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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Mo 01.03.2010 | | Autor: | m4rio |
| Aufgabe | Gegeben sind die Ebene E: x1-2x2 + 2x3 = 8 und der Punkt A (-2/1/-3).
a) BEstimmen Sie den Fußpunkt des Lotes vom Punkt A auf die Ebene E.
b) Welcher Punkt B [mm] (\not= [/mm] A) der Lotgeraden hat denselben Abstand von der EBene E wie der Punkt A? BEstimmen SIe seine Koordinaten. Müssen Sie dazu den Abstand berechnen?
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Hallo,
zunächst zu a)
ersteinmal bestimme ich den [mm] \vec{n}, [/mm] dessen Koordinaten ich in der Ebenengleichung ablesen kann und den ich beim Bilden der Lotgeradengleichung als richtungsvektor nehme, da diese ja orthogonal zur Ebene ist ... (richtig so?)
[mm] \vec{n}=\vektor{1\\-2\\2}
[/mm]
Nun kann ich mit Hilfe des Punktes A (-2/1/-3) die Geradengleichung aufstellen
x = [mm] \vektor{-2\\1\\-3} [/mm] + r [mm] \vektor{1\\-2\\2}
[/mm]
als nächstes zerlege ich diese Lotgeradengleichung nach x1,x2,x3
x1 = -2 + r
x2 = 1 -2r
x3 = -3 +2r
diese setze ich in die Ebenengleichung für die entsprechenden x werte ein
(-2 +r) + -2(1 - 2r) + 2(-3 +2r) = 8
9r = 18
r = 2
den Parameterwert setze ich nun in die Geradengleichung ein
x = [mm] \vektor{-2\\1\\-3} [/mm] + 2 * [mm] \vektor{1\\-2\\2}
[/mm]
und bekomme den Lotfußpunt [mm] \vektor{0\\-3\\1} [/mm] heraus
Bei b) weiß ich leider nicht, wie ich herangehen muss... plz help
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mo 01.03.2010 | | Autor: | m4rio |
keiner ne Ahnung?
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Die Lotgerade wird an der Ebene gespiegelt...der Punkt B liegt von A aus gesehen hinter der Ebene.
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> Gegeben sind die Ebene E: x1-2x2 + 2x3 = 8 und der Punkt A
> (-2/1/-3).
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> a) BEstimmen Sie den Fußpunkt des Lotes vom Punkt A auf
> die Ebene E.
>
> b) Welcher Punkt B [mm](\not=[/mm] A) der Lotgeraden hat denselben
> Abstand von der EBene E wie der Punkt A? BEstimmen SIe
> seine Koordinaten. Müssen Sie dazu den Abstand berechnen?
>
>
> Hallo,
>
> zunächst zu a)
>
> ersteinmal bestimme ich den [mm]\vec{n},[/mm] dessen Koordinaten ich
> in der Ebenengleichung ablesen kann und den ich beim Bilden
> der Lotgeradengleichung als richtungsvektor nehme, da diese
> ja orthogonal zur Ebene ist ... (richtig so?)
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{1\\-2\\2}[/mm]
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> Nun kann ich mit Hilfe des Punktes A (-2/1/-3) die
> Geradengleichung aufstellen
>
>
> x = [mm]\vektor{-2\\1\\-3}[/mm] + r [mm]\vektor{1\\-2\\2}[/mm]
>
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>
> als nächstes zerlege ich diese Lotgeradengleichung nach
> x1,x2,x3
>
> x1 = -2 + r
>
> x2 = 1 -2r
>
> x3 = -3 +2r
>
>
> diese setze ich in die Ebenengleichung für die
> entsprechenden x werte ein
>
> (-2 +r) + -2(1 - 2r) + 2(-3 +2r) = 8
>
> 9r = 18
>
> r = 2
>
> den Parameterwert setze ich nun in die Geradengleichung ein
>
> x = [mm]\vektor{-2\\1\\-3}[/mm] + 2 * [mm]\vektor{1\\-2\\2}[/mm]
>
>
> und bekomme den Lotfußpunt [mm]\vektor{0\\-3\\1}[/mm] heraus
>
>
> Bei b) weiß ich leider nicht, wie ich herangehen muss...
> plz help
>
Die lotgerade geht doch durch die Ebene oder? Welcher andere Punkt auf der Geraden hat denn den gleichen Abstand von der Ebene wie A?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mo 01.03.2010 | | Autor: | m4rio |
nun ja, denke, wenn man die Lot gerade an der Ebene spiegelt, bekommt man auf der anderen seite einen gleichwertigen Punkt... keine Ahnung wie man dies allerdings berechnet
i.d. Aufgabenstellung ist ja allerdings auch angegeben, dass man anscheinend auch gar nicht viel rechnen muss,...
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> nun ja, denke, wenn man die Lot gerade an der Ebene
> spiegelt, bekommt man auf der anderen seite einen
> gleichwertigen Punkt... keine Ahnung wie man dies
> allerdings berechnet
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> i.d. Aufgabenstellung ist ja allerdings auch angegeben,
> dass man anscheinend auch gar nicht viel rechnen muss,...
Stimmt, den Abstand hast du ja schon berechnet. (r = 2). Nun also vom Lotfusspunkt noch mal 2 entlang des Einheitsvektors und schon hast du B.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mo 01.03.2010 | | Autor: | m4rio |
hmm, weiß gerade nicht, wo ich den EInheitsvektor habe...
würde spontan die 2 & -2 in [x * [mm] 1/\vmat{\vec{n}} [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] ] einsetzen....
mhh, ne einfachere Methode wäre mir natürlich willkommener
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Sorry, mein Fehler. Das sollte entlang des Normalenvektors heissen.....Freudsche Fehlleistung.
Entlang der Lotgeraden von A 2 Einheiten bis zur Ebene und dann halt noch mal Einheiten bis zu B.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mo 01.03.2010 | | Autor: | m4rio |
kann sein, dass ich etwas schwer von begriff bin, verstehe es allerdings so, dass ich in die Lotgeradenfunktion 2 einsetze, um vom Punkt bis zum Lotfuß zu gelangen...
würde ich jetzt 4 einsetzen, müsste ich doch zu Punkt B gelangen... sehe ich das richtig?
x = [mm] \vektor{-2\\1\\-3} [/mm] + 4 [mm] \vektor{1\\-2\\2}
[/mm]
= [mm] \vektor{2\\-7\\5} [/mm]
B = (2/-7/5) ?
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Jupp, ganz einfach oder? Manchmal will man es sich unnötig kompliziert machen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mo 01.03.2010 | | Autor: | m4rio |
cool, vielen Dank für die Hilfe,
würde der Punkt allerdings in E liegen und ich zum Punkt a & B, die gleich weit von der ebenen entfernt sind, wollen, müsste ich mit der Formel
[x + [mm] 1/\vmat{n} [/mm] * [mm] \vec{n}] [/mm] arebiten und dort zB mit den "Schritten" 2 & -2 arbeiten... richtig?
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Ja, genau. Der Parameter r in der Normalengleichung sagt dir ja den Abstand.
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