Abstand Punkt Kurve < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Knievel |
| Aufgabe | Gegeben sei die Kurve [mm]y=\wurzel{x}, x \ge 0[/mm]
und die beiden Punkte P=(3,0) und Q=(0,3) auf der positiven x- bzw y-Achse.
a)Welcher Punkt P' auf der Kurve hat von P den kleinsten Abstand, und wie groß ist dieser Abstand?
b)Welcher Punkt Q' auf der Kurve hat von Q den kleinsten Abstand, und wie groß ist dieser Abstand?
c) Bestimmen Sie die Tangentensteigung der Kurve in P' bzw Q'.
d)Begründen Sie, dass die Geraden PP' und QQ' die Kurve jeweils senkrecht schneiden. |
Soweit sind wir schon gekommen:
Kürzester Abstand eines Punktes P ist gleich die Distanz des Punktes P zum Schnittpunkt T der Normalen durch diesen Punkt auf die Kurve.
Ableitung um Steigung der Tangente zu berechnen [mm]\bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm]
Steigung der Normalen ist [mm]\bruch{-1}{f'\left(x_{0}\right)[/mm]
Jetzt haben wir im Netz die Gleichung [mm]f\left(x_{0}\right) - p_{2} = -2\wurzel{x} * \left(x_{0}-p_{1}\right)[/mm].
Wahrscheinlich stehen wir grade nur auf dem Schlauch aber wir kommen mit der Gleichung nicht weiter zur Berechnung von dem Punkt...
zu c) Wie stellt man eine Tangentensteigung in einem Punkt auf?
zu d) Ist ja logisch, unser Problem liegt nur in der "Beweisführung"
Vielen Dank für eure Zeit und Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Knievel!
Verwendet hier einfach die Abstandsformel zweier Punkte im [mm] $\IR^2$ [/mm] :
$$d \ = \ [mm] \wurzel{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$$
[/mm]
Setze also ein:
[mm] $$x_2 [/mm] \ := \ x$$
[mm] $$y_2 [/mm] \ := \ [mm] f(x_2) [/mm] \ = \ f(x) \ =\ [mm] \wurzel{x}$$
[/mm]
[mm] $$x_1 [/mm] \ := \ [mm] x_P [/mm] \ =\ 3$$
[mm] $$y_1 [/mm] \ := \ [mm] y_P [/mm] \ = \ 0$$
Damit hast Du dann eine Abstandsformel in Abhämgigkeit von $x_$ ...
Dasselbe dann nochmal für den Punkt $Q_$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Knievel |
Also bekommen wir für den Abstand nach deiner Formel folgendes:
[mm]\wurzel{\left(x-3\right)^{2} + \left(\wurzel{x}\right)^{2}}[/mm]
weiter vereinfacht : [mm]x-3+\wurzel{x}[/mm]
bzw für Q [mm]x+\wurzel{x}-3[/mm]
Das heißt wir bekommen durch die Abhängigkeit von x keinen konkreten Wert für den Punkt P'?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Knievel!
Allgemein gilt:
[mm] $$\wurzel{a+b} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \wurzel{a}+\wurzel{b}$$
[/mm]
Du darfst also hier nicht termweise die Wurzel ziehen.
Mit der entstehenden Funktion $d(x)_$ anschließend eine Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) durchführen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:58 Mo 08.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo Knievel!
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> Allgemein gilt:
> [mm]\wurzel{a+b} \ \red{\not=} \ \wurzel{a}+\wurzel{b}[/mm]
> Du
> darfst also hier nicht termweise die Wurzel ziehen.
>
> Mit der entstehenden Funktion [mm]d(x)_[/mm] anschließend eine
> Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung etc.)
> durchführen.
Da die Ableitung dieser Wurzelfunktion nicht ganz einfach ist, hilft ein kleiner Trick: Der Abstand d ist genau dann minimal, wenn auch der Term [mm] d^2 [/mm] minimal ist. Das lässt sich offensichlich viel leicher ableiten.
Gruß Abakus
>
>
> Gruß
> Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 Di 09.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Knievel!
Die Tangensteigung einer Kurve in einem gegebenem Punkt ermittelt man duch durch die 1. Ableitung.
Denn bei der 1. Ableitung spricht man auch manchmal von Steigungsfunktion.
Es gilt also: [mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] f'(x_0)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Di 09.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Knievel!
Zwei Geraden schneiden sich senkrecht, wenn für ihre Steigungen [mm] $m_1$ [/mm] bzw. [mm] $m_2$ [/mm] gilt:
[mm] $$m_1*m_2 [/mm] \ = \ -1$$
Für [mm] $\overline{PP'}$ [/mm] musst Du also zunächst die Steigung zwischen den beiden Punkten $P_$ und $P'_$ ermitteln und anschließend mit der Steigung aus Aufgabe c.) in o.g. Formel einsetzen.
Gruß
Loddar
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