Abstand Gerade Ursprung < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Welche beiden Punkte der Geraden g : x = (3,−6, [mm] 0)^{T} [/mm] + (−1, 4, [mm] 1)^{T} [/mm] haben den Abstand d=3 vom Ursprung |
Hallo Leute!
Ich hatte die Idee eine Hilfsebene mit dem Richtigungsvektor der Geraden als Normalenvektor zu benutzen.
Wenn ich dann die HNF verwende erhalte ich dann den kürzesten Abstand von der Gerade zum Ursprung.
Wie erhalte ich aber 2 Punkte auf der Gerade mit dem Abstand d=3 zum Ursprung?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Do 25.11.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Tag!
> Welche beiden Punkte der Geraden g : x = (3,−6, [mm]0)^{T}[/mm] +
> (−1, 4, [mm]1)^{T}[/mm] haben den Abstand d=3 vom Ursprung
...
1. Ein Punkt auf der Geraden
[mm] $g:\vec{x}=\vektor{3\\-6\\0}+r \cdot \vektor{-1\\4\\1}$
[/mm]
wird durch einen Wert von r erzeugt.
2. Die Entfernung eines Geradenpunktes zum Ursprung stimmt mit der Länge des Ortsvektors des Geradenpunktes überein.
Salve
Pappus
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Danke Pappus.
Ich setze dann einfach
[mm] 3=|\vektor{3-\lambda\\-6+4\lambda\\+\lambda}|
[/mm]
[mm] 3=|3-\lambda+|-6+4\lambda| +|\lambda|
[/mm]
hmmm,
wenn ich die Betragsstriche nicht beachte erhalte ich als Lösungsmenge [mm] \lambda=\bruch{6}{4}
[/mm]
Nach Prüfen scheint, dass auch das richtige Ergebnis zu sein.
Aber da hier Betragsstriche in der Rechnung vorhanden sind müsste ich eine Fallunterscheidung machen. Einmal für den Fall [mm] \lambda\ge0 [/mm] und [mm] \lambda<0.
[/mm]
Könnte mir vllt jemand die Rechnung mit Betragsstrichen an diesem Beispiel erklären.
Würde mich über Hilfe freuen.
Gruß
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Hallo defjam123,
> Danke Pappus.
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> Ich setze dann einfach
>
> [mm]3=|\vektor{3-\lambda\\-6+4\lambda\\+\lambda}|[/mm]
>
> [mm]3=|3-\lambda+|-6+4\lambda| +|\lambda|[/mm]
Der Betrag des Vektors [mm]\vektor{3-\lambda\\-6+4\lambda\\+\lambda}[/mm] ist so definiert:
[mm]\vmat{\vektor{3-\lambda\\-6+4\lambda\\+\lambda}}=\wurzel{\left(3-\lambda\right)^{2}+\left(-6+4*\lambda\right)^{2}+\lambda^{2}}[/mm]
Löse demnach die Gleichung
[mm]3=\wurzel{\left(3-\lambda\right)^{2}+\left(-6+4*\lambda\right)^{2}+\lambda^{2}}[/mm]
bzw.
[mm]9=\left(3-\lambda\right)^{2}+\left(-6+4*\lambda\right)^{2}+\lambda^{2}[/mm]
nach [mm]\lambda[/mm] auf.
>
> hmmm,
> wenn ich die Betragsstriche nicht beachte erhalte ich als
> Lösungsmenge [mm]\lambda=\bruch{6}{4}[/mm]
> Nach Prüfen scheint, dass auch das richtige Ergebnis zu
> sein.
> Aber da hier Betragsstriche in der Rechnung vorhanden sind
> müsste ich eine Fallunterscheidung machen. Einmal für den
> Fall [mm]\lambda\ge0[/mm] und [mm]\lambda<0.[/mm]-+
> Könnte mir vllt jemand die Rechnung mit Betragsstrichen
> an diesem Beispiel erklären.
> Würde mich über Hilfe freuen.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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