Abstand Punkt Gerade in 2-d < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | gegeben: y=3+t
x=4/3 t
P (15/0)
Wie groß ist der kleinste Abstand des Punktes P von der Geraden g? |
g: 4y-3x-12=0
Ich bilde eine Senkrechte zu der Geraden,
3y+4x-60=0
berechne einen Schnittpunkt S.
x=204/25= 8 4/25
Ich berechne den Betrag der Strecke PS.
Diese Aufgabe müßte doch mit der Vektorrechnung besser zu bewältigen sein. Ich weiß leider nicht wie.
Warum wurde die Geradengleichung in Parameterform angegeben? Gibt es einen Vorteil in der Parameterform?
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> gegeben: y=3+t
> x=4/3 t
> P (15/0)
>
> Wie groß ist der kleinste Abstand des Punktes P von der
> Geraden g?
>
>
> g: 4y-3x-12=0
Hallo,
>
> Ich bilde eine Senkrechte [mm] g_{\perp} [/mm] zu der Geraden,
die durch P(15|0) geht:
> 3y+4x-60=0
> berechne einen Schnittpunkt S.
Du berechnest den Schnittpunkt S der Geraden g und [mm] g_{\perp}.
[/mm]
> x=204/25= 8 4/25
Und wie lautet der Schnittpunkt nun?
> Ich berechne den Betrag der Strecke PS.
Wo?
>
> Diese Aufgabe müßte doch mit der Vektorrechnung besser zu
> bewältigen sein. Ich weiß leider nicht wie.
Stichwort: Hessesche Normalform.
Bring die Gleichung der Geraden g in Hessesche Normalform.
Einsetzen von P liefert Dir dann den Abstand, den P von g hat.
> Warum wurde die Geradengleichung in Parameterform
> angegeben?
Warum nicht?
Die Parameterform ist halt eine Möglichkeit dafür, Geraden anzugeben.
> Gibt es einen Vorteil in der Parameterform?
Nun, bei Deiner Vorgehensweise (Schnittpunkt bestimmen) hättest Du Dir die Weg über die Koordinatenform sparen können,
indem Du gleich aus der Parameterform von g die Parameterform der gewünschten Senkrechten aufstellst.
LG Angela
>
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| Aufgabe | gegeben: y=3+t
x=4/3 t |
Wie stellt man daraus die Gleichung für Senkrechte aus?
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Hallo Feuerbach,
> gegeben: y=3+t
> x=4/3 t
>
> Wie stellt man daraus die Gleichung für Senkrechte aus?
Zunächst einaml solltest du lesbare Angaben machen. Was bedeutet das t in
> x=4/3 t
?
Ansonsten gilt nach wie vor für rechtwinklige Steigungen [mm] m_1, m_2
[/mm]
[mm] m_1*m_2=-1
[/mm]
d.h., die Steigung deiner Orthogonalen ist hier
[mm] m=-\bruch{1}{3}
[/mm]
bzw.
[mm] \vec{r}_o=\vektor{3\\-1}
[/mm]
und die Geradengleichung stellt man mit der Punkt-Richtungsform bzw, der Parameterform auf.
Gruß, Diophant
PS: mir fällt auf, dass du immer wieder Fragen zur gleichen Thematik stellst. Das bedeutet ja dann schon, dass du dich schwer tust, damit weiterzukommen?
Lies dir auf jeden Fall die gegebenen Antworten noch besser und gründlicher durch und Frage ruhig auch, wenn du besser verstehen möchtest, warum man etwas so macht und nicht anders.
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| Aufgabe | Die Orthogonalitätsbedingung m1*m2=-1 ist mir bekannt.
Ich weiß nicht, wie ich aus einer Geraden, die in Parameterform gegeben ist,
y=3+t
x=1,33*t
die Senkrechte unmittelbar bestimmen kann.
Es ist natürlich keine Kunst aus der Parameterform, die Funktionsgleichung 4y-3x-12=0 zu erstellen.
Ich hätte gedacht, ich kann sofort aus der Parametergleich die Senkrechte zu der gegebenen Geraden bestimmen. |
Ich möchte mich schon jetzt für Eure Geduld mit mir bedanken und bedanke mich, daß auch dumme Leute hier eine Antwort bekommen. Menschen, die sich für Mathematik nicht interessieren, würden hier auch sicher keine Zeit dafür haben, eine Frage zu schreiben.
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Hallo Feuerbach,
gehen wir mal ein bisschen tiefer in die analytische Geometrie,
deine Gleichungen, sauber und schön aufgeschreiben sehen ja so aus:
[mm] \vec{x}=\vektor{x\\y}=\vektor{0\\3}+t*\vektor{4/3\\1}
[/mm]
Wir haben also einen Stützvektor und einen Richtungsvektor.
Wir suchen nun den Vektor, der senkrecht auf dem Richtungsvektor [mm] \vektor{4/3\\1} [/mm] steht. Dazu sollte man wissen, dass folgendes gilt
[mm] \vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|*\cos(\sphericalangle(\vec{a},\vec{b}))
[/mm]
Wir wollen, dass der Winkel 90° wird, und [mm] \cos(90°)=0, [/mm] also sollte gelten
[mm] \vec{a}*\vec{b}=0
[/mm]
Wir betrachten deinen Richtungsvektor:
[mm] \vektor{4/3\\1}*\vektor{p\\q}=4/3*p+1*q=0
[/mm]
jetzt kann man irgendwelche p und q wählen, sodass die Gleichung erfüllt ist (außer p,q=0). Man wählt z.B. p=3/4 und q=-1.
Damit haben wir einen orthogonalen Richtungsvektor gefunden.
Die Normale Geradengelichung (in Parameterform) ist also
[mm] \vec{x}=\vektor{0\\3}+s*\vektor{3/4\\-1}
[/mm]
Die Frage, die sich stellt: Ist das wirklich einfach und schneller? Die Frage musst du für dich selbst beantworten.
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Hallo,
nutze Herrn Pythagoras:
(1) [mm] d^2=a^2+b^2
[/mm]
(2) [mm] d^2=(3+t-15)^2+\left(\frac{4}{3}t-0\right)^2
[/mm]
Für welches t ist [mm] d^2 [/mm] minimal? Nimm dieses t und setze es in (2) ein und du erhältst den Abstand nach zusätzlichen radizieren.
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| Aufgabe | gegeben:
y=3+t
x=4t/3
P(15/0)
NF(g):3x-4y-12=0
Für welchen Wert von t ist P am nächsten bei P ?
Berechne den Wert der kleinsten Entfernung. |
Wenn ich die Normalenform NF nehme und die Senkrechte durch den Punkt P zu der Geraden g berechne, erhalte ich:
4x+3y+60=0.
Die Geraden schneiden sich in dem Punkt B(11,04/8,28).
Aus ermittelten Werten des Punktes P wollte ich den Wert für t berechnen.
t=y-3=5,28
t=3x/4=8,28
Wo liegt mein Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Do 31.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> gegeben:
> y=3+t
> x=4t/3
> P(15/0)
>
> NF(g):3x-4y-12=0
>
> Für welchen Wert von t ist P am nächsten bei P ?
> Berechne den Wert der kleinsten Entfernung.
>
>
> Wenn ich die Normalenform NF nehme und die Senkrechte durch
> den Punkt P zu der Geraden g berechne, erhalte ich:
> 4x+3y+60=0.
Nein. Sondern 4x+3y-60=0
FRED
> Die Geraden schneiden sich in dem Punkt B(11,04/8,28).
> Aus ermittelten Werten des Punktes P wollte ich den Wert
> für t berechnen.
> t=y-3=5,28
> t=3x/4=8,28
>
> Wo liegt mein Fehler?
>
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| Aufgabe | Ein Punkt P bewegt sich auf den Bahnen y=3+t und x=4t/3.
Ich erhalte die Geradengleichung g: 3x-4y-12=0.
Für welchen Wert von t ist P am nächsten bei Punkt A(15/0).
Wie groß ist der minimalste Abstand d? |
Diese Aufgabe wollte ich eigentlich so lösen: Ich habe immer angenommen, ich müsse die Normalenform berechnen und mit ihrer Senkrechten durch den Punkt A schneiden.
Die Strecke SA, Strecke zwischen Schnittpunkt S und gegebenen Punkt A, sei der minimalste Abstand von A zur Geraden g.
Kann ich hier irgendwie eine Zeichnung machen oder kann mir jemand eine Zeichnung für mein Problem senden?
gruß,
feuerbach
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Hallo!
> Ein Punkt P bewegt sich auf den Bahnen y=3+t und x=4t/3.
> Ich erhalte die Geradengleichung g: 3x-4y-12=0.
Nein. Du erhältst [mm] 3x-4y\red{+}12=0
[/mm]
> Für welchen Wert von t ist P am nächsten bei Punkt
> A(15/0).
> Wie groß ist der minimalste Abstand d?
Der minimale Abstand.
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> Diese Aufgabe wollte ich eigentlich so lösen: Ich habe
> immer angenommen, ich müsse die Normalenform berechnen und
> mit ihrer Senkrechten durch den Punkt A schneiden.
> Die Strecke SA, Strecke zwischen Schnittpunkt S und
> gegebenen Punkt A, sei der minimalste Abstand von A zur
> Geraden g.
Dies ist eine von vielen möglichen Lösungsmöglichkeiten.
Wo ist denn jetzt das Problem?
Du hast die Geradengleichung, Du hattest, wenn ich nicht fantasiere, doch auch schon die Gleichung der dazu senkrechten Geraden durch A.
Wie lautet denn nun der Schnittpunkt, und wo liegt Dein Problem?
> Kann ich hier irgendwie eine Zeichnung machen oder kann mir
> jemand eine Zeichnung für mein Problem senden?
???
Die Zeichnung für Dein Problem ist einfach.
Der Punkt bewegt sich auf der Geraden [mm] y=\bruch{3}{4}x+3,
[/mm]
welche einzuzeichnen kein Problem sein sollte,
der Punkt A ist der Punkt A(15|0),
und der Schnittpunkt S halt da, wo die Senkrechte zu g durch A die Gerade g schneidet.
Der Abstand von S und A ist die gesuchte minimale Entfernung.
Daß es noch andere Lösungsmöglichkeiten gibt, macht ja nichts.
Du kannst sie ja danach auch durchrechnen. Im Idealfall kommt immer dasselbe raus.
Nur mal so: falls die Aufgabe aus dem Dunstkreis der Vektorrechnung kommt, solltest Du sie zusätzlich unbedingt mit Vektorrechnung lösen,
je nachdem, was Du kannst,
- indem Du Gerade und Normale (in Parameterform)zum Schnitt bringst und dann [mm] |\overrightarrow{AS}| [/mm] berechnest, oder
- Dich der Hessenormalform bedienst
- oder Richies Möglichkeit verfolgst, welche die Vektorrechnung mit der Differentialrechnung kombiniert und nicht voraussetzt, daß man weiß, daß der kürzeste Abstand die senkrechte Entfernung ist.
LG Angela
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