Abstand zweier Ebenen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine zur Ebene E parallel liegende Ebene F, die vom Punkt A den Abstand 7 hat. |
Gegeben sind die Punkte A (1,0,-5), B (3,2,-4), C (-1,3,-1), die in E liegen. Dazu die Gerade h=(11,-4,-14)+k(8,1,-3).
Wie löse ich diese Aufgabe? Am Mittwoch ist mündliche Prüfung, also bitte helft mir möglichst schnell.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 So 07.05.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo flitschburn, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie eine zur Ebene E parallel liegende Ebene F,
> die vom Punkt A den Abstand 7 hat.
> Gegeben sind die Punkte A (1,0,-5), B (3,2,-4), C
> (-1,3,-1), die in E liegen. Dazu die Gerade
> h=(11,-4,-14)+k(8,1,-3).
> Wie löse ich diese Aufgabe? Am Mittwoch ist mündliche
> Prüfung, also bitte helft mir möglichst schnell.
Was will man mit der Gerade h? Die bringt dir hier gar nichts.
Du musst aus den drei gegebenen Punkten A,B,C eine Ebene in Parameterform bilden und diese dann in eine Koordinatenform umwandeln (oder gleich die Koordinatenform bilden) Nun hast du eine Ebene und den Normalenvektor.
Jetzt benötigst du den Betrag des Normalenvektors. Angenommen dieser wäre 2, dann verkürzt du ihn auf 1. (Normierter Normalenvektor)
[mm] $n_0 [/mm] = [mm] \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}
[/mm]
Nun bildest du eine Geradengleichung:
[mm] $g:\vec{x}=\overline{0A}+t *\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$
[/mm]
Die Gerade (vom Punkt A) musst du nun 7 Einheiten langlaufen.
[mm] $g:\vec{x}=\overline{0A}+7*\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$
[/mm]
Du erhälst nun einen neuen Punkt (nennen wir ihn B)
Dann kannst du wieder mit B eine Koordinatenform bilden, die den selben Normalenvektor hat wie die Ebene E, da sie ja parallel sein sollen.
Es gibt allerdings zwei parallele Ebenen. Du kannst vom Punkt A ja auch minus 7 Einheiten am Normalenvektor gehen. Damit kriegst du eine weitere gewünschte Ebene (allerdings musst du laut Aufgabenstellung nur eine angeben):
[mm] $g:\vec{x}=\overline{0A}-7 *\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$
[/mm]
Also noch einmal kurz wiederholt:
1) Koordinatenform der Ebene E aufstellen
2) Geradengleichung aus Punkt A mit normierten Normalenvektor als Richtungsvektor
3) nun 7 'Einheiten' des normierten Normalenvektors entlang gehen, somit kriegst du Punkt B
4) Aus B eine neue Koordinatenform der Ebene F machen, dessen Normalenvektor allerdings der selbe ist wie bei der Ebene E.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Kriegst du das hin?
LG
Disap
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:11 So 07.05.2006 | | Autor: | poochy |
Zwischenfrage: Ist es auch möglich die Hesssche Normalenform zu nehmen und ein Variable für die Konstante einzusetzen? Da könnte man dann doch die Koordinaten von A einsetzen und dann einfach umstellen...oder? (den Betrag müsste man natürlich auch beachten...)
Oder wäre ich da auf nem vollkommen falschen Dampfer?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 So 07.05.2006 | | Autor: | Disap |
Servus poochy.
> Zwischenfrage: Ist es auch möglich die Hesssche
> Normalenform zu nehmen und ein Variable für die Konstante
> einzusetzen? Da könnte man dann doch die Koordinaten von A
Ich glaube, ich verstehe nicht so ganz, was du meinst. Angenommen ich habe die Hessesche Normalenform:
[mm] $[\vec{p}-\vec{q}]*\vec{n_0}=d$
[/mm]
Dann ist unser [mm] \vec{p} [/mm] irgendein beliebiger Punkt der Ebene, egal ob A, B, C etc.
[mm] n_0 [/mm] ist [mm] \frac{\vec{n}}{|\vec{n}}
[/mm]
Und was willst du da jetzt machen? Für Vektor P den Vektor A einsetzen?
Und dann für d (unseren Abstand) 7 einsetzen? und Für Vektor Q setzt du dann [mm] \vektor{q_1\\q_2\\q_3} [/mm] ein?
Das würde nicht gehen, weil es unendlich viele Punkte gibt, die von der Ebene E den Abstand 7 haben. Gesucht ist allerdings der Punkt mit dem Abstand 7 vom Punkt A. Das kannst du mit der Hesseschen Normalenform nicht gewährleisten, denn diese bezieht sich auf den Abstand der Ebene zu einem Punkt. Nicht auf den Abstand vom Punkt A zu einem anderen Punkt.
> einsetzen und dann einfach umstellen...oder? (den Betrag
> müsste man natürlich auch beachten...)
> Oder wäre ich da auf nem vollkommen falschen Dampfer?
Wenn ich die Frage richtig verstanden habe, dann ja. Evtl. kannst du ja mal 'allgemein' zeigen, was du meinst - wenn nicht das
Beste Grüße
Disap
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 So 07.05.2006 | | Autor: | poochy |
Ich hatte das folgendermaßen gedacht:
Die Ebene E ist ja: x- 2y+2z+9*=0, der Punkt A liegt in der Ebene und soll einen Abstand von 7 LE zu einer gesuchten Ebene haben. Das einzige, was also diese gesuchte parallele Ebene von E unterscheidet ist ja *,eben diese Koordinate, die ich jetzt mal "a" nenne....
Da dachte ich man könnte nun die HNF nehmen:
(x- 2y+2z+a) : 3=7 und für x,y und z die A-Koordinaten einsetzen...dann stellt man halt um und kriegt für a=-12 oder 30......
Ich bin aber eigentlich gar nicht so die Matheleuchte, habe also wahrscheinlich einen Denkfehler drin...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 So 07.05.2006 | | Autor: | Disap |
> Ich hatte das folgendermaßen gedacht:
>
> Die Ebene E ist ja: x- 2y+2z+9*=0, der Punkt A liegt in der
Jau, das stimmt.
> Ebene und soll einen Abstand von 7 LE zu einer gesuchten
> Ebene haben. Das einzige, was also diese gesuchte parallele
> Ebene von E unterscheidet ist ja *,eben diese Koordinate,
> die ich jetzt mal "a" nenne....
a ist also eine Koordinate.
>
> Da dachte ich man könnte nun die HNF nehmen:
> (x- 2y+2z+a) : 3=7 und für x,y und z die A-Koordinaten
> einsetzen...dann stellt man halt um und kriegt für a=-12
> oder 30......
Und was sagt mir die Koordinate 30? Wie ermittel ich damit den gesuchten Punkt?
Und wie kommt man auf a=-12?
Der Punkt A lautet A(1|0|-5)
Setzen wir einfach mal a=-12 ein (und den Punkt A)
$(1-0-10-12) : [mm] 3\not=7$
[/mm]
Achso, soll nun die Idee sein, dass man dieses a=30 eben so verwendet:
(x- 2y+2z)=30
oder evtl. (x- 2y+2z)=-30
Das würde einen aber auch nicht weiterbringen...
> Ich bin aber eigentlich gar nicht so die Matheleuchte, habe
> also wahrscheinlich einen Denkfehler drin...
Bin ich auch nicht, daher weiß ich nicht, was du mit dem a vorhast.
LG
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 So 07.05.2006 | | Autor: | poochy |
Eigentlich ist ja nur die Ebene gesucht und nicht der Punkt der genau 7LE "über" A liegt...
Und wie kommt man auf a=-12?
Der Punkt A lautet A(1|0|-5)
Setzen wir einfach mal a=-12 ein (und den Punkt A)
Dann kommst du auf: (1-10-12):3=-7
oder auch (1-10+30):3=7
Der Betrag ist also 7, was richtig wäre, denn die gesuchte Ebene unterscheidet sich nur in dem a von E
MFg, poochy
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Hallo poochy,
also ganz zu 100% hätte ich das nicht so gemacht, aber im Prinzip komme ich auf das gleiche Ergebnis wie du.
> Das einzige, was also diese gesuchte parallele
> Ebene von E unterscheidet ist ja *,eben diese Koordinate,
> die ich jetzt mal "a" nenne....
a ist übrigens keine Koordinate - damit meint man ja einen "Eintrag" in einen Vektor. Sie ist eine reelle Zahl die man als Ergebnis erhält, wenn man einen Punkt der Ebene mit dem Normalenvektor der Ebene skalar multipliziert. Sie ist insofern übrigens abhängig von der Wahl des Normalenvektors...
Viele Grüße,
zerbinetta
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Danke für deine Antwort, das Prinzip habe ich auch verstanden. Wenn ich am Ende Punkt B ausrechne und dann zur Probe den Abstand AB berechne, der ja 7 sein müsste, dann kommt dort leider nicht 7 raus:
Normalenvektor 2,-4,4
Länge=6
Gerade lautet also (1,0,-5)+t(1/3,-2/3,2/3)
Dann setze ich für t dien gewünschten Abstand 7 ein und erhalte
Punkt B (10/3,-14/3,-1/3).
Dieser hat aber zu A nicht den Abstand 7.
Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht? Danke schonmal für eure Antworten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Di 09.05.2006 | | Autor: | Disap |
> Danke für deine Antwort, das Prinzip habe ich auch
> verstanden. Wenn ich am Ende Punkt B ausrechne und dann zur
> Probe den Abstand AB berechne, der ja 7 sein müsste, dann
> kommt dort leider nicht 7 raus:
>
> Normalenvektor 2,-4,4
> Länge=6
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gerade lautet also (1,0,-5)+t(1/3,-2/3,2/3)
> Dann setze ich für t dien gewünschten Abstand 7 ein und
> erhalte
> Punkt B (10/3,-14/3,-1/3).
> Dieser hat aber zu A nicht den Abstand 7.
Bei der Probe? Entweder spielt man das Spielchen: Abstand Punkt Ebene, oder man nimmt den Betrag des Vektors AB
[mm] $|\overline{AB}|= [/mm] | [mm] \vektor{(10/3\\-14/3\\-1/3}-\vektor{1\\0\\-5}| [/mm] = [mm] \vektor{(10/3\\-14/3\\-1/3}-\vektor{3/3\\0\\-15/3}| [/mm] = [mm] |\vektor{7/3\\-14/3\\14/3}| [/mm] = [mm] \wurzel{\br{49}{3}+\br{196}{9}+\br{196}{9}} =\wurzel{\br{49}{3}+\br{196}{9}+\br{196}{9}}=\wurzel{\frac{441}{9}}=7$
[/mm]
> Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht? Danke schonmal für
> eure Antworten.
Nein, natürlich nicht...
Du hast alles richtig gerechnet. Nur bei der Probe hast du anscheinend einen Vorzeichenfehler gemacht.
Schöne Grüße
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Faaz |
Hey!
Es tut mir leid, dass ich erst jetzt mit dieser Frage komme und diesen Artikel deswegen nochmal hochhole, aber mir geht es einfach nicht aus dem Kopf :)
Folgendes Problem: Ich habe mich auch mal an der Aufgabe versucht und sie nach Disap's Anleitung versucht, jedoch komme ich nicht auf den "richtigen" Normalenvektor...
Vielleicht sollte ich kurz meinen eigenen Rechenweg schildern:
Zuerst habe ich die Ebenengleichung in der Parameterform aufgestellt:
[mm] E:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ -5} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{2 \\ 2 \\ -9} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{-2 \\ 3 \\ -6}
[/mm]
Dann habe ich das Kreuzprodukt gebildet zur Berechnung des Normalenvektors:
[mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -9} [/mm] x [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ -6} [/mm] = [mm] \vektor{15 \\ 30 \\ 10} [/mm] = [mm] 5*\vektor{3 \\ 6 \\ 2}
[/mm]
Daraus ergibt sich die "provisorische" Koordinatenform
[mm] E:\vec{x}=3x_{1}+6x_{2}+2x_{3}=0
[/mm]
Für d habe ich durch einsetzten von A in die Gleichung, -7 raus
[mm] E:\vec{x}=3x_{1}+6x_{2}+2x_{3}+7=0
[/mm]
Nun bilde ich den normierten Normalenvektor [mm] n_{0}=\bruch{\vektor{3 \\ 6 \\ 2}}{\wurzel{3²+6²+2²}} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{3}{7} \\ \bruch{6}{7} \\ \bruch{2}{7}}
[/mm]
Nun habe ich 7 für t in die Geradengleichung eingesetzt, um B herauszubekommen:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ -5}+7*\vektor{3/7 \\ 6/7 \\ 2/7}=\vektor{4 \\ 2 \\ -3}
[/mm]
Somit ist mein Punkt B (4 / 2 / -3)
Die parallele Ebenengleichung müsste dementsprechend also folgende sein:
[mm] E:\vec{x}=\vektor{4 \\ 2 \\ -3} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{2 \\ 2 \\ -9} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{-2 \\ 3 \\ -6}
[/mm]
Tja, leider ist sie das aber nicht, weil dieser Punkt nicht den vorgeschriebenen Abstand von 7LE zu A hat...
Würde mich freuen, wenn ihr mir sagt, wo mein Fehler liegt!
Danke.
mfG Faaz
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Disap |
> Hey!
Moin.
> Es tut mir leid, dass ich erst jetzt mit dieser Frage
> komme und diesen Artikel deswegen nochmal hochhole, aber
> mir geht es einfach nicht aus dem Kopf :)
Macht ja nichts.
> Folgendes Problem: Ich habe mich auch mal an der Aufgabe
> versucht und sie nach Disap's Anleitung versucht, jedoch
> komme ich nicht auf den "richtigen" Normalenvektor...
> Vielleicht sollte ich kurz meinen eigenen Rechenweg
> schildern:
>
> Zuerst habe ich die Ebenengleichung in der Parameterform
> aufgestellt:
>
> [mm]E:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ -5}[/mm] + [mm]\lambda*\vektor{2 \\ 2 \\ -9}[/mm]
> + [mm]\mu*\vektor{-2 \\ 3 \\ -6}[/mm]
Bitter bitter. Da hast du eine falsche Ebenengleichung aufgestellt. Richtig ärgerlich.
Die Punkte lauten: A (1,0,-5), B (3,2,-4), C (-1,3,-1)
[mm] E:\vec{x} [/mm] = [mm] \overline{0A}+\lambda \overline{AB}+\mu \overline{AC}
[/mm]
[mm] $E:\vec{x}=\vektor{1-0 \\ 0-0 \\ -5-0}+ \lambda*\vektor{3-1 \\ 2-0\\-4-\red{(-5)}} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{-1-1 \\ 3-0 \\ -1\red{-(-5)}}$
[/mm]
Minus und minus wird plus
[mm] =$\vektor{1-0 \\ 0-0 \\ -5-0}+ \lambda*\vektor{3-1 \\ 2-0\\-4\red{+}5} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{-1-1 \\ 3-0 \\ -1\red{+}5}$
[/mm]
[mm] =$\vektor{1 \\ 0 \\ -5}+ \lambda*\vektor{2\\ 2\\\red{1}} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{-2 \\ 3 \\ \red{4}}$$
[/mm]
Dieser Normalenvektor ist dann auch wieder [mm] \vektor{5\\-10 \\10}
[/mm]
Den Rest habe ich mir nicht mehr angeguckt.
> Dann habe ich das Kreuzprodukt gebildet zur Berechnung des
> Normalenvektors:
>
> [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ -9}[/mm] x [mm]\vektor{-2 \\ 3 \\ -6}[/mm] = [mm]\vektor{15 \\ 30 \\ 10}[/mm]
> = [mm]5*\vektor{3 \\ 6 \\ 2}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich die "provisorische" Koordinatenform
>
> [mm]E:\vec{x}=3x_{1}+6x_{2}+2x_{3}=0[/mm]
>
> Für d habe ich durch einsetzten von A in die Gleichung,
> -7 raus
>
> [mm]E:\vec{x}=3x_{1}+6x_{2}+2x_{3}+7=0[/mm]
>
> Nun bilde ich den normierten Normalenvektor
> [mm]n_{0}=\bruch{\vektor{3 \\ 6 \\ 2}}{\wurzel{3²+6²+2²}}[/mm] =
> [mm]\vektor{\bruch{3}{7} \\ \bruch{6}{7} \\ \bruch{2}{7}}[/mm]
>
> Nun habe ich 7 für t in die Geradengleichung eingesetzt, um
> B herauszubekommen:
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ -5}+7*\vektor{3/7 \\ 6/7 \\ 2/7}=\vektor{4 \\ 2 \\ -3}[/mm]
>
> Somit ist mein Punkt B (4 / 2 / -3)
>
> Die parallele Ebenengleichung müsste dementsprechend also
> folgende sein:
> [mm]E:\vec{x}=\vektor{4 \\ 2 \\ -3}[/mm] + [mm]\lambda*\vektor{2 \\ 2 \\ -9}[/mm]
> + [mm]\mu*\vektor{-2 \\ 3 \\ -6}[/mm]
>
> Tja, leider ist sie das aber nicht, weil dieser Punkt nicht
> den vorgeschriebenen Abstand von 7LE zu A hat...
>
> Würde mich freuen, wenn ihr mir sagt, wo mein Fehler
> liegt!
> Danke.
>
> mfG Faaz
mfG Disap
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Faaz |
Hey!
Oh man... Da ärgerts mich jetzt wirklich, dass ich immernoch über so blöde,kleine, aber gravierende Fehler falle...
Naja, vielen Dank Disap!
mfG FaaZ
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Fr 12.05.2006 | | Autor: | riwe |
als dichter würde ich sagen:
der strang, der strang
ist mir zu lang!
im ernst: hier ist ganz klar die HNF das mittel der wahl!
HNF von E: [mm] \frac{x-2y+2z+9}{3}=0
[/mm]
daher [mm]\frac{x-2y+2z+d}{3}=\pm 7 [/mm] das liefert [mm] d_1=30 [/mm] und [mm] d_2= [/mm] -12
und die ebenen
[mm]E_1: x-2x+2z+30=0 [/mm]und [mm] E_2:[/mm] [mm] x-2y+2z-12=0[/mm]
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