Abstand zweier Punkte < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mi 17.10.2012 | | Autor: | HannSG |
| Aufgabe | | Es sei A (3/5) und B (4/7). Bestimmen Sie die Mittelsenkrechte m , der Strecke AB und zeigen Sie anschließend (unter Verwendung der Formel für den Abstand zweier Punkte), dass für alle Punkte C auf m , gilt: |CA| = |CB|. |
Also den ersten Teil habe ich hinbekommen. Es geht jetzt nur noch, um den Beweis.
Hier mein Ansatz:
Es seien A [mm] (x_{1}/y_{1}) [/mm] und B [mm] (x_{2}/y_{2}) [/mm] zwei Punkte und AB die Verbindungsstrecke von A und B. Es seien außerdem m die Mittelsenkrechte durch den Mittelpunkt M [mm] (x_{3}/y_{3}) [/mm] der Strecke AB und C [mm] (x_{4}/y_{4}) [/mm] ein beliebiger Punkt auf m.
Es ist zu zeigen, dass gilt: |CA| = |CB|
Es gilt:
|BM| = |AM|
<=> |BM| + |CM| = |AM| + |CM|
<=> [mm] |BM|^{2} [/mm] + [mm] |CM|^{2} [/mm] = [mm] |AM|^{2} [/mm] + [mm] |CM|^{2}
[/mm]
<=> [mm] |CB|^{2} [/mm] = [mm] |CA|^{2}
[/mm]
<=> |CB| = |CA|
Also ich beziehe mich dabei auf die Abstandsformel [mm] |CB|^{2} [/mm] = [mm] |BM|^{2} [/mm] + [mm] |CM|^{2}
[/mm]
Aber so kann man das wahrscheinlich nicht einfach machen, oder?
Lg Hanna
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Hallo Hanna,
> Es sei A (3/5) und B (4/7). Bestimmen Sie die
> Mittelsenkrechte m , der Strecke AB und zeigen Sie
> anschließend (unter Verwendung der Formel für den Abstand
> zweier Punkte), dass für alle Punkte C auf m , gilt: |CA|
> = |CB|.
>
> Also den ersten Teil habe ich hinbekommen. Es geht jetzt
> nur noch, um den Beweis.
> Hier mein Ansatz:
>
>
> Es seien A [mm](x_{1}/y_{1})[/mm] und B [mm](x_{2}/y_{2})[/mm] zwei Punkte
> und AB die Verbindungsstrecke von A und B. Es seien
> außerdem m die Mittelsenkrechte durch den Mittelpunkt M
> [mm](x_{3}/y_{3})[/mm] der Strecke AB und C [mm](x_{4}/y_{4})[/mm] ein
> beliebiger Punkt auf m.
>
> Es ist zu zeigen, dass gilt: |CA| = |CB|
>
> Es gilt:
> |BM| = |AM|
Wie kommst du von
> <=> |BM| + |CM| = |AM| + |CM|
auf:
> <=> [mm]|BM|^{2}[/mm] + [mm]|CM|^{2}[/mm] = [mm]|AM|^{2}[/mm] + [mm]|CM|^{2}[/mm]
Ich hoffe du hast hier nicht einfach quadriert....
> <=> [mm]|CB|^{2}[/mm] = [mm]|CA|^{2}[/mm]
> <=> |CB| = |CA|
>
>
> Also ich beziehe mich dabei auf die Abstandsformel [mm]|CB|^{2}[/mm]
> = [mm]|BM|^{2}[/mm] + [mm]|CM|^{2}[/mm]
>
> Aber so kann man das wahrscheinlich nicht einfach machen,
> oder?
>
> Lg Hanna
Du hast doch konkrete Punkte gegeben. Ich denke du sollst es da direkt zeigen.
Deine Mittelsenkrechte ist ja eine Gerade der Form: [mm] g:\vec{x}=(x_1,x_2)+t(r_1,r_2)
[/mm]
Das heißt also, dass die Punkte [mm] P=(x_1+t\cdot r_1 [/mm] | [mm] x_2+t\cdot r_2) [/mm] auf der Mittelsenkrechten liegen.
Und nun soll gelten: |AP|=|PB|
Setze also konkret die Zahlen ein, nutze die Formel für den Abstand (Euklidischer Abstand über Satz des Pythagoras) und vereinfache. Dies sollte zielführend sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Do 18.10.2012 | | Autor: | HannSG |
Danke schon mal soweit. Aber woher kommen denn jetzt die r und das t?
Lg Hanna
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Hallo,
> Danke schon mal soweit. Aber woher kommen denn jetzt die r
> und das t?
Richie1401 hat die vektorielle Darstellung von Geraden per Parameterform verwendet. Da du im [mm] \IR^2 [/mm] bist, kannst du genausogut die übliche lineare Funktion
y=mx+b
zur Definition einer Geraden verwenden.
Auf jeden Fall sehe ich es wie Richie: wenn schon Koordinaten gegebn sind, dann ist die Intention der Aufgabe, dass man sie analytisch löst.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Do 18.10.2012 | | Autor: | HannSG |
Entschuldigung, aber ich glaube ich stehe auf dem Schlauch. Kann das mir einer viellleicht nochmal ein bisschen ausführlicher erklären?
Kann ich von dem Punkt starten, dass |AM| = |BM| ist?
Also, dass gilt: [mm] \bruch{1}{2}\*\wurzel{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\*\wurzel{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}
[/mm]
Oder kann mir jemand sagen, womit ich genau anfangen muss/sollte?
Danke schon mal.
Lg
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Guten Morgen,
> Kann ich von dem Punkt starten, dass |AM| = |BM| ist?
> Also, dass gilt: [mm]\bruch{1}{2}\*\wurzel{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}\*\wurzel{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}[/mm]
Diese Gleichheit sollst du erst zeigen. Wenn du nun alle deine Punkte der Mittelsenkrechte einsetzt, sollte also die Gleichung stets erfüllt sein.
>
> Oder kann mir jemand sagen, womit ich genau anfangen
> muss/sollte?
Du hast gesagt, dass du bereits die Gleichung der Mittelsenkrechten errechnet hast. Zeig uns mal dein Ergebnis, vllt. können wir dir dann den Start für die Lösung von b) geben.
> Danke schon mal.
> Lg
P.S. Diophant hat natürlich Recht. Da wir uns im zweidimensionalen Raum befinden, so können wir auch die Gerade in der Form y=mx+n schreiben. Alle zugehörigen Punkte der Mittelsenkrechten sind dann $ (x | mx+n)$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Fr 19.10.2012 | | Autor: | HannSG |
also meine Mittelsenkrechte sieht so aus:
[mm] y=\bruch{7}{12}x+1\bruch{7}{24}
[/mm]
So jetzt muss ja C auf dieser Geraden liegen. Heißt das dann, dass die funktion praktisch die y-Koordinate von C bildet? Und für die x-Koordinate muss ich das ganze nach x auflösen?
Also so:
[mm] C=(\bruch{7}{12}y-2\bruch{3}{14} [/mm] | [mm] \bruch{7}{12}x+1\bruch{7}{24}) [/mm] ?
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Hallo liebe Hanna,
mir ist derzeit schleierhaft, wie du auf die Geradenfunktion der Mittelsenkrecheten kommst.
Ich stelle zunächst die Funktion der Geraden durch A und B auf:
[mm] y=mx+n=\frac{7-5}{4-3}x+n=2x+n
[/mm]
Nun bestimmen wir den Wert n durch Einsetzen des Punktes (3,5):
5=2*3+n [mm] \Rightarrow [/mm] n=-1
Damit ist [mm] y_{AB}=2x-1
[/mm]
Nun berechnen wir die Orthogonale auf diese Gerade
[mm] y_o=-\frac{1}{m}x+n_o=-\frac{1}{2}x+n_o
[/mm]
Nun wissen wir, dass der Mittelpunkt von AB ein Punkt dieser Geraden [mm] y_o [/mm] ist. Dieser Punkt hat die Koordinaten: M(3,5|6)
[mm] y_o=6=-\frac{1}{2}*3,5+n=-1,75+n \Rightarrow [/mm] n=7,75
Damit ist die Gleichung der Mittelsenkrechten:
[mm] y_o=-\frac{1}{2}x+\frac{31}{4}
[/mm]
Und nun liegt tatsächlich C auf [mm] y_o. [/mm] Das heißt C hat die Koordinaten: [mm] C\left(x|-\frac{1}{2}x+\frac{31}{4}\right).
[/mm]
Für diese Koordinate soll man nun nachweisen, dass |AC|=|CB| ist.
Abstand zweiter Punkte: Seien [mm] (x_1,y_1) [/mm] und [mm] (x_2,y_2) [/mm] zwei Punkte, dann ist der Abstand [mm] d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
[/mm]
Kommst du damit schon weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Sa 20.10.2012 | | Autor: | HannSG |
Oh sorry ich hatte die falschen Punkte angegeben. Deine Ausführung hat mir aber trotzdem sehr geholfen! Danke!
Ich hatte die Aufgabe zunächst auch noch falsch verstanden, dadurch hat sich das ein bisschen gezogen. Danke für die Hilfe.
Lg Hanna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:47 Fr 19.10.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
> > Es gilt:
> > |BM| = |AM|
> Wie kommst du von
> > <=> |BM| + |CM| = |AM| + |CM|
> auf:
> > <=> [mm]|BM|^{2}[/mm] + [mm]|CM|^{2}[/mm] = [mm]|AM|^{2}[/mm] + [mm]|CM|^{2}[/mm]
>
> Ich hoffe du hast hier nicht einfach quadriert....
>
> > <=> [mm]|CB|^{2}[/mm] = [mm]|CA|^{2}[/mm]
> > <=> |CB| = |CA|
Da |BM|=|AM| gilt, gilt auch [mm] |BM|^2=|AM|^2 [/mm] also gilt auch [mm] |BM|^2+|CM|^2=|AM|^2+|CM|^2 [/mm] und damit [mm] |CB|^2=|CA|^2
[/mm]
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