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Forum "Geraden und Ebenen" - Abstand von Gerade
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Abstand von Gerade: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 So 05.10.2008
Autor: AbraxasRishi

Aufgabe
Berechne den Abstand des Punktes P(4;1) von der Gerade 4x-3y=7!

Hallo an alle!

Mein Ergebniss ist falsch und ich finde keinen Fehler.Könnte mir bitte jemand helfen?
Ich soll es mit Vektoren rechnen deshalb habe ich erstmal eine Parametergleichung formuliert:

[mm] \vec{r}=\vektor{0\\ -\bruch{7}{3}}+t\vektor{3\\4} [/mm]

Dann habe ich die Formel: [mm] |\vec{x}|=|\vec{r_1}-\vec{r_0}+\bruch{\vec{a}(\vec{r_0}-\vec{r_1})}{|\vec{a}|^2}*\vec{a}| [/mm]

verwendet gibt es hier für [mm] R^2 [/mm] irgend eine Vereinfachung?

Einsetzen:

[mm] |\vec{x}|=|\vektor{0\\ -\bruch{7}{3}}-\vektor{4\\1}+\bruch{\vektor{3\\4}(\vektor{4\\1}-\vektor{0\\ -\bruch{7}{3}})}{17}*\vektor{3\\4}| [/mm]

[mm] |\vec{x}|=|\vektor{-4\\-\bruch{10}{3}}+\bruch{\vektor{3\\4}*\vektor{4\\ \bruch{10}{3}}}{17}*\vektor{3\\4}| [/mm]

[mm] |\vec{x}|=|\vektor{-4\\-\bruch{10}{3}}+\bruch{12+\bruch{40}{3}}{17}*\vektor{3\\4}| [/mm]

[mm] |\vec{x}|=|\vektor{-4\\-\bruch{10}{3}}+\vektor{\bruch{228}{51}\\ \bruch{304}{51}}| [/mm]

Vielen Dank!

Gruß

Angelika

        
Bezug
Abstand von Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 So 05.10.2008
Autor: abakus


> Berechne den Abstand des Punktes P(4;1) von der Gerade
> 4x-3y=7!
>  Hallo an alle!
>  
> Mein Ergebniss ist falsch und ich finde keinen
> Fehler.Könnte mir bitte jemand helfen?
>  Ich soll es mit Vektoren rechnen deshalb habe ich erstmal
> eine Parametergleichung formuliert:
>  
> [mm]\vec{r}=\vektor{0\\ -\bruch{7}{3}}+t\vektor{3\\4}[/mm]
>  
> Dann habe ich die Formel:
> [mm]|\vec{x}|=|\vec{r_1}-\vec{r_0}+\bruch{\vec{a}(\vec{r_0}-\vec{r_1})}{|\vec{a}|^2}*\vec{a}|[/mm]
>  
> verwendet gibt es hier für [mm]R^2[/mm] irgend eine Vereinfachung?

Ja. Schreibe die gegebene Gerade in die Form y=mx+n um. Wenn dein Richtungsvektor stimmt, dann ist m=4/3. Dann hat eine Senkrechte zu g (kürzester Abstand steht senkrecht) den Anstieg -3/4. Lege durch den gegebenen Punkt eine Gerade mit diesem Anstieg und ermittle den Schnittpunkt. Dann Abstand zweier Punkte berechnen.
ODER
Stelle einen Vektor auf, der vom Punkt P zu einem beliebigen Geradenpunkt (x|y) führt. Bilde das Skalarprodukt davon mit dem Richtungsvektor der Geraden und setze es Null. Der Punkt (x|y) der Geraden, dessen Koordinaten diese Gleichung erfüllen, hat den kürzesten Abstand zu P.
Gruß Abakus




>  
> Einsetzen:
>  
> [mm]|\vec{x}|=|\vektor{0\\ -\bruch{7}{3}}-\vektor{4\\1}+\bruch{\vektor{3\\4}(\vektor{4\\1}-\vektor{0\\ -\bruch{7}{3}})}{17}*\vektor{3\\4}|[/mm]
>  
> [mm]|\vec{x}|=|\vektor{-4\\-\bruch{10}{3}}+\bruch{\vektor{3\\4}*\vektor{4\\ \bruch{10}{3}}}{17}*\vektor{3\\4}|[/mm]
>  
> [mm]|\vec{x}|=|\vektor{-4\\-\bruch{10}{3}}+\bruch{12+\bruch{40}{3}}{17}*\vektor{3\\4}|[/mm]
>  
> [mm]|\vec{x}|=|\vektor{-4\\-\bruch{10}{3}}+\vektor{\bruch{228}{51}\\ \bruch{304}{51}}|[/mm]
>  
> Vielen Dank!
>  
> Gruß
>  
> Angelika


Bezug
                
Bezug
Abstand von Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:05 Mo 06.10.2008
Autor: AbraxasRishi

Danke Abakus!

Dennoch bleibt mir noch eine Frage zu deinen 2. Vorschlag:

[mm] \vektor{x-4\\y-1}*\vektor{3\\4}=0 [/mm]

$(x-4)*3+(y-1)*4=0$

Die Gleichung hat doch noch zwei Variablen?Könntest du mir diesen Vorschlag noch genauer erklären?

Vielen Dank!

Gruß

Angelika

Bezug
                        
Bezug
Abstand von Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Mo 06.10.2008
Autor: weduwe

vereinfachung:
am einfachsten geht es in R2 mit der HNF der geraden:

[mm] g:\frac{4x-3y-7}{\sqrt{4^2+3^2}}=0 [/mm]

[mm] d(P,g)=\frac{4\cdot 4-3\cdot 1 -7}{5}=\frac{6}{5} [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Abstand von Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Mo 06.10.2008
Autor: AbraxasRishi

Danke für eure Mühe!

Ich verstehe leider gar nichts mehr....[verwirrt]

Was ist HNF?

Hat das überhaupt etwas mit dem Lösungsweg mithilfe von Vektoren zu tun?Ich würde es nämlich gerne mit Vektoren lösen.Trotzdem interessiert mich dein Vorschlag, wenn du mir verrätst wofür HNF steht.

Danke!

Gruß

Angelika

Bezug
                                        
Bezug
Abstand von Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 Mo 06.10.2008
Autor: weduwe


> Danke für eure Mühe!
>  
> Ich verstehe leider gar nichts mehr....[verwirrt]
>  
> Was ist HNF?
>  
> Hat das überhaupt etwas mit dem Lösungsweg mithilfe von
> Vektoren zu tun?Ich würde es nämlich gerne mit Vektoren
> lösen.Trotzdem interessiert mich dein Vorschlag, wenn du
> mir verrätst wofür HNF steht.
>  
> Danke!
>  
> Gruß
>  
> Angelika


gerne,
HNF steht für hessesche normalform (in R2 der geraden in R3 der ebene)
(das ist eine "vektorielle" lösung, wenn auch nicht so offensichtlich)

[]HNF



Bezug
                                        
Bezug
Abstand von Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Mo 06.10.2008
Autor: Steffi21

Hallo, eine Skizze für dich, die Gerade durch A und P hat den Anstieg [mm] -\bruch{3}{4}, [/mm] da sie senkrecht auf der Geraden [mm] f_1(x)=\bruch{4}{3}x-\bruch{7}{3} [/mm] steht, also [mm] f_2(x)=-\bruch{3}{4}x+n, [/mm] dein n bekommst du über das Einsetzen von P, dann kannst du über Gleichsetzen von [mm] f_1(x) [/mm] und [mm] f_2(x) [/mm] den Punkt A berechnen, Ziel ist der Betrag von [mm] \overrightarrow{PA} [/mm]

[Dateianhang nicht öffentlich]

Steffi

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Abstand von Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Di 07.10.2008
Autor: abakus


> Danke Abakus!
>  
> Dennoch bleibt mir noch eine Frage zu deinen 2. Vorschlag:
>  
> [mm]\vektor{x-4\\y-1}*\vektor{3\\4}=0[/mm]
>  
> [mm](x-4)*3+(y-1)*4=0[/mm]
>  
> Die Gleichung hat doch noch zwei Variablen?Könntest du mir
> diesen Vorschlag noch genauer erklären?

Hallo,
x und y sind die Koordinaten eines Punktes, der auf der gegebenen Geraden liegt. Die Geradengleichung liefert einen zweiten Zusammenhang zwischen x und y, so hast du zwei Gleichungen mit zwei Variablen.
Gruß Abakus



>  
> Vielen Dank!
>  
> Gruß
>  
> Angelika


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