Abstand eines Punktes zur Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 Do 08.07.2004 | | Autor: | Feivel |
Hallo!
Also ich grüble hier schon länger über eine Aufgabe, hab aber Probleme schon Probleme mit dem Ansatz, vielleicht könnte mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung geben!
Die Aufgabe lautet: Bestimme d. Abstand d. Punktes P=(1,1,1) von d. Geraden e: [mm] x_1+x_2+x_3=0. [/mm]
Nun weis i net ob diese Geradengleichung schon die Normalform is, also für [mm] n_1 x_1 [/mm] + [mm] n_2 x_2 [/mm] + [mm] n_3 x_3 [/mm] - c = 0 steht. oder nicht!
ich weis der Abstand [mm]d= \vec n ° x - \vec n ° p[/mm] kann man so berechen aber dafür brauch i [mm] \vec n [/mm].
naja, bin a bisal langsam bei mathe ... hoffe jemand kann ma helfen!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:35 Do 08.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Feivel
auch von mir ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo!
>
> Also ich grüble hier schon länger über eine Aufgabe, hab
> aber Probleme schon Probleme mit dem Ansatz, vielleicht
> könnte mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung
> geben!
>
> Die Aufgabe lautet: Bestimme d. Abstand d. Punktes
> P=(1,1,1) von d. Geraden e: [mm]x_1+x_2+x_3=0.[/mm]
>
> Nun weis i net ob diese Geradengleichung schon die
> Normalform is, also für [mm]n_1 x_1[/mm] + [mm]n_2 x_2[/mm] + [mm]n_3 x_3[/mm] - c =
> 0 steht. oder nicht!
>
Also es ist so: Ein Normalenvektor auf die Ebene setzt sich einfach zusammen aus den Komponenten der Ebenengleichung. Wenn die Ebenengleichung lautet:
$ [mm] a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=c$,
[/mm]
dann steht der Vektor [mm] $(a_{1}, a_{2},a_{3})$ [/mm] senkrecht auf der Ebene.
(Ich bleibe hier bei dieser Schreibweise, aus Platzgründen)
Damit deine unten Angegebene Formel aber funktioniert, muss der Vektor noch normiert werden. Das heisst, er muss die Länge $1$ bekommen.
Der Vektor oben hat ja bekanntlich die Länge
[mm] $\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$
[/mm]
Wenn wir also alle seine Komponenten durch diese Wurzel dividieren, dann bekommt der Vektor die Länge $1$.
Du musst also als 1. Schritt deine gegebene Ebenengleichung durch diese Wurzel dividieren.
In deinem Falle ist also ein Vektor senkrecht auf die Ebene gegeben durch
$(1,1,1)$, seine Länge ist = [mm] $\wurzel{1^{2}+1^{2}+1^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{3}$
[/mm]
Jetzt hast du endlich [mm] $\vec{n}=(\bruch{1}{\wurzel{3}}, \bruch{1}{\wurzel{3}}, \bruch{1}{\wurzel{3}})$
[/mm]
Das kannst du für deine Formel verwenden.
Somit ist die Normalform der Ebene auch gegeben durch:
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{3}}x_{1}+\bruch{1}{\wurzel{3}}x_{2}+\bruch{1}{\wurzel{3}}x_{3}=0$
[/mm]
> ich weis der Abstand [mm]d= \vec n ° x - \vec n ° p[/mm] kann man
> so berechen aber dafür brauch i [mm]\vec n [/mm].
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber denk daran: [mm] $\vec{n}$ [/mm] muss die Länge $1$ haben, wie oben angegeben.
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Do 08.07.2004 | | Autor: | Feivel |
Hi!
Danke für eure Antworten ihr habt mir sehr weitergeholfen!
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