Abstand punkt menge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Do 13.11.2014 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und [mm] $\emptyset \neq [/mm] A [mm] \subset [/mm] X$. Der Abstand von$ x [mm] \in [/mm] X$ zur Menge$ A$ wird definiert durch [mm] $dist(x,A):=inf\{d(x,y),y \in a \}$
[/mm]
Zeigen sie:
a)Es gilt $dis(x,A)>0 <=> x [mm] \in (A^c)^{\circ}$.
[/mm]
b ) die abbildung $dist(*,A):X [mm] \to \IR, x\mapsto [/mm] dist(x,A)$ ist Lipschitz-stetig mit $L=1$ |
zur a)
ich kann meine idee nur schriftlich aus Führen
[mm] $"\Rightarrow"$ [/mm] sollte der Abstand $ y$ zu einem Punkt echt größer $ 0$ sein,so darf dieser Punkt nicht in der selben Menge liegen, da es sonst vorkommen kann,dass der Abstand gleich$ 0$ wird. So muss jener Punkt in einer Anderen Menge liegen als$ A$. Daraus folgt,dass dieser Punkt $x$ in der Menge$ [mm] A^c$ [/mm] sein muss. Da $A$ und$ [mm] A^c$ [/mm] beide Abgeschlossen sind ,könnte es sein,dass der Abstand denn noch $0 $ wird ,da ja beide Punkt auf dem Rand von $A$ und$ [mm] A^c$ [/mm] gleichzeitig liegen können. Daraus folgt,dass das Komplement offen sein muss,so kann gewährleistet werden,dass der Abstand echt größer als null ist so liegt $x [mm] \in (A^c)^{\circ}$
[/mm]
[mm] $"\Leftarrow"$
[/mm]
liegt $x [mm] \in (A^c)^{\circ}$ [/mm] so gibt es ein $ [mm] B_\epsilon(X)$ [/mm] ,der die Umgebung von $x$ darstellt. Diese $ [mm] B_\epsilon(X)$ [/mm] ist in meinem Fall [mm] $A^c$. [/mm] Will man jetzt den Abstand von $x$ so einem beliebigen punkt in$ A$ nehmen,muss dieser echt größer null sein, weil es kein $x [mm] \in (A^c)^{\circ}$ [/mm] ,welches auf dem Rand auf$ [mm] A^c$ [/mm] liegt. Deshalb folgt,dass der Abstand echt größer Null ist.
der Beweis ist etwas schwammig. Ich habe mir eine Skizze gemacht und es schwer für mich das formal aufzuschreiben.
b) $dist(*,A)(x) = dist (x,A)= inf [mm] \{d(x,y):y \in A \} \leq [/mm] inf { d(x,z)+d(z,y):y [mm] \in [/mm] A [mm] \}$ [/mm] das bei dem [mm] $\leq$ [/mm] ist die Dreiecksungleichung der Metrik eingegangen $dist(*,A)(x) = dist (x,A)= inf [mm] \{d(x,y):y \in A \} \leq [/mm] inf { d(x,z)+d(z,y):y [mm] \in [/mm] A [mm] \} [/mm] = d(x,z)+inf [mm] \{d(z,y):y \in A \} [/mm] = d(x,z)+d(z,y) = d(x,z)+ d(z,A) = d(x,z)+dist(*,A)(z) $
jetzt auf beiden seiten $ - dist(*,A)(z) $
[mm] \Rightarrow [/mm] $dist(*,A)(x)- dist(*,A)(z) [mm] \leq [/mm] d(x,z)$
daraus folgt die Ungleichung mit lipschitzkonstante L =1
|$dist(*,A)(x)- dist(*,A)(z) | [mm] \leq [/mm] 1*d(x,z)$
Vielen vielen dank für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Do 13.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
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> ich kann meine idee nur schriftlich aus Führen
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] sollte der Abstand [mm]y[/mm] zu einem Punkt echt
> größer [mm]0[/mm] sein,so darf dieser Punkt nicht in der selben
> Menge liegen, da es sonst vorkommen kann,dass der Abstand
> gleich[mm] 0[/mm] wird. So muss jener Punkt in einer Anderen Menge
> liegen als[mm] A[/mm]. Daraus folgt,dass dieser Punkt [mm]x[/mm] in der
> Menge[mm] A^c[/mm] sein muss. Da [mm]A[/mm] und[mm] A^c[/mm] beide Abgeschlossen sind
Seit wann?
> ,könnte es sein,dass der Abstand denn noch [mm]0[/mm] wird ,da ja
> beide Punkt auf dem Rand von [mm]A[/mm] und[mm] A^c[/mm] gleichzeitig liegen
> können. Daraus folgt,dass das Komplement offen sein
> muss,so kann gewährleistet werden,dass der Abstand echt
> größer als null ist so liegt [mm]x \in (A^c)^{\circ}[/mm]
>
Nein. Wenn $dist(x,A)>0$ existiert nach der Def. des Infimums ein [mm] $\epsilon>0$, [/mm] sodass [mm] $d(x,y)>\epsilon$ $\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] A$, also?
> [mm]"\Leftarrow"[/mm]
>
> liegt [mm]x \in (A^c)^{\circ}[/mm] so gibt es ein [mm]B_\epsilon(X)[/mm]
Was ist das?
> ,der die Umgebung von [mm]x[/mm] darstellt. Diese [mm]B_\epsilon(X)[/mm]
> ist in meinem Fall [mm]A^c[/mm]. Will man jetzt den Abstand von [mm]x[/mm] so
> einem beliebigen punkt in[mm] A[/mm] nehmen,muss dieser echt
> größer null sein, weil es kein [mm]x \in (A^c)^{\circ}[/mm]
> ,welches auf dem Rand auf[mm] A^c[/mm] liegt. Deshalb folgt,dass der
> Abstand echt größer Null ist.
>
Na ja. Wenn $x$ aus dem Inneren von [mm] $A^c$ [/mm] ist, dann gibt es ein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] mit $A [mm] \subset B_\epsilon(x)^c$. [/mm] Was bedeutet das für die Metrik?
> der Beweis ist etwas schwammig. Ich habe mir eine Skizze
> gemacht und es schwer für mich das formal aufzuschreiben.
>
>
> b) [mm]dist(*,A)(x) = dist (x,A)= inf \{d(x,y):y \in A \} \leq inf { d(x,z)+d(z,y):y \in A \}[/mm]
> das bei dem [mm]\leq[/mm] ist die Dreiecksungleichung der Metrik
> eingegangen [mm]dist(*,A)(x) = dist (x,A)= inf \{d(x,y):y \in A \} \leq inf { d(x,z)+d(z,y):y \in A \} = d(x,z)+inf \{d(z,y):y \in A \} = d(x,z)+d(z,y) = d(x,z)+ d(z,A) = d(x,z)+dist(*,A)(z)[/mm]
>
> jetzt auf beiden seiten [mm]- dist(*,A)(z)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]dist(*,A)(x)- dist(*,A)(z) \leq d(x,z)[/mm]
>
> daraus folgt die Ungleichung mit lipschitzkonstante L =1
>
> |[mm]dist(*,A)(x)- dist(*,A)(z) | \leq 1*d(x,z)[/mm]
Ist an der Stelle vielleicht etwas ungenau.
>
> Vielen vielen dank für eure Hilfe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße
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