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Forum "Geraden und Ebenen" - Abstand paralleler Ebenen
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Abstand paralleler Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:31 Di 01.03.2022
Autor: hase-hh

Aufgabe
Bestimme den Abstand zwischen

E:  4x -y = 91

F:  4x -y = 84.

Moin Moin,

ich komme mit unterschiedlichen Verfahren zu verschiedenen Lösungen !???


1. Idee --- E minus F  

4x -y = 91

- (4x -y = 84)
----------------
  d = 7


richtig?


2. Idee --- über HNF


Ein Punkt der Ebene E ist P (30 / 29 / 0)


HNF von F

d = [mm] \bruch{4x -y -84}{\wurzel{4^2 + (-1)^2}} [/mm]

d = [mm] \bruch{4*30 -29 -84}{\wurzel{17}} [/mm]

d = [mm] \bruch{7}{\wurzel{17}} [/mm]

richtig?


3. Idee --- Lotfußpunkt

Hilfsgerade  durch P (mit P [mm] \in [/mm] E) und orthogonal zu F

h:  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{30 \\ 29 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{4 \\ -1 \\ 0} [/mm]


h in F einsetzen

4*(30+4r) -(29-r) = 84.

120 +16r -29 +r = 84

17r = -7

r = - [mm] \bruch{7}{17} [/mm]


=> Lotfußpunkt   L  [mm] \vektor{ 538/17 \\ 486/17 \\ 0 } [/mm]


Abstand

d = | [mm] \overrightarrow{PL} [/mm]  |

d = |   [mm] \vektor{ 538/17 \\ 486/17 \\ 0 } [/mm] - [mm] \vektor{30 \\ 29 \\ 0} [/mm]  |

d = |   [mm] \vektor{ 28/17 \\ - 7/17 \\ 0 } [/mm]   |

d = |   [mm] \wurzel{833/289} [/mm] |

d = [mm] \bruch{7}{\wurzel{17}} [/mm]


richtig?

        
Bezug
Abstand paralleler Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Di 01.03.2022
Autor: HJKweseleit


>
> E:  4x -y = 91
>  
> F:  4x -y = 84.
>  
>  

Die erste Idee ist falsch, die beiden anderen richtig.

Die Zahlen 91 und 84 geben nur indirekt Abstände wieder. Für E und F könntest du ja die Gleichungen mit 2 multiplizieren und schreiben:

E:  8x -2y = 182

F:  8x -2y = 168,

und schon wäre bei gleichen Ebenen der Abstand 2*7=14.

Am schnellsten/einfachsten kannst du den Abstand zwischen zwei als parallel erkannten(!) Ebenen bestimmen, indem du ihre Abstände vom Nullpunkt bestimmst und die Differenz nimmst.

E: [mm] d_0 [/mm] = [mm] \bruch{4*0-0-91}{\wurzel{4^2+1^2}} [/mm] = [mm] -\bruch{91}{\wurzel{17}} [/mm] oder - in der von mir abgeänderten Version - [mm] \bruch{8*0-2*0-182}{\wurzel{8^2+2^2}} =-\bruch{182}{\wurzel{68}} [/mm]


F: [mm] d_0 [/mm] = [mm] \bruch{4*0-0-84}{\wurzel{4^2+1^2}} [/mm] = [mm] -\bruch{84}{\wurzel{17}} [/mm] oder - in der von mir abgeänderten Version - [mm] \bruch{8*0-2*0-168}{\wurzel{8^2+2^2}} [/mm] = [mm] -\bruch{168}{\wurzel{68}} [/mm]

Differenz: [mm] |-\bruch{91}{\wurzel{17}}-(-\bruch{84}{\wurzel{17}})|=\bruch{7}{\wurzel{17}} [/mm]

oder [mm] |-\bruch{182}{\wurzel{68}}-(-\bruch{168}{\wurzel{68}})|=\bruch{14}{\wurzel{68}} [/mm]

Aufpassen: Wenn beide Abstände verschiedene Vorzeichen haben, liegt der Nullpunkt zwischen ihnen, und du musst die Absolutwerte addieren. Einfaches Beispiel:

Bei 3 und 8 sowie bei -3 und -8 kommt also 5 als Abstand heraus, bei -3 und 8 sowie bei 3 und -8 aber 11.

Statt den Nullpunkt kannst du auch jeden anderen beliebigen Punkt nehmen, z.B. (1|1|1). Du musst also nicht einen Punkt auf einer der Ebenen suchen (obwohl das sehr einfach ist).



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