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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Sa 29.12.2007 | | Autor: | IHomerI |
| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Raum der Polynome [mm] \IR_{\le2}[x] [/mm] mit dem Skalarprodukt
< p , q > := [mm] \integral_{-1}^{1}{p(x)q(x) dx}
[/mm]
Berechnen Sie die Quadrate der Abstände:
a) [mm] d^{2}_{1,2}= \parallel p_{1}- p_{2}\parallel^{2}
[/mm]
b) [mm] d^{2}_{2,3}= \parallel p_{2}- p_{3}\parallel^{2}
[/mm]
c) [mm] d^{2}_{1,3}= \parallel p_{1}- p_{3}\parallel^{2}
[/mm]
zwischen folgenden polynomen:
[mm] p_{1}(x) [/mm] := 3 + 0x - 2x²
[mm] p_{2}(x) [/mm] := -1 + 0x - 4x²
[mm] p_{3}(x) [/mm] := -3 + 4x + 1x² |
Hiho,
also ich wollte fragen wie ich hier vorgehen muss. Ich hab leider keine Ahnung bzw. kein beispiel nachdem ich mich richten könnte.
Ich denke. Das ich das ja integrieren muss wegen dem Skalarprodukt was gegeben ist. aber wie berechne ich dann z.b. [mm] \parallel p_{1}- p_{2}\parallel^{2}
[/mm]
Wär supi wenn mir da wer helfen könnte, bin echt aufgeschmissen.
Danke lg euer Homer
p.s.: reicht völlig wenn mir jemand z.b bei a) zeigt wie es geht:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Eigentlich ist das recht einfach.
Bei den Vektoren würde die Aufgabe ja lauten:
Gegeben sind zwei Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}. [/mm] wie groß ist das Quadrat des Abstandes zwischen ihnen?
Der Abstandsvektor ist [mm] \vec{c}=(\vec{a}-\vec{b})
[/mm]
und damit:
[mm] d^2=\vec{c}\ast\vec{c} [/mm] (Denk dran, daß du hier wirklich schon das Quadrat hast!)
[mm] d^2=(\vec{a}-\vec{b})\ast(\vec{a}-\vec{b})
[/mm]
In deiner Aufgabe ist der Unterschied nun, daß du statt Vektoren Polynome hast, und das Skalarprodukt [mm] <\vec{p}|\vec{q}>=\vec{p}\ast\vec{q} [/mm] wird nun zu einem Integral [mm] =\int{p(x)*q(x)\,dx}
[/mm]
Das Schema dahinter bleibt aber gleich. Versuch es mal das ich nicht schwer!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mi 02.01.2008 | | Autor: | IHomerI |
Was ist denn aber dieses q(x) bzw. nur q ? Mein problem ist, dass ich garnicht weiß was ich da schreiben muss.
oder muss ich einfach das Integral von p1 minus das integral von p2 nehmen und dann beides zum quadrat und das wars?
natürlich im Intervall [-1,1 ]
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Guten abend und prosit neujahr
also ich mach das mal am beispiel a ein bisschen vor:
also zu berechnen ist [mm] d_{1,2}^2= ||p_{1}-p_{2}||^2
[/mm]
Der abstand zwischen zwei elementen v und w eines euklidischen Vektorraumes(und in einem solchen befinden wir uns) ist ja [mm] \wurzel{}. [/mm] Also musst du im den ABstand auszurechnen [mm] \integral_{-1}^{1}{(p_{1}(x)-p_{2}(x))^2 dx} [/mm] rechnen. Weil du den Abstand ins Quadrat berechnen sollst entfällt am ende das Wurzel ziehen
Einen Schönen ABend noch
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