Abstand von Kugelbahnen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Sa 29.03.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | "Eine blaue Kugelbahn wird an den Punkten A(2/1/4) und B(5/5/4) befestigt. Eine (weitere?!???) Einwurfmöglichkeit besteht am Punkt C(1/3/0).
a) Zeigen Sie, dass der Punkt C nicht auf der blauen Kugelbahn liegt.
b) Eine rote Bahn, soll parallel zur blauen Bahn verlaufen, als Hilfskoordinate ist der Punkt D(2/2/2) gegeben.
Stellen Sie die Gleichung der roten Kugelbahn auf und bestimmen Sie den Abstand zur blauen Kugelbahn. |
Moin,
so. Zunächst war mir bei der Aufgabenstellung unklar, was unter einer Kugelbahn zu verstehen ist und ferner was eine "weitere" Einwurfmöglichkeit bedeuten mag.
Nun gut. Es scheint so zu sein, dass hier Geraden beschrieben sind...
zu a)
Aus den Punkten A und B kann ich die Geradengleichung aufstellen:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 4} [/mm] + [mm] r*\vektor{3\\ 4 \\0}
[/mm]
zu b)
Für parallele Geraden gilt, dass der Richtungsvektor der einen Geraden gleich dem Vielfachen des Richtungsvektors der anderen paralleleln Geraden ist...
Also
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 2} [/mm] + [mm] s*\vektor{3 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
Aber wie bestimme ich jetzt den Abstand?
Ich könnte die beiden Geraden gleichsetzen... und dann?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
Wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Sa 29.03.2008 | | Autor: | zetamy |
> so. Zunächst war mir bei der Aufgabenstellung unklar, was
> unter einer Kugelbahn zu verstehen ist und ferner was eine
> "weitere" Einwurfmöglichkeit bedeuten mag.
>
> Nun gut. Es scheint so zu sein, dass hier Geraden
> beschrieben sind...
>
> zu a)
>
> Aus den Punkten A und B kann ich die Geradengleichung
> aufstellen:
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 4}[/mm] + [mm]r*\vektor{3\\ 4 \\0}[/mm]
Die Gleichung ist richtig. Du hast aber vergessen zu überprüfen, ob der Punkt C auf der Geraden liegt. Setze dazu den Vektor [mm] \vec{c} [/mm] für das x ein und löse das Gleichungssytem.
>
>
> zu b)
>
> Für parallele Geraden gilt, dass der Richtungsvektor der
> einen Geraden gleich dem Vielfachen des Richtungsvektors
> der anderen paralleleln Geraden ist...
>
> Also
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 2}[/mm] + [mm]s*\vektor{3 \\ 4 \\ 0}[/mm]
>
>
> Aber wie bestimme ich jetzt den Abstand?
>
> Ich könnte die beiden Geraden gleichsetzen... und dann?
Da die Geraden parallel verlaufen. Nimm dir einen beliebigen Punkt einer Geraden (z.B. einen Stütz- bzw Orts-Vektor) und finde den parallelen Punkt auf der anderen Gerade.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Gruß
> Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Sa 29.03.2008 | | Autor: | hase-hh |
moin,
zu a)
[mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{2\\ 1 \\ 4} [/mm] + r* [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
das sich daraus ergebende gleichungssystem führt zu widersprüchen => keine lösungen!
zu b)
na gut, ich wähle mir also z.b. den Punkt (t=1)
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 2} [/mm] + [mm] 1*\vektor{3 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
= [mm] \vektor{5 \\ 6 \\ 2}
[/mm]
und wie nun weiter?
gruß
wolfgang
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Hallo hase-hh,
> moin,
>
> zu a)
>
>
> [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{2\\ 1 \\ 4}[/mm] + r* [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ 0}[/mm]
>
> das sich daraus ergebende gleichungssystem führt zu
> widersprüchen => keine lösungen!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu b)
>
> na gut, ich wähle mir also z.b. den Punkt (t=1)
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 2}[/mm] + [mm]1*\vektor{3 \\ 4 \\ 0}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{5 \\ 6 \\ 2}[/mm]
>
> und wie nun weiter?
Berechne den Abstand dieses Punktes von der anderen Geraden.
Das kannst Du zu Fuß über ein Lineares Gleichungssystem oder eben über das Vektorprodukt machen.
>
> gruß
> wolfgang
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Sa 29.03.2008 | | Autor: | hase-hh |
> Hallo hase-hh,
> > zu b)
> > = [mm]\vektor{5 \\ 6 \\ 2}[/mm]
> >
> > und wie nun weiter?
>
> Berechne den Abstand
> dieses Punktes von der anderen Geraden.
>
> Das kannst Du zu Fuß über ein Lineares Gleichungssystem
Also gibt es zwei Wege.
1. Lotfußpunktverfahren
Gerade g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2\\ 1\\4} [/mm] + [mm] s*\vektor{3\\4\\0}
[/mm]
Punkt P: [mm] (5\6\2)
[/mm]
1.1. Hilfsebene H bestimmen, auf der der Punkt P liegt, und die senkrecht zu der Geraden verläuft. D.h. zu der der Richtungsvektor der Geraden ein Normalenvektor der Ebene H ist.
=> H: ( [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vec{p})*\vec{n} [/mm] = 0
[mm] (\vektor{x1\\x2\\x3} [/mm] - [mm] \vektor{5\\6\\2})*\vektor{3\\4\\0} [/mm] = 0
3x1 -15 + 4x2 -24 = 0
1.2. Schnittpunkt S von Gerade und Ebene bestimmen (Lotfußpunkt)
g [mm] \cap [/mm] H :
3*(2+3s) +4*(1+4s) -39 = 0
6 +9s +4 +16s -39 = 0
25s = 29
s= [mm] \bruch{29}{25}
[/mm]
=> [mm] S(\bruch{137}{25} [/mm] \ [mm] \bruch{141}{25} [/mm] \ 4)
1.3. Abstand P, S
d(P,S) = [mm] \wurzel{ (\bruch{12}{25})^2 + (-\bruch{9}{25})^2 + 2^2 }
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 2,088
> oder eben über das
> Vektorprodukt
> machen.
wie geht das?
welche vektoren soll ich denn kreuzen?
gruß
wolfgang
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Hallo hase-hh,
> 1. Lotfußpunktverfahren
>
> Gerade g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2\\ 1\\4}[/mm] +
> [mm]s*\vektor{3\\4\\0}[/mm]
>
> Punkt P: [mm](5\6\2)[/mm]
>
> 1.1. Hilfsebene H bestimmen, auf der der Punkt P liegt,
> und die senkrecht zu der Geraden verläuft. D.h. zu der der
> Richtungsvektor der Geraden ein Normalenvektor der Ebene H
> ist.
>
> => H: ( [mm]\vec{x}[/mm] - [mm]\vec{p})*\vec{n}[/mm] = 0
>
> [mm](\vektor{x1\\x2\\x3}[/mm] - [mm]\vektor{5\\6\\2})*\vektor{3\\4\\0}[/mm] =
> 0
>
> 3x1 -15 + 4x2 -24 = 0
>
> 1.2. Schnittpunkt S von Gerade und Ebene bestimmen
> (Lotfußpunkt)
>
> g [mm]\cap[/mm] H :
>
> 3*(2+3s) +4*(1+4s) -39 = 0
>
> 6 +9s +4 +16s -39 = 0
>
> 25s = 29
>
> s= [mm]\bruch{29}{25}[/mm]
>
> => [mm]S(\bruch{137}{25}[/mm] \ [mm]\bruch{141}{25}[/mm] \ 4)
>
>
> 1.3. Abstand P, S
>
> d(P,S) = [mm]\wurzel{ (\bruch{12}{25})^2 + (-\bruch{9}{25})^2 + 2^2 }[/mm]
>
> [mm]\approx[/mm] 2,088
>
>
> > oder eben über das
> > Vektorprodukt
> > machen.
>
> wie geht das?
>
> welche vektoren soll ich denn kreuzen?
Den Vektor [mm]\pmat{5 \\ 6 \\ 2}-\pmat{2 \\ 1 \\ 4}[/mm] mit dem Richtungsvektor der Geraden [mm]\pmat{3 \\ 4 \\ 0}[/mm] , allerdings ist dieser auf den Betrag 1 zu normieren.
Der Abstand ergibt sich dann zu:
[mm]\bruch{\vmat{\left(\pmat{5 \\ 6 \\ 2}-\pmat{2 \\ 1 \\ 4}\right) \times \pmat{3 \\ 4 \\ 0}}}{\vmat{\pmat{3 \\ 4 \\ 0}}}[/mm]
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> gruß
> wolfgang
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Gruß
MathePower
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