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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Abstand Punkt / Ebene
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Abstand Punkt / Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Mi 22.09.2004
Autor: MichiB.

    Hallo
    Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter.

   Bestimmen Sie den Abstand d des Punktes P ( -4 / 2 / 3) von der in Hess. Normalenform
   gegebenen  Ebene          
                                          -4/5
                                     E:    0      * x  -3 =0
                                           3/5


  Würde ich nicht wenn ich den Punkt für x einsetze und ausrechne das Ergebnis erhalten?

   Hätte dann (Wurzel aus 13,48)    - 3


Also 0,67 LE.   Kann mir nicht vorstellen das das richtig ist.

Würde mich sehr freuen wenn mir jemand helfen könnte


  Danke
  Michael
    

        
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Abstand Punkt / Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Mi 22.09.2004
Autor: Spitfire

sorry, war fehlerhaft
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Abstand Punkt / Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:16 Mi 22.09.2004
Autor: MichiB.



  Ja es ist aber doch die Hessesche Normalenform der Ebene gebeben.
  Meiner Meinung nach kann man hier doch den Punkt als Ortsvektor einsetzen.

  Oder nicht?

  Würde dann doch den Betrag des Abstandes von dem Punkt zur Ebene bekommen.

  

    Gruß Michael

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Abstand Punkt / Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Mi 22.09.2004
Autor: Paulus

Hallo Michael

ja, du hast völli recht! Bei der Hesseschen Normalform ergibt irgend ein Punkt in die Gleichung eingesetzt den Abstand zwischen der Ebene und diesem Punkt!

Siehe dazu den Lösungsvorschlag von ladislaraudu!

Auch die Lösungsweg von Spitfire ist korrekt. Je nachdem, wie die Ebenengleichung gegeben ist, kann man diesen oder jenen Weg wählen.


Mit lieben Grüssen

Paul

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Abstand Punkt / Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 Mi 22.09.2004
Autor: ladislauradu

Hallo Michael!

Um den Abstand zwischen einem Punkt un eine Ebene zu berechnen, musst du die Koordinaten des Punktes in die Gleichung der Ebene in Hesseschen Normalform einsetzen. Wenn der Punkt in der Ebene liegt, erhältst du null, sonst erhältst du den Abstand (der Abstand ist ja null für alle Punkte der Ebene).
In deinem Fall:

[mm]d=\vektor{-\bruch{4}{5} \\ 0 \\ \bruch{3}{5}}*\vec{x}-3=\vektor{-\bruch{4}{5} \\ 0 \\ \bruch{3}{5}}*\vektor{-4 \\ 2 \\ 3}-3=\left(-\bruch{4}{5}\right)*(-4)+0*2+\left(\bruch{3}{5}\right)*3-3=\bruch{16}{5}+\bruch{9}{5}-3=\bruch{25}{5}-3=2[/mm]

Schöne Grüße, :-)
Ladis

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