Abstände < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:12 So 30.11.2014 | | Autor: | Skyrula |
| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel, wie man experimentell bestimmen kann, ob der Abstand zwischen zwei Punkten euklidisch oder manhattansch ist. |
Hallo liebe Community,
wie man einen Abstand durch Euklid und Manhattan definiert, weiß ich und ist auch leicht nachzuvollziehen. Der Hauptunterschied zwischen den beiden Definitionen liegt darin, dass "Euklid=Luftlinie" und "Manhattan=Schachbrett-Linie".
Ich wüsste nicht, wie ich experimentell beweisen könnte das es entweder das eine oder das andere ist, weil man das im Grunde doch auf Anhieb sehen kann oder nicht?
Vielen Dank für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 So 30.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Wenn ich mit [mm] d_1 [/mm] die Manhattan-Metrik und mit [mm] d_2 [/mm] die euklidische Metrik bezeichne , so könnte vielleicht das helfen:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}d_1(a,b) \le d_2(a,b) \le d_1(a,b)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 So 30.11.2014 | | Autor: | Skyrula |
Hey,
erstmal vielen Dank für deine Antwort! Könntest du zu deiner HIlfestellung vielleicht noch 1-2 Sätze schreiben um die Ungleichung zu erklären?
Vielen Dank
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 So 30.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey,
>
> erstmal vielen Dank für deine Antwort! Könntest du zu
> deiner HIlfestellung vielleicht noch 1-2 Sätze schreiben
> um die Ungleichung zu erklären?
es war [mm] $d_1(a,b)=\sum_{k=1}^n |a_k-b_k|$ [/mm] und [mm] $d_2(a,b)=\sqrt{\sum_{k=1}^n |a_k-b_k|^2}$ [/mm] und daher ist
[mm] $d_2(a,b)=\sqrt{\sum_{k=1}^n |a_k-b_k|^2}$ $\le$ $\sum_{k=1}^n \sqrt{|a_k-b_k|^2}=\sum_{k=1}^n |a_k-b_k|=d_1(a,b)$
[/mm]
klar. (Hinweis: Begründe [mm] $\sqrt{\sum_{k=1}^n |x_k|}$ $\le$ $\sum_{k=1}^n \sqrt{|x_k|}$, [/mm] falls nicht bekannt!)
Zur ersten Ungleichung (ich glaube, da sollte [mm] $\frac{1}{\sqrt{n}}d_1(a,b) \le d_2(a,b)$ [/mm] stehen):
Es gilt
[mm] $\frac{1}{\sqrt{n}}d_1(a,b)$ $\le$ $d_2(a,b)$
[/mm]
[mm] $\iff$ $\left(\sum_{k=1}^n |a_k-b_k|\right)^2$ $\le$ $n*\sum_{k=1}^n |a_k-b_k|^2\,.$
[/mm]
Diese letzte Ungleichung impliziert also die (korrigierte) Behauptung.
Wie zeigt man sowas? Man nehme Cauchy-Schwarz:
[mm] $\sum_{k=1}^n |x_ky_k|$ $\le$ $\sqrt{\sum_{k=1}^n |x_k|^2}$ $\,*\,$ $\sqrt{\sum_{k=1}^n |y_k|^2}\,,$
[/mm]
und setze dort etwa [mm] $x_k:=|a_k-b_k|$ [/mm] und [mm] $y_k:=1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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