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Forum "Geraden und Ebenen" - Abstand eines Punktes
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Abstand eines Punktes: Durchstoßpunkt der durch P1 ge
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:55 Di 19.06.2018
Autor: Ataaga

Aufgabe
Ein Punkt Po= (111) liege in der von den Richtungsvektoren a=(234) und b=(−123) aufgespannten Ebene. Berechne sowohl den Abstand des Punktes P1=(555) von der Ebene, als auch den Durchstoßpunkt der durch P1 gehenden Geraden in Richtung der Flächennormalen durch die Ebene.

Wie muss ich bei der Aufgabe vorgehen bzw. welche Formel muss ich hier anwenden?

den Abstand des Punktes P1 habe ich mit der HNF berechnet;
HNF= 1/lnl*nx-c/lnl=72/wurzel{150} !!!!
un wie rechne ich den Durchstoßpunkt?

Bitte um Unterstützung?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[https://www.onlinemathe.de/forum/Abstand-eines-Punktes-27]


Beste Grüße

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Abstand eines Punktes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Di 19.06.2018
Autor: Diophant

Hallo,

vorneweg: die Art und Weise, wie du deine Frage hier präsentiert hast, ist nicht für eine zielführende Hilfestellung geeignet (Aus mehreren Gründen, die ich hier nicht aufzählen werde, außerdem kannst du da auch selbst dahinterkommen).

> Ein Punkt Po= (111) liege in der von den Richtungsvektoren
> a=(234) und b=(−123) aufgespannten Ebene. Berechne sowohl
> den Abstand des Punktes P1=(555) von der Ebene, als auch
> den Durchstoßpunkt der durch P1 gehenden Geraden in
> Richtung der Flächennormalen durch die Ebene.
> Wie muss ich bei der Aufgabe vorgehen bzw. welche Formel
> muss ich hier anwenden?

>

> den Abstand des Punktes P1 habe ich mit der HNF berechnet;
> HNF= 1/lnl*nx-c/lnl=72/wurzel{150} !!!!

Das kann man nicht lesen. Solltest du der Meinung sein, dass [mm]72/\sqrt{150}[/mm] der gesuchte Abstand ist: das ist falsch. Das einzige, was dabei stimmt, ist der Betrag des Normalenvektors im Nenner.

> un wie rechne ich den Durchstoßpunkt?

>

Du legst eine Gerade durch den Punkt [mm]P_1\left (5\mid 5 \mid 5 \right )[/mm], deren Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene ist. Dann erechnest du den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene (Durchstoßpunkt ist ein Synonym für einen Schnittpunkt zwischen einer Geraden und einer Ebene, das kommt meines Wissens nach aus der projektiven Geometrie).


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Abstand eines Punktes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Di 19.06.2018
Autor: Ataaga

Hallo,
ich habe Aufgabenteil 1 nochmal berechnet:
<(P-a)*n>= [mm] -2/\wurzel{150} [/mm]

ist das so richtig dass ich da ein negativen Vorzeichen habe?

Liebe Grüße


Bezug
                        
Bezug
Abstand eines Punktes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:18 Mi 20.06.2018
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
> ich habe Aufgabenteil 1 nochmal berechnet:
> <(P-a)*n>= [mm]-2/\wurzel{150}[/mm]

>

> ist das so richtig dass ich da ein negativen Vorzeichen
> habe?

>

> Liebe Grüße

Hallo,

[willkommenmr].

Wir kämen besser miteinander ins Gespräch, wenn Du etwas von Deinem Lösungsweg verraten würdest.

Wie lautet Dein Normalenvektor,
wie lautet Deine Hessesche Normalform?

Was meinst Du oben mit den spitzen Klammern?


Mein Ergebnis ist ein anderes als Deins - wer von uns sich verrechnet hat, könnte ich besser wissen, wenn ich von Deiner Rechnung etwas sehen würde.

Mal angenommen (!), Dein Ergebnis wäre richtig.
Der Abstand des Punktes zur Ebene wäre dann [mm] d=\bruch{2}{\wurzel{150}}, [/mm]
daß das Vorzeichen negativ ist, sagt uns, daß der Punkt und der Koordinatenursprung auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen.

LG Angela











>

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Bezug
Abstand eines Punktes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:09 Mi 20.06.2018
Autor: Ataaga

Hallo,
n=axb= (2, 3, 4)x(-1, 2, 3)=(1, -10, 7)
lnl  = [mm] \wurzel{1^2+(-10)^2+7^2}= \wurzel{150} [/mm]

HNF=( [mm] 1/\wurzel{150} [/mm]  ) [mm] *n*x-c/\wurzel{150} [/mm]

c=n*OA=(1, -10, 7)*(2,3,4)=(2,-30,28)=0
für x setze ich P1 ein.

also es folgt: HNF=  ( [mm] 1/\wurzel{150} [/mm]  ) *(1, -10, [mm] 7)*(5,5,5)-0/\wurzel{150} [/mm]

HNF=( [mm] 1/\wurzel{150} [/mm]  )*(5,50,35)= - [mm] 10/\wurzel{150} [/mm]

Eckige klammer bedeuten dass man am ende alles zusammenfasst...

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Bezug
Abstand eines Punktes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 Mi 20.06.2018
Autor: Diophant

Hallo,


> n=axb= (2, 3, 4)x(-1, 2, 3)=(1, -10, 7)

Der Normalenvektor stimmt, das hatte ich dir ja auch indirekt schon bestätigt.

> lnl = [mm]\wurzel{1^2+(-10)^2+7^2}= \wurzel{150}[/mm]

>

> HNF=( [mm]1/\wurzel{150}[/mm] ) [mm]*n*x-c/\wurzel{150}[/mm]

>

> c=n*OA=(1, -10, 7)*(2,3,4)=(2,-30,28)=0

Auch das ist korrekt.

EDIT: das ist entgegen meiner ersten Bestätigung falsch. Und zwar, weil von einem falschen Wert für c ausgegenagen wird. Siehe dazu meine Antwort auf deine nächste Frage.

> für x setze ich P1 ein.

>

> also es folgt: HNF= ( [mm]1/\wurzel{150}[/mm] ) *(1, -10,
> [mm]7)*(5,5,5)-0/\wurzel{150}[/mm]

>

> HNF=( [mm]1/\wurzel{150}[/mm] )*(5,50,35)= - [mm]10/\wurzel{150}[/mm]

>

Na ja, ich weiß jetzt nicht so ganz, was du unter dem Kürzel HNF verstehst (es bedeutet: Hesse'sche* Normalenform und ist eine Ebenengleichung, keine Formel!). Meinst du die Formel zum Berechnen des Abstands Punkt-Ebene? Das ist eben nicht die HNF, sondern diese Formel verwendet dieselbe:

[mm]d\left ( P,E \right )= \frac{ \left\vert \vec{p}* \vec{n}-c \right\vert}{ \left\vert \vec{n} \right\vert}[/mm]

Und da stehen ja nicht umsonst Betragszeichen im Zähler, denn ein Abstand ist eine Länge und somit nichtnegativ.

Wenn du das beachtest, lautet die korrekte Rechnung samt Ergebnis:

[mm]d= \frac{ \left\vert 5*1-5*10+5*7-0 \right\vert}{\sqrt{150} }= \frac{10}{\sqrt{150} }= \frac{\sqrt{6}}{3}\approx{0.816}[/mm]

(Klicke auf die mathematischen Notationen, um die notwendigen LaTeX-Befehle zu sehen, mit denen sie erzeugt wurden).


Gruß, Diophant

* Nach dem deutschen Mathematiker []Ludwig Otto Hesse

Bezug
                                                
Bezug
Abstand eines Punktes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 Mi 20.06.2018
Autor: Ataaga

Hallo Diophant,
Aufgabenteil 1 habe ich verstanden.

Teil2 habe ich so aufgestellt:
(5,5,5)+r*(1,-10,7)=(1,1,1)+s*(2,3,4)+t*(-1,2,3)
und einfach nur Schnittpunkt errechnen ne?
habe ich das richtig gemacht?

Liebe Grüße

Bezug
                                                        
Bezug
Abstand eines Punktes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 Mi 20.06.2018
Autor: Diophant

Hallo,

vorneweg: dein Abstand, den ich dir oben bestätigt hatte, ist noch falsch. Der Grund ist einfach: du hast die Konstante c mit dem Richtungsvektor [mm] (2,3,4)^T [/mm] berechnet, anstatt mit dem Punkt [mm] P_0 [/mm] (und ich hatte das auch übersehen). Daher hier die korrekte Rechnung noch nachgereicht:

[mm]\begin{aligned} c&= \vektor{1 \\ 1 \\ 1}* \vektor{1 \\ -10 \\ 7}=1-10+7=-2\\ \\ d&= \frac{ \left\vert 5-50+35+2 \right\vert}{\sqrt{150}}= \frac{8}{\sqrt{150}}= \frac{4}{15}\sqrt{6}\\ \end{aligned}[/mm]

So, nun zu deiner Frage:

> Aufgabenteil 1 habe ich verstanden.

>

> Teil2 habe ich so aufgestellt:
> (5,5,5)+r*(1,-10,7)=(1,1,1)+s*(2,3,4)+t*(-1,2,3)
> und einfach nur Schnittpunkt errechnen ne?
> habe ich das richtig gemacht?

Nun, du hast noch nichts 'gemacht'. sondern nur einen Ansatz, nämlich aus dem Gleichsetzen der beiden  Parameterformen ein LGS aufzustellen. Das ist richtig so (ich hatte dir in meiner ersten Antwort schon geschrieben, was ein Durchstoßpunkt ist, von daher sollte das eigentlich schon klar sein).

Allerdings: deine Vorgehensweise hier ist frei nach dem Motto 'warum einfach, wenn es auch umständlich geht' gewählt. Wenn man nämlich den Normalenvektor einer Ebene schon kennt, dann hat man ja damit sofort auch eine Koordinatenform der Ebene:

[mm]E:\ \ x_1-10x_2+7x_3=-2[/mm]

In diese Gleichung kannst du die Geradengleichung

[mm]g:\ \ \vec{x}=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{5 \\ 5 \\ 5}+r*\vektor{1 \\ -10 \\ 7}[/mm]

einsetzen. So bekommst du eine lineare Gleichung in einer Variablen anstelle eines 3x3-LGS. Aber natürlich sind beide Vorgehensweisen richtig.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                                
Bezug
Abstand eines Punktes: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:48 Mi 20.06.2018
Autor: Ataaga

Hallo Diophant,

vielen Dank für deine Unterstützung...
Ich habe jetzt alles verstanden.....

Beste Grüße


Bezug
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