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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Di 01.03.2022 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimme den Abstand zwischen
E: 4x -y = 91
F: 4x -y = 84. |
Moin Moin,
ich komme mit unterschiedlichen Verfahren zu verschiedenen Lösungen !???
1. Idee --- E minus F
4x -y = 91
- (4x -y = 84)
----------------
d = 7
richtig?
2. Idee --- über HNF
Ein Punkt der Ebene E ist P (30 / 29 / 0)
HNF von F
d = [mm] \bruch{4x -y -84}{\wurzel{4^2 + (-1)^2}}
[/mm]
d = [mm] \bruch{4*30 -29 -84}{\wurzel{17}}
[/mm]
d = [mm] \bruch{7}{\wurzel{17}}
[/mm]
richtig?
3. Idee --- Lotfußpunkt
Hilfsgerade durch P (mit P [mm] \in [/mm] E) und orthogonal zu F
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{30 \\ 29 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{4 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
h in F einsetzen
4*(30+4r) -(29-r) = 84.
120 +16r -29 +r = 84
17r = -7
r = - [mm] \bruch{7}{17}
[/mm]
=> Lotfußpunkt L [mm] \vektor{ 538/17 \\ 486/17 \\ 0 }
[/mm]
Abstand
d = | [mm] \overrightarrow{PL} [/mm] |
d = | [mm] \vektor{ 538/17 \\ 486/17 \\ 0 } [/mm] - [mm] \vektor{30 \\ 29 \\ 0} [/mm] |
d = | [mm] \vektor{ 28/17 \\ - 7/17 \\ 0 } [/mm] |
d = | [mm] \wurzel{833/289} [/mm] |
d = [mm] \bruch{7}{\wurzel{17}}
[/mm]
richtig?
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> E: 4x -y = 91
>
> F: 4x -y = 84.
>
>
Die erste Idee ist falsch, die beiden anderen richtig.
Die Zahlen 91 und 84 geben nur indirekt Abstände wieder. Für E und F könntest du ja die Gleichungen mit 2 multiplizieren und schreiben:
E: 8x -2y = 182
F: 8x -2y = 168,
und schon wäre bei gleichen Ebenen der Abstand 2*7=14.
Am schnellsten/einfachsten kannst du den Abstand zwischen zwei als parallel erkannten(!) Ebenen bestimmen, indem du ihre Abstände vom Nullpunkt bestimmst und die Differenz nimmst.
E: [mm] d_0 [/mm] = [mm] \bruch{4*0-0-91}{\wurzel{4^2+1^2}} [/mm] = [mm] -\bruch{91}{\wurzel{17}} [/mm] oder - in der von mir abgeänderten Version - [mm] \bruch{8*0-2*0-182}{\wurzel{8^2+2^2}} =-\bruch{182}{\wurzel{68}}
[/mm]
F: [mm] d_0 [/mm] = [mm] \bruch{4*0-0-84}{\wurzel{4^2+1^2}} [/mm] = [mm] -\bruch{84}{\wurzel{17}} [/mm] oder - in der von mir abgeänderten Version - [mm] \bruch{8*0-2*0-168}{\wurzel{8^2+2^2}} [/mm] = [mm] -\bruch{168}{\wurzel{68}}
[/mm]
Differenz: [mm] |-\bruch{91}{\wurzel{17}}-(-\bruch{84}{\wurzel{17}})|=\bruch{7}{\wurzel{17}}
[/mm]
oder [mm] |-\bruch{182}{\wurzel{68}}-(-\bruch{168}{\wurzel{68}})|=\bruch{14}{\wurzel{68}}
[/mm]
Aufpassen: Wenn beide Abstände verschiedene Vorzeichen haben, liegt der Nullpunkt zwischen ihnen, und du musst die Absolutwerte addieren. Einfaches Beispiel:
Bei 3 und 8 sowie bei -3 und -8 kommt also 5 als Abstand heraus, bei -3 und 8 sowie bei 3 und -8 aber 11.
Statt den Nullpunkt kannst du auch jeden anderen beliebigen Punkt nehmen, z.B. (1|1|1). Du musst also nicht einen Punkt auf einer der Ebenen suchen (obwohl das sehr einfach ist).
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