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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Abstand der beiden parallel Ebenen. E1: x=(-1/1/3)+r*(1/1/-1)+s*(-1/2/0) und E2: x=(4/3/5)+t*(-3/3/1)+k*(5/-4/-2) |
Hallo ihr lieben, ich habe diese Aufgabe jetzt mehrmals nachgerechnet bis ich jetzt zum Ergebnis 3,3( also als Abstand) gekommen bin. Leider bin ich mir sehr unsicher, würde mir vllt einer sagen ob mein Ergebnis stimmt?
Lieben gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Neverless,
> Berechnen Sie den Abstand der beiden parallel Ebenen. E1:
> x=(-1/1/3)+r*(1/1/-1)+s*(-1/2/0) und E2:
> x=(4/3/5)+t*(-3/3/1)+k*(5/-4/-2)
> Hallo ihr lieben, ich habe diese Aufgabe jetzt mehrmals
> nachgerechnet bis ich jetzt zum Ergebnis 3,3( also als
> Abstand) gekommen bin. Leider bin ich mir sehr unsicher,
> würde mir vllt einer sagen ob mein Ergebnis stimmt?
Das Ergebnis stimt leider nicht.
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
> Lieben gruß
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Naja, ich habe zuerst eine der Ebenen in eine koordinatenform gewandelt, da kam dann 2x1+x2+3x3=8 heraus. Stimmt das denn soweit?
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Hallo,
ja, das stimmt.
LG Angela
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Dann habe ich eine lotgerade erstellt, die war (-1/1/3)+t*(2/1/3) und dann nur noch den Schnittpunkt berechnet, aber dann kam da 3.3 raus.
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Hallo Neverless,
> Dann habe ich eine lotgerade erstellt, die war
> (-1/1/3)+t*(2/1/3) und dann nur noch den Schnittpunkt
> berechnet, aber dann kam da 3.3 raus.
Als Stützvektor der Geraden ist der
Stützvektor der jeweiligen anderen Ebene zu wählen.
Gruss
MathePower
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Okay danke, dann würde bei mir als Abstand 15,9 rauskommen, kann das sein?
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Hallo Neverless,
> Okay danke, dann würde bei mir als Abstand 15,9
> rauskommen, kann das sein?
Nein.
Gruss
MathePower
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Kannst du mir vllt helfen und sagen wie ich dann weiterreichten muss?
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Hallo Neverless,
> Kannst du mir vllt helfen und sagen wie ich dann
> weiterreichten muss?
Da Du einen Normalenvektor errechnet hast,
schreiben sich die Ebene wie folgt:
[mm]E_{1}:\left(\vec{x}-\pmat{-1\\ 1 \\ 3}\right)\pmat{2 \\ 1 \\ 3}=0[/mm]
[mm]E_{2}:\left(\vec{x}-\pmat{4\\ 3 \\ 5}\right)\pmat{2 \\ 1 \\ 3}=0[/mm]
Dann wird eine Gerade g gebildet:
[mm]g:\vec{x}=\pmat{4 \\ 3 \\ 5}+u*\pmat{2 \\ 1 \\ 3}[/mm]
Diese Gerade g wird dann in die Ebene [mm]E_{1}[/mm]
eingesetzt und dann das u berechnet.
Damit ist dann [mm]\vmat{u\pmat{2 \\ 1 \\ 3}}[/mm]
der beiden parallelen Ebenen.
Gruss
MathePower
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Vielen Dank, dass hat mir sehr weitergeholfen, jetzt habe ich die anderen Aufgaben dazu auch geschafft! 
Wenn ich aber jetzt zwei Ebenen in koordinatenform habe, wie soll ich dann anfangen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:51 Mo 08.06.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank, dass hat mir sehr weitergeholfen, jetzt habe
> ich die anderen Aufgaben dazu auch geschafft!
> Wenn ich aber jetzt zwei Ebenen in koordinatenform habe,
> wie soll ich dann anfangen?
mach' Dir doch mal eine Skizze. Was man eigentlich machen sollte:
1. Test, ob die beiden Ebenen wirklich parallel sind:
Sie sind genau dann parallel, wenn jeweils ein Normalenvektor der einen
Ebene linear abhängig zu einem der anderen Ebene ist. Hierbei muss ein
Normalenvektor nicht die Länge 1 haben; wenn man auf diese Länge
*normiert*, dann gilt gleiches, die lineare Abhängigkeit bedeutet dann
aber nur noch, dass die Vektoren gleich sind oder gleich bis auf einen
Faktor -1.
Wie bekommt man einen Normalenvektor einer Ebene in Normalenform?
Guckst Du hier:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Normalenvektor#Normale_und_Normalenvektor_einer_Ebene
2. Nimm' einen Punkt [mm] $p_1$, [/mm] der in der einen Ebene liegt, und bilde (mit einem
Normalenvektor d(ies)er Ebene) eine Gerade, die durch diesen Punkt geht
und senkrecht auf die Ebene steht. Berechne den Durchstoßpunkt dieser
Geraden mit der anderen Ebene; dieser möge [mm] $p_2$ [/mm] heißen.
3. Berechne die Länge der Strecke, die durch die beiden Punkte, die eben
genannt worden sind.
Bsp.: Wir haben
[mm] $E_1:= \{(x,y,z) \mid 3x+4y+5z=7\}$
[/mm]
[mm] $E_2:=\{(x,y,z) \mid (-3/2)x-2y-(5/2)z=14\}$
[/mm]
Offenbar ist (Link!) [mm] $(3,4,5)^T=\vektor{3\\4\\5}$ [/mm] senkrecht auf [mm] $E_1$ [/mm] - dieser Vektor steht
auch senkrecht auf [mm] $E_2$. [/mm]
(Test: [mm] $(-3/2,-2,-5/2)^T$ [/mm] steht senkrecht auf [mm] $E_2$ [/mm] und es ist [mm] $(3,4,5)^T=-2*(-3/2,-2,-5/2)^T$,)
[/mm]
Die Ebenen sind also parallel.
Weiter ist [mm] $(\red{1},\blue{1},\green{0})$ [/mm] wegen
[mm] $3*\red{1}+4*\blue{1}+5*\green{0}=7$
[/mm]
ein Punkt aus [mm] $E_1$.
[/mm]
Wir betrachten nun die Gerade
[mm] $G:=\left\{(x,y,z) \mid \vektor{x\\y\\z}=\vektor{1\\1\\0}+r*\vektor{3\\4\\5};\;\; r \in \IR\right\}$
[/mm]
Wir berechnen den Schnittpunkt der Geraden G mit [mm] $E_2$; [/mm] also etwa
(*) $x=1+3r$; $y=1+4r;$ $z=5r$
in
[mm] $E_2:$ [/mm] $(-3/2)x-2y-(5/2)z=14$
einsetzen und dann nach [mm] $r\,$ [/mm] auflösen:
$(-3/2)*(1+3r)-2(1+4r)-(5/2)*(5r)=14$
[mm] $\iff$ [/mm] $-3(1+3r)-4(1+4r)-5*5r=28$
[mm] $\iff$ [/mm] $-3-9r-4-16r-25r=28$
[mm] $\iff$ [/mm] $-50r=35$
[mm] $\iff$ $r=-7/10\,.$
[/mm]
Damit berechnen wir (siehe (*)) den Punkt
[mm] $\red{(x,y,z)}=(1-21/10, [/mm] 1-28/10, [mm] -35/10)=\red{(-11/10, -18/10, -35/10)}\,.$
[/mm]
Test, dass dieser auch wirklich in [mm] $E_2$ [/mm] liegt:
$(-3/2)*(-11/10)-2*(-18/10)-(5/2)*(-35/10)=(-3/2)*(-11/10)-(4/2)*(-18/10)-(5/2)*(-35/10)$
[mm] $=\frac{33+72+175}{20}=\frac{2*140}{2*10}=140/10=14\,.$
[/mm]
Wir brauchen also nur noch die Länge des Vektors
[mm] $\overrightarrow{\vektor{\red{1}\\\blue{1}\\\green{0}},\red{\vektor{-11/10\\ -18/10\\ -35/10}}}$ [/mm] (zwischen den Vektoren steht ein KOMMA!),
also
[mm] $d:=\left|\overrightarrow{\vektor{\red{1}\\\blue{1}\\\green{0}},\red{\vektor{-11/10\\ -18/10\\ -35/10}}}\right|$
[/mm]
zu berechnen:
[mm] $d=|(-11/10-1,\;-18/10-1),\;-35/10-0)|=|(-21/10,\;-28/10,\;-35/10)|=\sqrt{(-21/10)^2+(-28/10)^2+(-35/10)^2}$
[/mm]
[mm] $=\sqrt{2450}/10\approx [/mm] 4,9497$
P.S. Erinnerung: Oben hatten wir
[mm] $p_1=(\red{1},\blue{1},\green{0})$
[/mm]
als Punkt aus [mm] $E_1$ [/mm] erkannt und
[mm] $p_2=\red{(-11/10, -18/10, -35/10)}$
[/mm]
berechnet.
Bezeichnen wir für einen Punkt p=(x,y,z) dann
[mm] $\overrightarrow{P}=\vektor{x\\y\\z}$
[/mm]
den Vektor vom Nullpunkt zum Punkt p, dann berechnen wir am Ende den
Abstand zwischen [mm] $p_1$ [/mm] und [mm] $p_2$ [/mm] als Länge des Vektors
[mm] $\overrightarrow{p_1,p_2}=\overrightarrow{P_2}-\overrightarrow{P_1}=\vektor{-11/10\\ -18/10\\ -35/10}-\vektor{\red{1}\\\blue{1}\\\green{0}}=\vektor{-21/10\\-28/10\\-35/10}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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