Abstand zweier Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Di 22.05.2007 | | Autor: | SaraE |
| Aufgabe | geg: [mm] E_1: [/mm] x + y + z = -2
[mm] E_2: [/mm] x + y + z = 3 |
Hallo,
unser Lehrer hat den Lösungsweg an die Tafel geschrieben, aber ich weiß bei manchen Schritten nicht wie er darauf gekommen ist.
1.Schritt: HNF aufstellen
Mit [mm] P_1 [/mm] = (0, 0, 2) [mm] \in E_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] = (0, 0, 3) [mm] \in E_2 [/mm] erhält man:
[mm] E_1: [\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2}] [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = 0 sowie [mm] E_2: [\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 3}] [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = 0
......
Was ich hier nicht verstehe ist, wie der Lehrer auf [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] gekommen ist. Könnte mir das bitte jemand erklären.
Danke.
Sara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Di 22.05.2007 | | Autor: | Dhana |
Für die Hessenormalenform im Gegensatz zur einfachen Normalenform nimmst du nicht einen beliebigen Normalenvektor sondern den normierten Normalenvektor, also mit Länge 1.
Einen Normalenvektor kannst du leicht aus der Ebenengleichung ablesen, nämlich [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]. Dann berechnest du seine Länge mit [mm]\wurzel{1^2 + 1^2 + 1^2} = \wurzel{3}[/mm]. Und um ihn zu normieren teilst du ihn durch seine Länge, also teilst durch [mm]\wurzel{3}[/mm] was dasselbe ist wie malgenommen mit [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm].
Ansonsten die übliche Formel für die Normalenform anwenden.
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