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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Abstand
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Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Sa 08.03.2008
Autor: Beliar

Aufgabe
Bestimme die Stelle an der der Abstand von Ober und Unterlippenrand am größten ist.Wie groß ist dieser Abstand?

Hallo, die Lippenaufgabe, Ich versuche den Abstand zu ermitteln hänge aber fest. Ich fang mal an.
Oberlippe= f(x)= [mm] -\bruch{1}{64}x^{4}+\bruch{1}{8}x^{2}+2 [/mm]
Unterlippe= g(x)= [mm] \bruch{1}{8}x^{2}-2 [/mm]
bilde eine Differenzfunktion:
d(x)= f(x) - g(x)
d(x)= [mm] \bruch{256-x^4}{64} [/mm] das leite ich dann ab
d'(x)=- [mm] 0,0625x^3 [/mm] jetzt versuche ich den Wert für x zu bekommen.
[mm] x(-0,0625x^2)=0 [/mm]
und ab hier weiss ich nicht mehr weiter.
wer kann mir da etwas helfen?
Danke für jeden Tip
Beliar

        
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Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Sa 08.03.2008
Autor: steppenhahn

Du hast alles richtig berechnet.

[mm] a*x^{3}, [/mm] egal mit welchem a, wird nur einmal Null, und zwar bei x = 0.
D.h. der größte Abstand liegt bei x = 0.

Speziell bei dir kann man das auch so ausrechnen:

[mm]-\bruch{1}{16}*x^{3} = 0[/mm]

Mal (-16):

[mm]\gdw x^{3} = 0[/mm]

Dritte Wurzel:

[mm]\gdw x = 0[/mm].


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Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:14 Sa 08.03.2008
Autor: Beliar

Die Frage war eigentlich wie ich jetzt weiterrechen muss um den Abstand zu bekommen.

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Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 Sa 08.03.2008
Autor: MathePower

Hallo Beliar,

> Die Frage war eigentlich wie ich jetzt weiterrechen muss um
> den Abstand zu bekommen.

Berechne

[mm]d\left(0\right)=f\left(0\right)-g\left(0\right)[/mm]

Gruß
MathePower

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Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:07 So 09.03.2008
Autor: Beliar

wenn ich d(0)=f(0)-g(0) rechne bekomme ich wegen der null doch null heraus und damit keinen großen Abstand

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Abstand: Nicht ganz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:12 So 09.03.2008
Autor: Infinit

Hallo Beliar,
die x-Koordinate soll den Wert Null haben, aber setze doch mal x= 0 in Deine beiden Ausgangsgleichungen ein. Da kommt keineswegs Null raus, denn es sind auch konstante Terme darin enthalten.
Viele Grüße,
Infinit

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Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:19 So 09.03.2008
Autor: Beliar

das wären dann 4. Ist dann mein größter Abstand bei x=0 und dieser Abstand beträgt dann 4 Längeneinheiten?

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Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:22 So 09.03.2008
Autor: Teufel

Hallo!

So ist es. (Das könnte man jetzt aber noch mit dem Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung nachweisen!)

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Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:41 So 09.03.2008
Autor: Beliar

Noch eine letzte Frage, gibt es ein Merkblatt zum berechen des Abstands

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Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:48 So 09.03.2008
Autor: steppenhahn

So richtig klar ist mir nicht, was du möchtest aber ich kann ja mal zusammenfassen was wir gemacht haben:

1. Gegeben sind zwei Funktionen f(x) und g(x); man soll nun bestimmen, wann diese in einem bestimmten Intervall den größten (kleinsten) Abstand zueinander haben.

2. Bilde die Funktion d(x) = f(x) - g(x) falls f(x) stets größer g(x), ansonsten bilde d(x) = g(x) - f(x).

3. Leite d(x) ab und setze mit 0 gleich --> Stelle nach x um.
(Mit anderen Worten: Finde die Extremstellen von d(x)).

4. Berechne nun den Extrempunkt. Bis jetzt hast du nur eine Extremstelle, d.h. den x-Wert des Extrempunkts. Den y-Wert erhältst du, wenn du den x-Wert der Extremstelle in d(x) einsetzt.

5. Der y-Wert des Extrempunkts ist der größte/kleinste Abstand zwischen den Funktionen f(x) und g(x).

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Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 So 09.03.2008
Autor: Beliar

Ja so etwas meinte ich, naja mache Abivorbereitung. Ist um Unsicherheiten abzubauen.Möchte aber noch etwas gerne wissen. Und zwar: beim Aufstellen meiner d(x) Funktion,
berechne ich f(x)-g(x)
[mm] (-1/64x^4 [/mm] + [mm] 1/8x^2 [/mm] -2) - [mm] (1/8x^2 [/mm] +2)=
ich bekomme [mm] -1/64x^4 [/mm] heraus, da sich 1/8 und die 2 aufheben
mit dem PC ist das Ergebnis:
[mm] \bruch{256-x^4}{64} [/mm] was ja auch [mm] (4-x^4)ist,Was [/mm] mache ich da falsch?

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Abstand: Minuszeichen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 So 09.03.2008
Autor: Infinit

Hallo Beliar,
die 2 hebt sich nicht heraus, beachte das Minuszeichen vor dem zweiten Klammerausdruck, das ergibt also -2 - 2= -4.
Viele Grüße,
Infinit


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