Absolute Konvergenz < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Sa 07.09.2013 | | Autor: | MaxHBB |
| Aufgabe | | Sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty} z_n [/mm] eine komplexe Reihe. Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} z_n [/mm] genau dann absolut konvergent ist, wenn die beiden Reihen [mm] \summe_{n=0}^{\infty} Re(z_n) [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty} Im(z_n) [/mm] absolut konvergent sind. |
Funktioniert das so?
[mm] \sum_{n=0}^{\infty} z_n [/mm] ist absolut konvergent
[mm] \Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \left| z_n \right| \in \IR
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \wurzel{Re^2z + Im^2z} \in \IR
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} Re^2 \!z [/mm] + [mm] Im^2 \!z \in \IR
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} Re^2 \!z [/mm] + [mm] \sum_{n=0}^{\infty} Im^2 \!z \in \IR
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \left| Re\,z \right| [/mm] + [mm] \sum_{n=0}^{\infty} \left| Im\,z \right| \in \IR
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \left| Re\,z \right| \in \IR \wedge \sum_{n=0}^{\infty} \left| Im\,z \right| \in \IR
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Sa 07.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]\summe_{n=0}^{\infty} z_n[/mm] eine komplexe Reihe. Zeigen
> Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} z_n[/mm] genau dann
> absolut konvergent ist, wenn die beiden Reihen
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} Re(z_n)[/mm] und [mm]\summe_{n=0}^{\infty} Im(z_n)[/mm]
> absolut konvergent sind.
> Funktioniert das so?
Hallo,
so funktioniert das schon mal generell nicht.
So lange du nicht für jeden deiner Schritte eine Begründung der Durchführbarkeit angeben kannst, ist das nur eine willkürliche Aneinanderreihung von genau-dann-wenn-Aussagen, bei denen der Wunsch Vater des Gedanken ist.
Du hast schon in eine der beiden Richtungen genügend Begründungsarbeit zu leisten - erst danach solltest du dir Gedanken machen, ob das auch so (oder anders?) in der Rückrichtung funktioniert.
Gruß Abakus
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} z_n[/mm] ist absolut konvergent
> [mm]\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \left| z_n \right| \in \IR[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \wurzel{Re^2z + Im^2z} \in \IR[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} Re^2 \!z[/mm] + [mm]Im^2 \!z \in \IR[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} Re^2 \!z[/mm] +
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} Im^2 \!z \in \IR[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \left| Re\,z \right|[/mm]
> + [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \left| Im\,z \right| \in \IR[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \left| Re\,z \right| \in \IR \wedge \sum_{n=0}^{\infty} \left| Im\,z \right| \in \IR[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Sa 07.09.2013 | | Autor: | MaxHBB |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hier ein neuer Versuch mit Erklärungen:
$ \sum_{n=0}^{\infty} z_n $ ist absolut konvergent
$ \Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \left| z_n \right| \in \IR $
Erklärung: Die Aussagen sind äquivalent, da eine reelle oder komplexe Reihe genau dann absolut konvergent ist, wenn $ \sum_{n=0}^{\infty} \left| z_n \right| < \infty $, also $ \sum_{n=0}^{\infty} \left| z_n \right| \in \IR $.
$ \sum_{n=0}^{\infty} \left| z_n \right| \in \IR $
$ \Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \wurzel{Re^2z_n + Im^2z_n} \in \IR $
Erklärung:
Der Betrag einer komplexen Zahl $ z $ ist $ \wurzel{Re^2(z) + Im^2(z) $, deshalb lässt sich $ z_n $ durch $ \wurzel{Re^2z_n + Im^2z_n} $ ersetzen.
$ \sum_{n=0}^{\infty} \wurzel{Re^2z_n + Im^2z_n} \in \IR $
$ \Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} (Re^2 \!z_n + Im^2 \!z_n) \in \IR $
Erklärug: Es gilt $ a \in \IR \Rightarrow a^2 \in \IR $.
Umgekehrt existiert die Wurzel der Summe zweier Quadratzahlen.
$ \sum_{n=0}^{\infty} (Re^2 \!z_n + Im^2 \!z_n) \in \IR $
$ \Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \left| Re\,z_n \right| + \sum_{n=0}^{\infty} \left| Im\,z _n\right| \in \IR $
Erklärung: Re^2 \!z und Im^2 \!z sind Elemente von \IR_0^+, deshalb existiert deren Wurzel. Die Aufteilung der einen Summe in zwei Summen ändert aufgrund des Kommutativgesetztes der Addition nichts am Ergebnis.
Umgekehrt gilt wieder $ a \in \IR \Rightarrow a^2 \in \IR $.
$ \sum_{n=0}^{\infty} \left| Re\,z_n \right| + \sum_{n=0}^{\infty} \left| Im\,z_n \right| \in \IR $
$ \Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \left| Re\,z_n \right| \in \IR \wedge \sum_{n=0}^{\infty} \left| Im\,z_n \right| \in \IR $
Erklärung: Real- und Imaginärteile komplexer Zahlen sind immer reell.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:40 So 08.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hier ein neuer Versuch mit Erklärungen:
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} z_n[/mm] ist absolut konvergent
> [mm]\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \left| z_n \right| \in \IR[/mm]
>
> Erklärung: Die Aussagen sind äquivalent, da eine reelle
> oder komplexe Reihe genau dann absolut konvergent ist, wenn
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \left| z_n \right| < \infty [/mm], also
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \left| z_n \right| \in \IR [/mm].
>
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \left| z_n \right| \in \IR[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \wurzel{Re^2z_n + Im^2z_n} \in \IR[/mm]
>
> Erklärung:
> Der Betrag einer komplexen Zahl [mm]z[/mm] ist [mm]\wurzel{Re^2(z) + Im^2(z) [/mm],
> deshalb lässt sich [mm]z_n[/mm] durch [mm]\wurzel{Re^2z_n + Im^2z_n}[/mm]
> ersetzen.
>
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \wurzel{Re^2z_n + Im^2z_n} \in \IR[/mm]
>
> [mm]\red{\,\Leftrightarrow\,} \sum_{n=0}^{\infty} (Re^2 \!z_n + Im^2 \!z_n) \in \IR[/mm]
>
> Erklärug: Es gilt [mm]a \in \IR \Rightarrow a^2 \in \IR [/mm].
die zuvor genannte Äquivalenz [mm] ($\red{\Leftrightarrow}$) [/mm] ist unsinnig: Es gilt etwa [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}= \infty \notin \IR,$
[/mm]
aber
[mm] $\underbrace{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}}_{< \infty} \in \IR.$
[/mm]
(Der genaue Reihenwert der letzten Reihe ist [mm] $\pi^2/6$ [/mm] - siehe Fourieranalysis!)
Und bedenke, dass Deine Erklärungen sich auf REIHENKONVERGENZ beziehen müssen!
Klar ist eigentlich (ich schreibe nur noch [mm] $\sum$ [/mm] anstatt [mm] $\sum_{n=0}^\infty$)
[/mm]
[mm] $\sum |z_n|$ [/mm] absolut kgt [mm] $\iff$ $\sum \sqrt{{x_n}^2+{y_n}^2} [/mm] < [mm] \infty,$
[/mm]
wobei [mm] $x_n:=\text{Re}(z_n)$ [/mm] und [mm] $y:=\text{Im}(z_n).$ [/mm] Das ist reine Definition von [mm] $|z|\,,$ [/mm]
bzw. die der absoluten Kgz.
Nun zu der Aussage:
Dass aus der abs. Kgz. von [mm] $\sum z_n$ [/mm] die abs. Kgz. sowohl von [mm] $\sum x_n$ [/mm] als auch
[mm] $\sum y_n$ [/mm] folgt, ist eigentlich ziemlich trivial:
Bedenke, dass für $z=x+iy [mm] \in \IC=\IR+i\IR$ [/mm] halt $|x| [mm] \,\le\, [/mm] |z|$ und $|y| [mm] \,\le\, [/mm] |z|$ gilt (Beweis?), und
der Rest folgt dann mit Majo.. (Nicht Mayo!)
Zu beweisen ist also noch [mm] ($z_n=x_n+iy_n \in \IC=\IR+i\IR$):
[/mm]
Sind [mm] $\sum x_n$ [/mm] und [mm] $\sum y_n$ [/mm] absolut kgt., dann ist auch [mm] $\sum z_n$ [/mm] abs. kgt..
Seien also [mm] $\sum x_n$ [/mm] und [mm] $\sum y_n$ [/mm] abs. kgt., also [mm] $\sum |x_n| [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] und [mm] $\sum |y_n| [/mm] < [mm] \infty.$
[/mm]
Wir würden jetzt gerne [mm] $\sum |z_n|$ [/mm] abschätzen.
Tipp:
Es gilt für $z=x+iy [mm] \in \IR+i\IR=\IC$:
[/mm]
[mm] $|z|=\sqrt{x^2+y^2} \le \sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}=|x|+|y|\,.$
[/mm]
(Warum? Naja, für $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] ist:
[mm] $x^2+y^2=|x|^2+|y|^2 \,\le|x|^2\,+\,2|x|\;|y|\,+\,|y|^2\,=\,(\,|x|\,+\,|y|\,)^2,$
[/mm]
und [mm] $\sqrt{\cdot}\colon [0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] ist (streng) monoton wachsend...)
Bekommst Du den Rest damit hin?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:58 So 08.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Sei [mm]\summe_{n=0}^{\infty} z_n[/mm] eine komplexe Reihe. Zeigen
> > Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} z_n[/mm] genau
> dann
> > absolut konvergent ist, wenn die beiden Reihen
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} Re(z_n)[/mm] und [mm]\summe_{n=0}^{\infty} Im(z_n)[/mm]
>
> > absolut konvergent sind.
> > Funktioniert das so?
> Hallo,
> so funktioniert das schon mal generell nicht.
> So lange du nicht für jeden deiner Schritte eine
> Begründung der Durchführbarkeit angeben kannst, ist das
> nur eine willkürliche Aneinanderreihung von
> genau-dann-wenn-Aussagen, bei denen der Wunsch Vater des
> Gedanken ist.
> Du hast schon in eine der beiden Richtungen genügend
> Begründungsarbeit zu leisten - erst danach solltest du dir
> Gedanken machen, ob das auch so (oder anders?) in der
> Rückrichtung funktioniert.
> Gruß Abakus
> > [mm]\sum_{n=0}^{\infty} z_n[/mm] ist absolut konvergent
> > [mm]\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \left| z_n \right| \in \IR[/mm]
>
> >
> > [mm]\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \wurzel{Re^2z + Im^2z} \in \IR[/mm]
>
> >
> > [mm]\red{\Leftrightarrow} \sum_{n=0}^{\infty} Re^2 \!z[/mm] + [mm]Im^2 \!z \in \IR[/mm]
nur mal nebenbei: Während man aus [mm] $\sum |a_n| [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] tatsächlich [mm] $\sum |a_n|^2 [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] folgern kann
(denn für alle $0 [mm] \le |a_n| \le [/mm] 1$ ist $0 [mm] \le |a_n|^2 \le |a_n|$), [/mm] geht umgekehrtes i.a. schief. (Man nehme
[mm] $\sum_{n=1}^\infty 1/n^2 [/mm] < [mm] \infty,$ [/mm] aber [mm] $\sum_{n=1}^\infty [/mm] 1/n [mm] =\infty.$)
[/mm]
Das [mm] $\red{\Leftrightarrow}$ [/mm] kann also nur durch ein [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ersetzt werden. Allerdings bringt
das dann, siehe obigen Einwand, später nichts, weil man halt eben etwa
aus der Kgz. von [mm] $\sum {x_n}^2$ [/mm] halt nicht die von [mm] $\sum \sqrt{{x_n}^2}$ [/mm] erhält.
Deswegen gibt man vielleicht am Besten den Tipp:
Man begründe für $z=x+iy [mm] \in \IR+i\IR=\IC$ [/mm] die Abschätzungen
[mm] $\left.\begin{matrix}|x|\\|y|\end{matrix}\right\}\;\le\;|z|\;=\;\sqrt{x^2+y^2}\;\le\,\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2} \;=\;|x|\,+\,|y|.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 So 08.09.2013 | | Autor: | MaxHBB |
Herzlichen Dank, ich denke, damit komme ich weiter.
Ist auch nicht so, dass ich das jetzt unbedingt machen müsste, ich mache das nur zum Spaß.
Gruß,
Max
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