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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Gerade g parallel zur Ebene E verläuft, und bestimmen Sie den Abstand von g zu E! |
E: [mm] [\vektor {x\\y\\z} [/mm] - [mm] \vektor{1\\0\\1}]*\vektor{-3\\2\\-6}=0
[/mm]
g: [mm] \vektor {x\\y\\z}= \vektor{4\\-3\\2}+t \vektor{0\\3\\1}
[/mm]
Hallo,
ich brauche einen Tipp bzw. einen Lösungsansatz speziell für den 2. Teil der Aufgabe (praktisch Abstand bestimmen)!
Die Parallelität habe ich durch das Multiplizieren beider Richtungsvektoren=0 nachgewiesen.
Nur habe ich jetzt Probleme den Abstand zu bestimmen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie, dass die Gerade g parallel zur Ebene E
> verläuft, und bestimmen Sie den Abstand von g zu E!
> E: [mm][\vektor {x\\y\\z}[/mm] -
> [mm]\vektor{1\\0\\1}]*\vektor{-3\\2\\-6}=0[/mm]
>
> g: [mm]\vektor {x\\y\\z}= \vektor{4\\-3\\2}+t \vektor{0\\3\\1}[/mm]
>
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> Hallo,
> ich brauche einen Tipp bzw. einen Lösungsansatz speziell
> für den 2. Teil der Aufgabe (praktisch Abstand
> bestimmen)!
> Die Parallelität habe ich durch das Multiplizieren beider
> Richtungsvektoren=0 nachgewiesen.
> Nur habe ich jetzt Probleme den Abstand zu bestimmen.
Hallo,
wenn die Gerade zur Ebene parallel ist, hat jeder Punkt der Geraden denselben Abstand zur Ebene.
Du kannst Dir also irgendeinen Punkt der Geraden nehmen und seinen Abstand zur Ebene bestimmen.
(Einsetzen in die Hessesche Normalform der Ebenengleichung.)
LG Angela
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> wenn die Gerade zur Ebene parallel ist, hat jeder Punkt der
> Geraden denselben Abstand zur Ebene.
>
> Du kannst Dir also irgendeinen Punkt der Geraden nehmen und
> seinen Abstand zur Ebene bestimmen.
>
> (Einsetzen in die Hessesche Normalform der
> Ebenengleichung.)
>
> LG Angela
Hallo, danke für die zügige Antwort.
Ich verstehe aber nicht so recht, warum ich den Punkt in die Normalenform einsetzen soll.
Bitte um eine Erläuterung oder anderen Lösungsweg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Do 13.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
was gibt denn für dich die Normalenform an?
das ist wirklich der einfachste Weg. sonst musst du erst den Punkt auf die Ebene projizieren und dann den Abstand der 2 punkte ausrechnen..
Gruß leduart
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> Hallo
> was gibt denn für dich die Normalenform an?
> das ist wirklich der einfachste Weg. sonst musst du erst
> den Punkt auf die Ebene projizieren und dann den Abstand
> der 2 punkte ausrechnen..
> Gruß leduart
Die Normalenform ist eine Ebenengleichung ohne Parameter.
Verstehe aber nicht warum ich da einen Punkt einsetzen soll.
Schließlich kommt doch dann nur 0=0 raus, oder täusche i mich?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Do 13.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du ax+by+cz=d hast, was gibt d an?
du kannst die Gl auch schreiben [mm] \vec{x}*\vec{n}=d
[/mm]
deine Antwort war nicht falsch , sagt aber nichts darüber , was etwa (a,b,c) in der Gleichung angeben.
Bitte stell deine Fragen nicht immer wieder auf nicht beantwortet, sondern stell neue Fragen, die dann als solche erscheinen.
Gruß leduart
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> Hallo
> wenn du ax+by+cz=d hast, was gibt d an?
'd' dürfte dann den Abstand/Strecke angeben.
Habe jetzt die Ebene in dieser Gleichung aufgestellt:
E:-3x+2y-6z=d
Dann habe ich den Parameter t von g auf 0 gesetzt und den Ortspunkt von g eingesetzt:
-3*4+2*(-3)-6*6=d
-12-12-36=d
d=-60 ergo +60LE
Stimmt das so?
Mir ist trotzdem noch unklar warum sich daraus der Abstand ergibt.
Schließlich liegt ja der eingesetzte Punkt nicht auf der Ebene... .
Ach ja: ich habe auch keine Ahnung warum dauernd dann die Frage als unbeantwortet angezeigt wird, sorry.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Do 13.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Nein, so stimmt das nicht.
ax+by+cz=d ist die Bedingung für einen Punkt auf der Ebene.
Wenn der Punkt nicht auf er Ebene liegt, dann muss etwas anderes als d herauskommen. Genau der Unterschied zu d, der herauskommt, ist der Abstand, wenn man es richtig macht.
Berechne also ax+by+cz-d, d selbst liegt schon fest.
Nun bedenke, dass Du in der Ebenengleichung a, b, c und d mit dem gleichen Faktor multiplizieren kannst und sie dennoch weiterhin für die gleiche Ebene stimmt. Daher kann mit der Rechnung eben der Abstand nicht bestimmt worden sein. Das tritt nur ein, wenn ein ganz bestimmter Satz von Werten ausgewählt wird. Dazu musst Du beachten, dass in der Heseschen Normalform der Normalenvektor auf die Länge 1 normiert wurde. Das kannst Du nachholen, indem Du [mm] $\bruch{ax+by+cz-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ [/mm] berechnest. Dann erhältst Du den Abstand.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Do 13.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass die Gerade g parallel zur Ebene E
> verläuft, und bestimmen Sie den Abstand von g zu E!
> E: [mm][\vektor {x\\y\\z}[/mm] -
> [mm]\vektor{1\\0\\1}]*\vektor{-3\\2\\-6}=0[/mm]
>
> g: [mm]\vektor {x\\y\\z}= \vektor{4\\-3\\2}+t \vektor{0\\3\\1}[/mm]
>
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> Hallo,
> ich brauche einen Tipp bzw. einen Lösungsansatz speziell
> für den 2. Teil der Aufgabe (praktisch Abstand
> bestimmen)!
> Die Parallelität habe ich durch das Multiplizieren beider
> Richtungsvektoren=0 nachgewiesen.
> Nur habe ich jetzt Probleme den Abstand zu bestimmen.
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform#Abstand
Soweit ich das sehe, bist Du auch an einer Herleitung dieser Formel
interessiert (falls ja, so kann ich oder jemand anderes das gerne
nachtragen - oder reicht Dir das:
http://www.ina-de-brabandt.de/vektoren/a/abstand-punkt-ebene-formel.html?).
Man kann sich sowas aber auch leicht geometrisch überlegen:
Der Vektor
[mm] $\vektor{-3\\2\\6}$
[/mm]
steht ja senkrecht auf die Ebene. Wähle nun irgendeinen Punkt [mm] $p=(p_1,p_2,p_3)\,$ [/mm] der
Geraden [mm] $g\,$ [/mm] - meinetwegen den "Aufpunkt aus der obigen Darstellung".
Dann betrachte
[mm] $g_2 \colon \vektor{x\\y\\z}=\vec{p}+ r*\vektor{-3\\2\\6}$ [/mm] ($r [mm] \in \IR$)
[/mm]
und berechne den Schnittpunkt [mm] $s\,$ [/mm] von [mm] $g_2$ [/mm] mit der Ebene. Was hat dann
[mm] $\left\|\vec{s}-\vec{p}\right\|$
[/mm]
für eine Bedeutung?
Gruß,
Marcel
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