Abstand von Ebene und Punkte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe die ich nicht rausbekomme:
Im [mm] R^{3} [/mm] seinen zwei Ebenen gegeben durch:
[mm] E_{1}: x_{1} [/mm] + [mm] 2*x_{2} [/mm] + [mm] 2*x_{2} [/mm] - 6 = 0
[mm] E_{2}: 3*x_{2} [/mm] + [mm] 4*x_{2} [/mm] + 60 = 0
a) Bestimmen Sie die Hesseschen Normalformen der beiden Ebenen
Das ist klar, das konnte ich noch:
[mm] E_{1}: \bruch{x_{1}}{3} [/mm] + [mm] \bruch{2*x_{2}}{3} [/mm] + [mm] \bruch{2*x_{2}}{3} [/mm] = 2
[mm] E_{2}: \bruch{3*x_{2}}{5} [/mm] + [mm] \bruch{4*x_{2}}{5} [/mm] = -12
b) Berechnen Sie auf der Gerade g=AB mit A(15,0,0) und B (30,0,15) diejenigen Punkte P, die von [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] den gleichen Abstand haben. Wieviele solche Punkte gibt es?
Nun weiß ich, dass der Abstand zwischen [mm] E_{1} [/mm] und dem Nullpunkt 2 ist und der Abstand zwischen [mm] E_{2} [/mm] und dem Nullpunkt -12 ist. Des weiteren weiß ich, dass die Koordinatenschreibweise von g= [mm] \pmat{ 15 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + [mm] s*\pmat{ 15 \\ 0 \\ 15 } [/mm] ist. Und dann kann ich noch den Abstand von einem Punkt und einer Ebene ausrechnen: Abstand = |n*p-d|. Nur komme ich mit alldem nicht weiter, da ich nicht weiß mit welchen Punkten auf der Gerade ich anfangen soll.
Kann mir bitte jemand weiterhelfen, danke schon mal.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Hallo,
wenn Du nicht weißt, mit welchem Punkt der Ebene Du anfangen sollst, dann fang am besten mit der allgemeinen Darstellung eines Punktes von g an!
[mm] \begin{pmatrix} 15+15s \\ 0 \\ 15s \end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt einfach allgemein jeweils den Abstand berechnen und schauen, für welche s beide Abstände gleich sind!
Das ist eine Möglichkeit.
Gruß,
jazzy
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Ok, das hat ganz gut funktioniert, be s=3 ist der Abstand zu beiden Ebenen 48. Nur hab ich jetzt nur einen Punkt und in der Aufgabe steht ich soll alle Punkte finden. Wie kann ich denn da jetzt weitermachen?
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Dein Ergebnis stimmt auch, ich habe es nachgerechnet.
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