erst mal ueberlegen musste, was und wie ich das schreibe, was ich sagen will:

> > Korrekt. Wenn nun [mm]\ln(a_n) \to 0[/mm] gilt, was bedeutet das
> > für [mm]a_n[/mm]?
>  
> Möglicherweise, dass die [mm]a_n[/mm] -> 1 gehen ???

"Möglicherweise" ist nett gesagt. Fuer stetige Funktionen gilt:

[mm] $b_n \to [/mm] b [mm] \Rightarrow f(b_n) \to [/mm] f(b)$

Nun setze mal [mm] $b_n [/mm] = [mm] \ln(a_n)$ [/mm] und $f(x) = [mm] e^x$ [/mm]

> >  Was sagt die Definition des Grenzwerts denn, wann [mm]a_n \to 1[/mm]

> > gilt?
>  
> Keine Ahnung!
>  Sorry es bringt nichts, wenn ich irgendetwas rate.

Da hast du grundsaetzlich natuerlich recht. Hier wird dir auch gern geholfen, das setzt allerdings auch etwas Eigeninitiative voraus, die ueber "Ich mach mal einen Schritt mit L'Hopital" hinaus geht.
Die []Definition des Grenzwerts ist eine Grundlage, wenn man mit Folgen und Grenzwerten arbeiten moechte. Wenn du die nicht kennst, ist das zwar schlecht, aber kein Weltuntergang. Allerdings kann ich schon voraussetzen, dass man sich die Zeit nimmt, die Definition dann nachzuschlagen.... das meine ich mit Eigeninitative.
Natuerlich kann ich dir das hier alles klein klein vorkauen, aber ist das Sinn der Sache?

Ich begruesse es sehr, dass du auch den Ansatz mit dem Wurzelkriterium versuchen moechtest, obwohl du ja bereits mit dem Quotientenkriterium einen gangbaren Weg gefunden hast. Umso verwunderter bin ich, dass du dann nicht mehr versuchst, dir auch die fehlenden Grundlagen selbst zu erarbeiten.

In diesem Sinne,
Gono

  

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Absolute Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:53 Di 30.04.2019
Autor: hase-hh


> Hiho,
>  
> es hat ein bisschen gedauert, bis ich antwortete, da ich
> erst mal ueberlegen musste, was und wie ich das schreibe,
> was ich sagen will:
>  
> > > Korrekt. Wenn nun [mm]\ln(a_n) \to 0[/mm] gilt, was bedeutet das
> > > für [mm]a_n[/mm]?
>  >  
> > Möglicherweise, dass die [mm]a_n[/mm] -> 1 gehen ???
>  "Möglicherweise" ist nett gesagt. Fuer stetige Funktionen
> gilt:
>  
> [mm]b_n \to b \Rightarrow f(b_n) \to f(b)[/mm]
>  
> Nun setze mal [mm]b_n = \ln(a_n)[/mm] und [mm]f(x) = e^x[/mm]

[mm] f(\ln(a_n) [/mm] = [mm] e^{\ln(a_n)} [/mm]
  
= [mm] a_n [/mm]  

> > >  Was sagt die Definition des Grenzwerts denn, wann [mm]a_n \to 1[/mm]

> > > gilt?

Die Frage ist, was mir die Definition des Grenzwertes überhaupt bringt. Das bleibt unklar. Entschuldigung.




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Absolute Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 Mi 24.04.2019
Autor: hase-hh

Moin,

zu a)

> Es ist [mm]\bruch{ \wurzel[n]{n!}}{n} = \wurzel[n]{\bruch{ n!}{n^n}} = \wurzel[n]{\bruch{1}{n}\cdot \bruch{2}{n} \cdot \ldots \cdot \bruch{n}{n}}[/mm]
>
> Verwende nun die
> []Abschätzung zwischen geometrischem und arithmetischen Mittel
> um das Gewünschte zu zeigen.

Ich habe also gefunden die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel...


[mm] \wurzel[n]{x_1*x_2*x_3...*x_n} \le \bruch{x_1 +x_2 + x_3 ... +x_n}{n} [/mm]

D.h. wenn ich die linke Seite durch die rechte Seite ersetze, betrachte ich m.W. eine Majorante (richtig) und wenn ich für diese die Konvergenz nachweisen kann, so gilt das dann erst recht für den vorgegebenen Ausdruck.

Anmerkung: [mm] \wurzel[n]{n!} [/mm]  entspricht dem geometrischen Mittel.

[mm] \wurzel[n]{\bruch{n!}{n^n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*\wurzel[n]{n!} [/mm]


[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}*\wurzel[n]{n!} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}*\bruch{x_1 +x_2 + x_3 ... +x_n}{n} [/mm]

  [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}*\bruch{\bruch{n*(n+1)}{2}}{n} [/mm]

  [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+1}{2n} [/mm]  

  [mm] \le \bruch{1}{2} [/mm]

... also konvergiert die Folge, richtig?





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Absolute Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Mi 24.04.2019
Autor: fred97


> Moin,
>  
> zu a)
> > Es ist [mm]\bruch{ \wurzel[n]{n!}}{n} = \wurzel[n]{\bruch{ n!}{n^n}} = \wurzel[n]{\bruch{1}{n}\cdot \bruch{2}{n} \cdot \ldots \cdot \bruch{n}{n}}[/mm]
> >
> > Verwende nun die
> >
> []Abschätzung zwischen geometrischem und arithmetischen Mittel
> > um das Gewünschte zu zeigen.
>  
> Ich habe also gefunden die Ungleichung vom arithmetischen
> und geometrischen Mittel...
>  
>
> [mm]\wurzel[n]{x_1*x_2*x_3...*x_n} \le \bruch{x_1 +x_2 + x_3 ... +x_n}{n}[/mm]
>  
> D.h. wenn ich die linke Seite durch die rechte Seite
> ersetze, betrachte ich m.W. eine Majorante (richtig) und
> wenn ich für diese die Konvergenz nachweisen kann, so gilt
> das dann erst recht für den vorgegebenen Ausdruck.
>  
> Anmerkung: [mm]\wurzel[n]{n!}[/mm]  entspricht dem geometrischen
> Mittel.
>  
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{n!}{n^n}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}*\wurzel[n]{n!}[/mm]
>  
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}*\wurzel[n]{n!} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}*\bruch{x_1 +x_2 + x_3 ... +x_n}{n}[/mm]
>  
> [mm]\le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}*\bruch{\bruch{n*(n+1)}{2}}{n}[/mm]
>  
>  
> [mm]\le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+1}{2n}[/mm]  
>
> [mm]\le \bruch{1}{2}[/mm]

O.K.


>  
> ... also konvergiert die Folge, richtig?

Ich denke, Du meinst, dass die Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n} [/mm] konvergiert. Wenn ja, so stimmts.

Einfacher sieht man die Konvergenz der Reihe so:

[mm] \frac{n!}{n^n} \le \frac{2}{n^2} [/mm] für n [mm] \in \IN. [/mm]

>  
>
>
>  


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Absolute Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 Mi 24.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ich beschränke mich mal auf das "wesentliche Problem", was ich hier sehe, da deine Schritte alle richtig sind.

> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}\cdot{}\wurzel[n]{n!}= \ldots \le \bruch{1}{2}[/mm]

  

> ... also konvergiert die Folge, richtig?

Sofern du dich wirklich auf die Folge  [mm] $\bruch{1}{n}\cdot{}\wurzel[n]{n!}$ [/mm] beziehst, so stimmt die Aussage, dass sie konvergiert, zwar, du kannst sie so aber nicht direkt folgern.

Dafür müsstest du noch zeigen, dass die Folge [mm] $\bruch{1}{n}\cdot{}\wurzel[n]{n!}$ [/mm] überhaupt konvergiert.
Durch deine Schritte hast du bisher nur gezeigt: Falls sie konvergiert, ist der Grenzwert kleiner als  [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

Aber: Da du aber so bereits gezeigt hast, dass fast alle Folgenglieder kleiner als  [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sind, reicht das bereits um auf die absolute Konvergenz der Ausgangsreihe zu schließen, was wir ja eigentlich wollten.
Die de-fakto Konvergenz von [mm] $\bruch{1}{n}\cdot{}\wurzel[n]{n!}$ [/mm] benötigen wir gar nicht.

Darum betrachtet man in der Definition auch den [mm] \limsup [/mm] anstatt den [mm] $\lim$, [/mm] denn ersterer existiert immer.
Falls du in deinen Schritten den [mm] $\lim$ [/mm] durch den [mm] $\limsup$ [/mm] ersetzt, stimmen deine Umformungen noch immer und du ersparst dir die Begründung, warum der Grenzwert existiert.

Gruß,
Gono


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