Abstand zum Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei [mm] V=\IR^{3} [/mm] der euklidische Vektorraum mit dem Standardskalarprodukt.Man bestimme den Abstand des Vektors [mm] (1,1,1)^{T} [/mm] vom Unterraum U [mm] \subset [/mm] V in folgenden Fällen:
a) [mm] U=\IR(1,1,0)^{T}
[/mm]
b) [mm] U=\IR(1,1,0)^{T}+\IR(0,1,1)^{T} [/mm] |
Hallo^^
Ich habe den Abstand ausgerechnet, weiß aber nicht ob das richtig, was ich gerechnet habe.
Ich weiß zunächst,dass [mm] U=\IR(1,1,0)^{T}=Span_{\IR}\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\}=\{r*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}|r \in \IR\}.
[/mm]
Dann hab ich so angefangen: Seien [mm] v=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und u [mm] \in [/mm] U.
Dann ist v-u [mm] \in U^{\perp}. [/mm] Und ||v-u||= Abstand von v zu U, das heißt die Norm von v-u ist der minimale Abstand von v zu U.
Und es ist [mm] U^{\perp}=\{s*\vektor{0 \\ y \\ z}|s \in \IR \}.
[/mm]
Dann ist [mm] v-u=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}-\vektor{r \\ 0 \\ 0}=\vektor{1-r \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] ||v-u||=\wurzel{(1-r)^{2}+2}.
[/mm]
Jetzt hab ich aber noch das r da drin, kann ich das einfach so lassen? Für r=1 wäre der minimale Abstand [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Stimmen meine Ansätze bzw. der Lösungsweg so?
Vielen Dank
lg
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> Sei [mm]V=\IR^{3}[/mm] der euklidische Vektorraum mit dem
> Standardskalarprodukt.Man bestimme den Abstand des Vektors
> [mm](1,1,0)^{T}[/mm] vom Unterraum U [mm]\subset[/mm] V in folgenden
> Fällen:
>
> a) [mm]U=\IR(1,1,0)^{T}[/mm]
>
> b) [mm]U=\IR(1,1,0)^{T}+\IR(0,1,1)^{T}[/mm]
Hallo,
ich weiß nicht, was der Abstand eines Vektors zu einem Unterraum sein soll.
Vermutlich sollst Du den Abstand des Punktes mit Ortsvektor [mm] (1,1,0)^{ŧ} [/mm] zum Unterraum U ausrechnen.
> Hallo^^
>
> Ich habe den Abstand ausgerechnet, weiß aber nicht ob das
> richtig, was ich gerechnet habe.
>
> Ich weiß zunächst,dass
> [mm]U=\IR(1,1,0)^{T}=Span_{\IR}\{\vektor{1 \\
0 \\
0}\}=\{r*\vektor{1 \\
0 \\
0}|r \in \IR\}.[/mm]
???
Du hast vorhin schonmal sowas Seltsames geschrieben, was ich stillschweigend korrigiert hatte, weil ich es für einen Tippfehler hielt, aber hier steht's nun schon wieder so...
>
> Dann hab ich so angefangen: Seien [mm]v=\vektor{1 \\
0 \\
0}[/mm]
Was soll dieses v denn jetzt sein?
Warum nimmst Du dieses spezielle v?
> und u [mm]\in[/mm] U.
> Dann ist v-u [mm]\in U^{\perp}.[/mm]
Warum?
> Und ||v-u||= Abstand von v zu U,
Wie habt Ihr den Abstand zu einem Unterraum definiert?
Gruß v. Angela
> das heißt die Norm von v-u ist der minimale Abstand von
> v zu U.
>
> Und es ist [mm]U^{\perp}=\{s*\vektor{0 \\
y \\
z}|s \in \IR \}.[/mm]
>
> Dann ist [mm]v-u=\vektor{1 \\
1 \\
1}-\vektor{r \\
0 \\
0}=\vektor{1-r \\
1 \\
1}[/mm]
> und [mm]||v-u||=\wurzel{(1-r)^{2}+2}.[/mm]
>
> Jetzt hab ich aber noch das r da drin, kann ich das einfach
> so lassen? Für r=1 wäre der minimale Abstand [mm]\wurzel{2}.[/mm]
>
> Stimmen meine Ansätze bzw. der Lösungsweg so?
>
> Vielen Dank
>
> lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> > Sei [mm]V=\IR^{3}[/mm] der euklidische Vektorraum mit dem
> > Standardskalarprodukt.Man bestimme den Abstand des Vektors
> > [mm](1,1,1)^{T}[/mm] vom Unterraum U [mm]\subset[/mm] V in folgenden
> > Fällen:
> >
> > a) [mm]U=\IR(1,1,0)^{T}[/mm]
> >
> > b) [mm]U=\IR(1,1,0)^{T}+\IR(0,1,1)^{T}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich weiß nicht, was der Abstand eines Vektors zu einem
> Unterraum sein soll.
> Vermutlich sollst Du den Abstand des Punktes mit
> Ortsvektor [mm](1,1,0)^{ŧ}[/mm] zum Unterraum U ausrechnen.
Ja, das denke ich auch.
>
> > Hallo^^
> >
> > Ich habe den Abstand ausgerechnet, weiß aber nicht ob das
> > richtig, was ich gerechnet habe.
> >
> > Ich weiß zunächst,dass
> > [mm]U=\IR(1,1,0)^{T}=Span_{\IR}\{\vektor{1 \\
0 \\
0}\}=\{r*\vektor{1 \\
0 \\
0}|r \in \IR\}.[/mm]
>
> ???
>
> Du hast vorhin schonmal sowas Seltsames geschrieben, was
> ich stillschweigend korrigiert hatte, weil ich es für
> einen Tippfehler hielt, aber hier steht's nun schon wieder
> so...
Was genau meinst du ist seltsam? Ich hab es so aufgeschrieben, wie es uns gesagt wurde.
> >
> > Dann hab ich so angefangen: Seien [mm]v=\vektor{1 \\
1 \\ 1}[/mm]
>
> Was soll dieses v denn jetzt sein?
> Warum nimmst Du dieses spezielle v?
Das war ein Tippfehler, ich wollte den Vektor nehmen, dessen "Abstand berechnet werden soll". Ich hatte ihn falsch abgetippt, also der Vektor lautet [mm] v=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und der Abstand des Punktes, der diesen Vektor als Ortsvektor hat, zum Unterraum U soll berechnet werden.
>
>
> > und u [mm]\in[/mm] U.
>
> > Dann ist v-u [mm]\in U^{\perp}.[/mm]
>
> Warum?
>
>
> > Und ||v-u||= Abstand von v zu U,
>
> Wie habt Ihr den Abstand zu einem Unterraum definiert?
Also wir haben uns folgendes aufgeschrieben:
"Sei U [mm] \subset [/mm] V ein Unterraum und seien v [mm] \in [/mm] V, u [mm] \in [/mm] U.
Folgende Aussagen sind äquivalent:
1) v-u [mm] \in [/mm] U (d.h. u ist orthogonale Projektion von v auf U)
2) [mm] |v-u|=min\{|v-p||p \in U\} [/mm] (u hat minimalen Abstand zu v unter allen Vektoren in U)
Das ist das einzige was wir uns zum Abstand aufgeschrieben haben.
Und damit habe ich versucht, die Aufgabe zu lösen.
Waren meine Ansätze jetzt falsch?
lg
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Hallo Mandy_90,
> >
> > > Sei [mm]V=\IR^{3}[/mm] der euklidische Vektorraum mit dem
> > > Standardskalarprodukt.Man bestimme den Abstand des Vektors
> > > [mm](1,1,1)^{T}[/mm] vom Unterraum U [mm]\subset[/mm] V in folgenden
> > > Fällen:
> > >
> > > a) [mm]U=\IR(1,1,0)^{T}[/mm]
> > >
> > > b) [mm]U=\IR(1,1,0)^{T}+\IR(0,1,1)^{T}[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > ich weiß nicht, was der Abstand eines Vektors zu einem
> > Unterraum sein soll.
> > Vermutlich sollst Du den Abstand des Punktes mit
> > Ortsvektor [mm](1,1,0)^{ŧ}[/mm] zum Unterraum U ausrechnen.
>
> Ja, das denke ich auch.
> >
> > > Hallo^^
> > >
> > > Ich habe den Abstand ausgerechnet, weiß aber nicht ob das
> > > richtig, was ich gerechnet habe.
> > >
> > > Ich weiß zunächst,dass
> > > [mm]U=\IR(1,1,0)^{T}=Span_{\IR}\{\vektor{1 \\
0 \\
0}\}=\{r*\vektor{1 \\
0 \\
0}|r \in \IR\}.[/mm]
>
> >
> > ???
> >
> > Du hast vorhin schonmal sowas Seltsames geschrieben, was
> > ich stillschweigend korrigiert hatte, weil ich es für
> > einen Tippfehler hielt, aber hier steht's nun schon wieder
> > so...
>
> Was genau meinst du ist seltsam? Ich hab es so
> aufgeschrieben, wie es uns gesagt wurde.
> > >
> > > Dann hab ich so angefangen: Seien [mm]v=\vektor{1 \\
1 \\ 1}[/mm]
> >
> > Was soll dieses v denn jetzt sein?
> > Warum nimmst Du dieses spezielle v?
> Das war ein Tippfehler, ich wollte den Vektor nehmen,
> dessen "Abstand berechnet werden soll". Ich hatte ihn
> falsch abgetippt, also der Vektor lautet [mm]v=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> und der Abstand des Punktes, der diesen Vektor als
> Ortsvektor hat, zum Unterraum U soll berechnet werden.
> >
> >
> > > und u [mm]\in[/mm] U.
> >
> > > Dann ist v-u [mm]\in U^{\perp}.[/mm]
> >
> > Warum?
> >
> >
> > > Und ||v-u||= Abstand von v zu U,
> >
> > Wie habt Ihr den Abstand zu einem Unterraum definiert?
>
> Also wir haben uns folgendes aufgeschrieben:
>
> "Sei U [mm]\subset[/mm] V ein Unterraum und seien v [mm]\in[/mm] V, u [mm]\in[/mm] U.
> Folgende Aussagen sind äquivalent:
> 1) v-u [mm]\in[/mm] U (d.h. u ist orthogonale Projektion von v auf
> U)
> 2) [mm]|v-u|=min\{|v-p||p \in U\}[/mm] (u hat minimalen Abstand zu
> v unter allen Vektoren in U)
>
> Das ist das einzige was wir uns zum Abstand aufgeschrieben
> haben.
> Und damit habe ich versucht, die Aufgabe zu lösen.
> Waren meine Ansätze jetzt falsch?
Nein, Deine Ansätze sind richtig.
>
> lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok, da meine Ansätze richtig waren, habe ich die b) gemacht.
[mm] U=\IR(1,1,0)^{T}+\IR(0,1,1)^{T}=Span_{\IR}\{\vektor{1 \\ 1 \\ 0}\}+Span_{\IR}\{\vektor{0 \\ 1 \\ 1}\}=\{r\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 1 \\ 1}|r,s \in \IR\}.
[/mm]
[mm] v=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] |v-u|=|\vektor{1 \\ 1 \\ 1}-r\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 1 \\ 1}|=|\vektor{1-r \\ 1-r-s \\ 1-s}|=\wurzel{(1-r)^{2}+(1-r-s)^{2}+(1-s)^{2}}.
[/mm]
Das ist allgemein der Abstand zum Unterraum U und der minimale Abstand ist für r=s=1 1.
Ist das so richtig?
lg
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Hallo Mandy_90,
> Ok, da meine Ansätze richtig waren, habe ich die b)
> gemacht.
> [mm]U=\IR(1,1,0)^{T}+\IR(0,1,1)^{T}=Span_{\IR}\{\vektor{1 \\ 1 \\ 0}\}+Span_{\IR}\{\vektor{0 \\ 1 \\ 1}\}=\{r\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 1 \\ 1}|r,s \in \IR\}.[/mm]
>
> [mm]v=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> [mm]|v-u|=|\vektor{1 \\ 1 \\ 1}-r\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 1 \\ 1}|=|\vektor{1-r \\ 1-r-s \\ 1-s}|=\wurzel{(1-r)^{2}+(1-r-s)^{2}+(1-s)^{2}}.[/mm]
>
> Das ist allgemein der Abstand zum Unterraum U und der
> minimale Abstand ist für r=s=1 1.
>
> Ist das so richtig?
Nein, das ist nicht richtig, da es
noch einen miminaleren Abstand gibt.
Den bekommst Du durch Differentiation nach r und s
und anschliessendem Nullsetzen der entsprechenden
partiellen Ableitungen heraus.
>
> lg
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Fr 17.12.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
du schreibst
1.$ [mm] U=\IR(1,1,0)^{T} [/mm] $ ich denke das ist das U was im span von [mm] (1,1,0)^{T} [/mm] liegt, wie kommst du dann auf [mm] (1,0,0)^T [/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> hallo
> du schreibst
> 1.[mm] U=\IR(1,1,0)^{T}[/mm] ich denke das ist das U was im span von
> [mm](1,1,0)^{T}[/mm] liegt, wie kommst du dann auf [mm](1,0,0)^T[/mm]
> Gruss leduart
Blöderweise habe ich mich so oft vertippt in dieser Aufgabe, die [mm] (1,0,0)^{T} [/mm] sollte [mm] (1,1,0)^{T} [/mm] sein.
lg
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