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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Fr 19.03.2010 | | Autor: | MaxW |
In meinem Skript wird dargestellt, jeder Punkt der Ebene R² sei mit einem Stützvektor, einem Richtungsvektor, sowie dem Orthogonalvektor zum Richtungsvektor darstellbar.
X= s + [mm] \gamma [/mm] r, + [mm] \delta [/mm] o
S steht für den Stützvektor, R für den Richtungsvektor, o für den Orthogonalvektor, [mm] \gamma [/mm] und [mm] \delta [/mm] für die Parameter mit denen die länge der Vektoren bestimmt wird.
Dem folgt bspw. dass der Punkt X = (-2, 9/2) durch die Vektoren
s=(0,1); r=(1/2, 1) und o =(-2,1) dargestellt werden kann wenn [mm] \gamma [/mm] =2 [mm] \delta [/mm] = 1,5 -->
[mm] \vektor{-2 \\4,5} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\1} [/mm] + 2 [mm] \* \vektor{0,5 \\1} [/mm] + 1,5 [mm] \* \vektor{-2 \\1}
[/mm]
Weiter ist die Gleichung X = s + [mm] \gamma [/mm] r + [mm] \delta [/mm] o durch Multiplikation mit o/ [mm] \parallel [/mm] o [mm] \parallel [/mm] (also Multiplikation mit dem normierten Vektor o) umformbar zu ,
x*o x*s
------- - ----- = [mm] \partial [/mm] , wobei [mm] \partial [/mm] = [mm] \delta [/mm] * o
||o|| ||o||
daraus folgt für [mm] \partial [/mm] = 0 die Hessesche Normalform. Für alle Punkte auf der Geraden ist [mm] \delta [/mm] * o = 0
JETZT mein Verständnisproblem....
es sei die Gerade y= 4x +2 [mm] \gdw [/mm] -4x+y-2=0
Ich bin in der Lage diese Gleichung in die Hessesche Normalform umzuwandeln, entweder :
1. (-4, 1), nämlich die Parameter von x und Y ergeben den Vektor [mm] o=\vektor{-4 \\1}, [/mm] für den Stützvektor kann ich (soweit ich das überblicke) jeden Punkt der Geraden nehmen z.B. (0/2). Mit Hilfe der Hesseschen Normalform will ich schauen wie weit der vektor [mm] x=\vektor{1 \\6} [/mm] von der Geraden entfernt ist
(-4, 1) * [mm] \vektor{1 \\6} [/mm] (-4, 1) * [mm] \vektor{0 \\2}
[/mm]
------ - ---------------- = 0
[mm] \wurzel{17}..........................................................\wurzel{17}
[/mm]
(Man verzeihe mir die punkte zwischen den wurzeln 17, sie dienen als "leertasten" da ich anders die zweite wurzel 17 nicht unter den bruch kriege)
Wie erwartet ist das Ergebnis der GLeichung auch 0, denn (1,6) ist Punkt der geraden.
oder
2.
-4 *Xx 1* Xy 2
---------- + --------- - ------ = 0
[mm] \wurzel{17}.............................................\wurzel{17}..................................\wurzel{17}
[/mm]
Setze ich für Xx=1 bzw Xy=6, für den Vektor [mm] \vektor{1 \\6} [/mm] so komme ich wieder auf das richtige Ergebnis 0.
Nun meine Frage. Ich weiß zwar wie ich Geradengleichungen in die Hessesche Normalform bringe, bzw wie ich Abstände von Punkten aus R² zur Geraden berechne. WIE aber kriege ich die Geradengleichung Y=4x+2 in die Form X= s + [mm] \gamma [/mm] r, + [mm] \delta [/mm] o von oben?
Ich bin zwar in der Lage Geradengleichungen in Parameterform darzustellen, y=4x+2 [mm] \dwg \vektor{x \\y}= \vektor{0 \\2} [/mm] + t * [mm] \vektor{1 \\4}
[/mm]
aber in diese Formel von oben komm ich nicht. Vielleicht kann mir einer helfen
liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Fr 19.03.2010 | | Autor: | abakus |
> In meinem Skript wird dargestellt, jeder Punkt der Ebene
> R² sei mit einem Stützvektor, einem Richtungsvektor,
> sowie dem Orthogonalvektor zum Richtungsvektor
> darstellbar.
> X= s + [mm]\gamma[/mm] r, + [mm]\delta[/mm] o
Hallo,
das ist ein nicht notwendiger Spezialfall.
Man kann auch jeden Punkt der Ebene darstellen, wenn die Vektoren nicht senkrecht aufeinander stehen.
>
> S steht für den Stützvektor, R für den Richtungsvektor,
> o für den Orthogonalvektor, [mm]\gamma[/mm] und [mm]\delta[/mm] für die
> Parameter mit denen die länge der Vektoren bestimmt wird.
> Dem folgt bspw. dass der Punkt X = (-2, 9/2) durch die
> Vektoren
> s=(0,1); r=(1/2, 1) und o =(-2,1) dargestellt werden kann
> wenn [mm]\gamma[/mm] =2 [mm]\delta[/mm] = 1,5 -->
> [mm]\vektor{-2 \\4,5}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\1}[/mm] + 2 [mm]\* \vektor{0,5 \\1}[/mm]
> + 1,5 [mm]\* \vektor{-2 \\1}[/mm]
>
> Weiter ist die Gleichung X = s + [mm]\gamma[/mm] r + [mm]\delta[/mm] o
> durch Multiplikation mit o/ [mm]\parallel[/mm] o [mm]\parallel[/mm] (also
> Multiplikation mit dem normierten Vektor o) umformbar zu ,
> x*o x*s
> ------- - ----- = [mm]\partial[/mm] , wobei
> [mm]\partial[/mm] = [mm]\delta[/mm] * o
> ||o|| ||o||
>
> daraus folgt für [mm]\partial[/mm] = 0 die Hessesche Normalform.
> Für alle Punkte auf der Geraden ist [mm]\delta[/mm] * o = 0
> JETZT mein Verständnisproblem....
> es sei die Gerade y= 4x +2 [mm]\gdw[/mm] -4x+y-2=0
> Ich bin in der Lage diese Gleichung in die Hessesche
> Normalform umzuwandeln, entweder :
>
> 1. (-4, 1), nämlich die Parameter von x und Y ergeben den
> Vektor [mm]o=\vektor{-4 \\1},[/mm] für den Stützvektor kann ich
> (soweit ich das überblicke) jeden Punkt der Geraden nehmen
> z.B. (0/2). Mit Hilfe der Hesseschen Normalform will ich
> schauen wie weit der vektor [mm]x=\vektor{1 \\6}[/mm] von der
> Geraden entfernt ist
>
> (-4, 1) * [mm]\vektor{1 \\6}[/mm] (-4, 1) * [mm]\vektor{0 \\2}[/mm]
>
> ------ - ---------------- = 0
>
> [mm]\wurzel{17}..........................................................\wurzel{17}[/mm]
>
> (Man verzeihe mir die punkte zwischen den wurzeln 17, sie
> dienen als "leertasten" da ich anders die zweite wurzel 17
> nicht unter den bruch kriege)
> Wie erwartet ist das Ergebnis der GLeichung auch 0, denn
> (1,6) ist Punkt der geraden.
>
> oder
> 2.
> -4 *Xx 1* Xy 2
> ---------- + --------- - ------ = 0
>
> [mm]\wurzel{17}.............................................\wurzel{17}..................................\wurzel{17}[/mm]
>
> Setze ich für Xx=1 bzw Xy=6, für den Vektor [mm]\vektor{1 \\6}[/mm]
> so komme ich wieder auf das richtige Ergebnis 0.
>
> Nun meine Frage. Ich weiß zwar wie ich Geradengleichungen
> in die Hessesche Normalform bringe, bzw wie ich Abstände
> von Punkten aus R² zur Geraden berechne. WIE aber kriege
> ich die Geradengleichung Y=4x+2 in die Form X= s + [mm]\gamma[/mm]
> r, + [mm]\delta[/mm] o von oben?
Wozu?
Du willst eine GERADE als EBENENgleichung schreiben?
Für den Fall, dass der Richtungsvektor der gesuchten Geraden nicht mit dem einen Richtungsvektor der gegebenen Ebene zusammenfällt, musst du natürlich den gewünschten Geradenrichtungsvektor erst als Linearkombination der beiden Spannvektoren deiner Ebene aufstellen.
Gruß Abakus
> Ich bin zwar in der Lage Geradengleichungen in
> Parameterform darzustellen, y=4x+2 [mm]\dwg \vektor{x \\y}= \vektor{0 \\2}[/mm]
> + t * [mm]\vektor{1 \\4}[/mm]
> aber in diese Formel von oben komm
> ich nicht. Vielleicht kann mir einer helfen
> liebe grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Fr 19.03.2010 | | Autor: | MaxW |
hmm... das heißt diese formel die einen punkt in der ebene mit drei(!) vektoren dargestellt hatte diente nur zum herleiten der HesseschenNF... ich hab mich auch gewundert warum 3 vektoren wenn ich doch mit 2en jede gerade darstellen kann. ok zuviel um den heißen brei herumgedacht
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