Absolute Konvergenz in \IQ < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gesucht ist eine Reihe in den rationalen Zahlen [mm] \IQ, [/mm] die (in [mm] \IQ) [/mm] absolut konvergiert, aber (in [mm] \IQ) [/mm] nicht konvergiert. |
Hey :)
ich stelle mir seit längerem die oben genannte Frage, aber ich komme auf kein Beispiel dafür. Das Problem ist das Folgende: Es gilt der folgende Satz: Eine Menge ist vollständig, g.d.w. jede absolut konvergente Reihe konvergiert (s. jedes ausführliche Funktionalanalysis-Buch). Da [mm] \IQ [/mm] nicht vollständig ist, heißt das ja, dass es in [mm] \IQ [/mm] eine Reihe geben muss, deren absoluter Grenzwert in [mm] \IQ [/mm] liegt, der Grenzwert selber aber in [mm] \IR\setminus\IQ [/mm] liegt.
Ich habe mir schon viele Gedanken darüber gemacht, habe mir bekannte Folgen angeguckt, die gegen e, [mm] \pi [/mm] oder [mm] \wurzel{2} [/mm] gehen, aber dabei bin ich auch nicht weitergekommen. Hat jemand eine Idee?
Ich weiß, dass das eine Frage ist, die schwieriger ist als sie im ersten Moment klingt und es wahrscheinlich auch kein "einfaches" Beispiel dafür gibt. Mein Prof konnte mir auch kein Beispiel nennen, aber es muss ja eins geben! Ich bin über jede Hilfe dankbar!
Gruß M.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Di 04.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gesucht ist eine Reihe in den rationalen Zahlen [mm]\IQ,[/mm] die
> (in [mm]\IQ)[/mm] absolut konvergiert, aber (in [mm]\IQ)[/mm] nicht
> konvergiert.
> Hey :)
>
> ich stelle mir seit längerem die oben genannte Frage, aber
> ich komme auf kein Beispiel dafür. Das Problem ist das
> Folgende: Es gilt der folgende Satz: Eine Menge ist
> vollständig, g.d.w. jede absolut konvergente Reihe
> konvergiert (s. jedes ausführliche
> Funktionalanalysis-Buch).
Du zitierst falsch. In obigem Satz liegen reelle oder komplexe normierte Räume zugrunde !
> Da [mm]\IQ[/mm] nicht vollständig ist,
> heißt das ja, dass es in [mm]\IQ[/mm] eine Reihe geben muss, deren
> absoluter Grenzwert in [mm]\IQ[/mm] liegt, der Grenzwert selber aber
> in [mm]\IR\setminus\IQ[/mm] liegt.
Trotzdem interessant. Ich werde mal versuchen, so ein Beispiel zu finden.
FRED
> Ich habe mir schon viele Gedanken darüber gemacht, habe
> mir bekannte Folgen angeguckt, die gegen e, [mm]\pi[/mm] oder
> [mm]\wurzel{2}[/mm] gehen, aber dabei bin ich auch nicht
> weitergekommen. Hat jemand eine Idee?
> Ich weiß, dass das eine Frage ist, die schwieriger ist
> als sie im ersten Moment klingt und es wahrscheinlich auch
> kein "einfaches" Beispiel dafür gibt. Mein Prof konnte mir
> auch kein Beispiel nennen, aber es muss ja eins geben! Ich
> bin über jede Hilfe dankbar!
>
> Gruß M.
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Das stimmt natürlich... Heißt das, dass in diesem Fall der Satz gar nicht anwendbar ist? Weil [mm] \IQ [/mm] nicht reell oder komplex ist?
Habe jetzt ein Beispiel gefunden, allerdings kein schönes (und ich habe mir keinen Beweis überlegt): Laut Wikipedia [mm] (http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_2, [/mm] mit unterstrichen, keine Ahnung, wie man das hier rauskriegt) kann man [mm] \wurzel{2} [/mm] entwickeln, indem man [mm] \wurzel{1+x} [/mm] um x=1 taylorentwickelt. Dann gilt:
[mm] \sqrt{2} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{(2k-3)!!}{(2k)!!} [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2\cdot4} [/mm] + [mm] \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} [/mm] - [mm] \frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} [/mm] + [mm] \cdots.
[/mm]
Der absolute Betrag der Reihe konvergiert (laut Wolframalpha) in [mm] \IQ... [/mm] Wenn du dir noch mehr Gedanken machen willst, dann gerne :) Sonst ist das so auch in Ordnung.
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Hiho,
> Der absolute Betrag der Reihe konvergiert (laut Wolframalpha)
also bei mir nicht, da kommt keine Aussage über die Konvergenz zustande.
Gruß,
Gono.
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